Đề thi học sinh giỏi

TRờng THCS Thiệu vận Đề Thi Học sinh giỏiMôn : Toán... Có hai đờng thẳng di động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lợt tại D và E.. Xác định vị trí của D và E để diện

TRờng THCS Thiệu vận Đề Thi Học sinh giỏi

Môn : Toán

Năm học 2006- 2007

Thời gian: 150'

I/ Trắc nghiệm: (8đ)

1/ Kết quả phép tính:

3 16 28

3 2 4 3 16 28

3 2 4

+

+ +

−

1/ Tìm x từ phơng trình: x2 − 2x+ 1 = 5 ;

c, x = 6; x = -4; d, x = -6; x = 4;

3/ Ta đẵ biết 2 là số vô tỉ, 18 là sô vô tỉ Vậy:

a,

18

2

là số vô tỉ; b,

18

2

là số hữu tỉ;

c,

18

2

là số nguyên; d,

18

2

là số tự nhiên;

4/ Hình vuông nhỏ nhất có cạnh là 1 (đơn vị dài) hình vuông thứ hai có cạnh bằng đ-ờng chéo hình vuông thứ nhất, hình vuông thứ ba có cạnh bằng đđ-ờng chéo của hình vuông thứ hai Tổng các đờng chéo của ba hình vuông là:

5/ Với giá trị nào của x ta có x > x

a, x > 1; b, 0 < x < 1;

c, x = 0 hoặc x > 1; d, x < 1;

6/ Cho hai đờng thẳng y = 3x + 1 và y = 2x – 5 Gọi α , β là góc tạo bởi hai đờng thẳng trên với tia 0x ta có:

a, β < α ; b, 0o < α < β < 90o

c, 0o < β < α 90o; d, β > α ;

7/ Một hình chữ nhật có một cạnh dài 15 cm, đờng chéo dài 20 cm Khoảng cách từ một đỉnh đến đờng chéo bằng:

c,

4

3

3

4

175; 8/ Cho hình thang cân MNPO có ∠ M = 60 o, NP = 6 cm, MQ = 14 cm Chu vi của hình thang đó là:

9/ Cho đờng trong (O,5) dây AB = 4 Khoảng cách từ O đến AB bằng:

II/ Tự luận: (12 đ ).

Bài 1: Chứng minh đẳng thức:

2007 2006

2006

2007 2007

2006 + > + ;

Bài 2: Cho biểu thức:

A= 3 1 3 1 : (12 2)2

-ổ - ửổữ + ửữ

a, Rút gọn biểu thức A;

b, Tính giá trị của biểu thức A khi x = 6 + 2 2;

c, Tìm giá trị của x để A = 3;

Bài 3: Cho ∆ABC Vuông tại A có M là trung điểm của BC Có hai đờng thẳng di

động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lợt tại D và E Xác

định vị trí của D và E để diện tích ∆ DME đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4:

a, Tìm số nguyên m để m2 +m+ 23 là số hữu tỉ

b, Phân tích ra thừa số : a 4 – 5a3 + 10a + 4;

áp dụng giải phơng trình: x

x

x

5 2

4 2

4

=

−

Đáp án và Biểu điểm Môn: Toán 9

I/ Trắc nghiệm: (8 điểm):

Câu Kết quả đúng Biểu điểm

18

2

6 c 0o < β < α 90o 0,5đ

4

3

II/ Tự luận: (12đ)

Bài 1: (1,5đ)

2007 2006

2006

2007 2007

2006

+

>

+

2007 2006

2006

1 2006

2006 2007

1 2007

2007

+

>

+ +

−

⇔

2007 2006

2007

1 2006

1 2006

2007 + + − > +

⇔

2007 2006

2007

1 2006

1 > ⇔ <

⇔

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng, vậy bất đẳng thức đã đợc chứng minh

Bài 2: (4đ)

a A = (x + 1)2 (x - 1)2 2 2 2

2 (1 )

x

=

x

x2 − 2 1,5đ;

b Đ/K: x ≠ 0 ; x ≠ ± 1; x ≠ ± 2 (*) 0,5đ;

với x =

2 2 6

2 2 4 2 2 6

2 2 2 6 2

2 6

+

+

= +

− +

=

⇒

c A = 3 ⇔

x

x2 − 2 = 3 ⇔ x2 – 3x - 2 = 0 0,5đ;

⇔ x1,,2 =

2

17

3 ± (thỏa mản đ/k (*) 0,5đ;

Bài 3: 3đ

Vẽ MH ⊥ AB, MK ⊥ AC (H ẻ AB ,K ẻ AC )

Thì ta có: H, K cố định

Tứ giác AKMH là hình chữ nhật

(vì ∠HAK = ∠ MHA = ∠ MKA = 900)

nên ∠ HMK = 900

MH ⊥ HD => MD ≥ MH

A D H

C

K E

//

//

MK ⊥ KE => ME ≥ MK

Do SMDE =

2

1

MD ME ≥ 21 MH MK

Với MH, MK không đổi ( vì M, H, K cố định )

Đẳng thức sảy ra ⇔







≡

≡

K E

H D

Vậy D và E lần lợt là hình chiếu của M trên AB, AC thì diện tích ∆ MDE nhỏ nhất

Bài 4: 3,5đ

a (1,5đ)

Giả sử m2 + m + 23 = k2 (k ∈N) ⇔ 4m2 + 4m + 92 = 4k2;

⇔ 4k2 – (2m + 1)2 = 91

⇔ (2k – 2m - 1) (2k + 2m + 1) = 91

Từ đó xét 4 khả năng và dẩn đến kết quả :

m ∈ { -23; 22; 1 ; -2 };

b (2 đ);

Ta có: a4 – 5a3 + 10a + 4 = (a4- 4a2 + 4) + 4a2 – 5a (a2 - 2)

= (a2 - 2)2 – a (a2 – 2 ) – 4a (a2 - 2) = (a2 – a - 2) (a2 – 4a - 2) 1đ;

áp dụng giải phơng trình:

x x

x

5 2

4

2

4

=

−

+ ⇔ x4 + 4 – 5x3 + 10 x = 0

⇔ (x2 – x - 2) (x2 – 4x – 2 )= 0

⇔ x ∈ { -1; 2 ; 2 ± 6 } 1đ;