Phân tích tham số của Iđêan đơn thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ THU HƯỜNG PHÂN TÍCH THAM SỐ CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016... ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ THU HƯỜNG

PHÂN TÍCH THAM SỐ CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ THỊ THU HƯỜNG

PHÂN TÍCH THAM SỐ CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 604 601 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN NGUYÊN AN

THÁI NGUYÊN - 2016

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là không bị trùnglặp với các luận văn trước đây Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn

là các nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu trong luận văn này đã được ghi rõnguồn gốc

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2016

Tác giả luận văn

Lê Thị Thu Hường

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành trong khóa 22 đào tạo Thạc sĩ của trường Đại học Sưphạm - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn của TS.Trần Nguyên An, giảngviên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Tôi xin bày tỏlòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người đã tạo cho tôi một phương phápnghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thờigian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của trường Đại họcThái Nguyên, Viện Toán học, những người đã tận tình giảng dạy, khích lệ, động viêntôi vượt qua những khó khăn trong học tập

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Sau đại học, Trường Đại học Sưphạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốtthời gian tôi học tập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân và gia đình đã động viên, ủng hộtôi cả về vật chất và tinh thần để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khóahọc của mình

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2016

TÁC GIẢ

LÊ THỊ THU HƯỜNG

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Mở đầu 1

Chương 1 Iđêan đơn thức 2

1.1 Iđêan và đồ thị của iđêan đơn thức 2

1.2 Tập sinh của iđêan đơn thức 6

1.3 Phép toán trên iđêan đơn thức 8

1.4 Iđêan m-bất khả quy 19

Chương 2 Sự phân tích m-bất khả quy và phân tích tham số 23

2.1 Sự phân tích m-bất khả quy 23

2.2 Iđêan tham số 30

2.3 Phần tử góc và cách tìm 36

KẾT LUẬN 45

Tài liệu tham khảo 46

Mở đầu

Một trong những kết quả cơ bản trong đại số giao hoán là định lý phân tích bấtkhả quy được chứng minh bởi Emmy Noether năm 1921 Trong bài báo đó EmmyNoether đã chứng minh mọi iđêan bất kì trong vành Noether đều có thể viết thànhgiao hữu hạn của các iđêan bất khả quy và số các iđêan bất khả quy trong nhữngbiểu diễn như vậy là không phụ thuộc vào cách biểu diễn Số đó được gọi là chỉ sốkhả quy của iđêan

Việc tìm phân tích bất khả quy trên một vành bất kỳ là rất khó, do đó người

ta thường nghiên cứu trên vành đa thức, cho lớp iđêan đặc biệt là iđêan đơn thức.Nghiên cứu iđêan đơn thức cho ta mối liên hệ giữa tổ hợp và đại số giao hoán Gầnđây phân tích bất khả quy của iđêan đơn thức trở thành vấn đề cơ bản và có nhiềuứng dụng trong các lĩnh vực từ toán học thuần túy đến các môn khoa học khác.Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu phân tích bất khả quy cho một số lớpiđêan đặc biệt: một số dạng iđêan đơn thức; lũy thừa Frobenius của iđêan đơn thức;đặc biệt tìm hiểu về phân tích tham số của iđêan đơn thức Luận văn dựa trên tài liệutham khảo chính là bài giảng "Monomial ideals and their decomposition" của M.Rogers và S Sather-Wagstaff [3] và một số ví dụ trong các cuốn sách [1], [2], [4].Luận văn được bố cục làm hai chương Để tiện theo dõi, chương 1 trình bày một

số vấn đề về iđêan đơn thức; iđêan và đồ thị của iđêan đơn thức; tập sinh của iđêanđơn thức; các phép toán của iđêan đơn thức và iđêan m-bất khả quy

Chương 2 tìm hiểu về sự phân tích m-bất khả quy, phân tích m-bất khả quy củamột số lớp iđêan, đặc biệt là lớp iđêan tham số

Chương 1

Iđêan đơn thức

Trong toàn bộ luận văn ta luôn quy ước vành là vành giao hoán khác 0 có đơn vị

và thường được ký hiệu là A, d > 0 là một số nguyên, R = A[X1, , X d] là một vành

đa thức d biến trên A Ký hiệu n = (n1, , n d) ∈Nd ; X n = X n1

Trong đó Λ⊆Nd là một tập con hữu hạn của Nd sao cho a n 6= 0 với n ∈Λ Từ đây

nếu không giải thích gì thêm khi nói đến vành R ta hiểu R là vành đa thức d biến trên A Với m = (m1, , m d ), n = (n1, , n d) ∈Nd , p ∈N Phép cộng và phép nhân

vô hướng trên Nd xác định bởi:

n + m = (n1+ m1, , n d + m d ), pn = (pn1, , pn d)

Và X n X m = X n +m , (X m)p = X pm Ta có quan hệ m < n khi và chỉ khi m i > n i, với mọi

i = 1, , d là một quan hệ thứ tự trênNd Ký hiệu [n] = {m ∈Nd | m < n} = n +Nd.Dưới đây là một số kiến thức chuẩn bị cần thiết cho nội dung chính của luận văn,các kiến thức này được tham khảo trong [3]

1.1 Iđêan và đồ thị của iđêan đơn thức

Định nghĩa 1.1.1 Một iđêan đơn thức trong R là một iđêan của R sinh bởi các đơn

thức

Ví dụ 1.1.2 Đặt R = A[X,Y ].

(i) Iđêan I = (X2,Y3)R là một iđêan đơn thức Lưu ý I chứa đa thức X2−Y3.

(ii) Iđêan J = (Y2− X3, X3)R là một iđêan đơn thức vì J = (Y2, X3)R.

(iii) Iđêan tầm thường 0 và R là các iđêan đơn thức vì 0 = (/0)R và R = 1 R R =

X10 X0

d R

Định nghĩa 1.1.3 Với mỗi iđêan đơn thức I ⊆ R, tập hợp [[I]] ký hiệu tập hợp tất cả

các đơn thức trong I.

Chú ý 1.1.4 Với mỗi iđêan đơn thức khác không, I ⊆ R, tập hợp [[I]] ⊂ R là một

tập vô hạn nhưng không là iđêan Theo định nghĩa, ta có [[I]] = I ∩ [[R]].

Bổ đề 1.1.5 Với mỗi iđêan đơn thức I ⊆ R, ta có I = ([[I]])R.

Mệnh đề 1.1.6 Cho I và J là hai iđêan đơn thức của R Khi đó

(i) I ⊆ J nếu và chỉ nếu [[I]] ⊆ [[J]].

(ii) I = J nếu và chỉ nếu [[I]] = [[J]].

Định nghĩa 1.1.7 (i) Cho f và g là các đơn thức trong R Khi đó f gọi là một bội

(ii) Cho một đơn thức f = X n ∈ R, bộ gồm d số tự nhiên n ∈Nd gọi là vectơ lũy thừa của f

Bổ đề 1.1.8 Cho f = X m và g = X n là các đơn thức trong R Nếu h là một đa thức

(ii) f là một bội của g;

(iii) f là một bội đơn thức của g;

(iv) m < n;

(v) m ∈ [n].

Định nghĩa 1.1.11 Thứ tự chia hết trên tập hợp đơn thức [[R]] là thứ tự X m < X n khi X m là một bội của X n.

Bổ đề 1.1.12 Thứ tự chia hết trên [[R]] là một quan hệ thứ tự.

Định lý 1.1.13 Cho f , f1, , f m là các đơn thức trong R Khi đó f ∈ ( f1, , f m )R

Chú ý 1.1.14 Định lí 1.1.13 không còn đúng nữa nếu các fi không là đơn thức

Định nghĩa 1.1.15 Đồ thị của một iđêan đơn thức I là tập hợp

Γ(I) = {n ∈Nd | X n ∈ I}.

Định lý 1.1.16 Nếu I = (X n1, , X n m )R thìΓ(I) = [n1] ∪ ∪ [n m]

Ví dụ 1.1.17 (i) Đặt R = A[X,Y ] Đồ thị của iđêan I = (X4, X3Y ,Y2)R là tập hợp

Γ(I) = [(4, 0)] ∪ [(3, 1)] ∪ [(0, 2)] ⊆N2, được biểu diễn bởi sơ đồ Hình 1.1

0 1 2 3 4

.

Ta có đồ thị Hình 1.2.

0 1 2 3 4

.

.

5 5

Hình 1.2:

Nhận xét 1.1.18 Một tập con khác rỗng γ ⊆Nd có dạng γ = Γ(I) với iđêan đơn thức I ⊆ A[X1, , X d ] nếu và chỉ nếu với mỗi m ∈γ và n ∈ N d ta có m+n ∈γ Chẳnghạn, đồ thị Hình 1.3 không có dạngγ =Γ(I).

0 1 2 3 4

.

Giả sử f = ∑u ∈[[R]] a u u , a u ∈ A và u là các đơn thức Đặt supp( f ) = {u ∈ [[R]] |

a u 6= 0} supp( f ) được gọi là giá của f Khi đó ta có kết quả bổ trợ quan trọng sau.

Mệnh đề 1.1.19 Giả sử I là một iđêan của R Khi đó các điều kiện sau là tương

đương:

(i) I là iđêan đơn thức;

(ii) Với mọi f ∈ R, f ∈ I khi và chỉ khi supp( f ) ⊆ I.

1.2 Tập sinh của iđêan đơn thức

Định lý 1.2.1 [Bổ đề Dickson] Mọi iđêan đơn thức của R là hữu hạn sinh Hơn

nữa, nó sinh bởi một tập hữu hạn các đơn thức.

Hệ quả 1.2.2 Cho S ⊆ [[R]] và đặt I = (S)R Khi đó tồn tại hữu hạn đơn thức

Định lý 1.2.3 (i) Cho một chuỗi I1 ⊆ I2 ⊆ · · · các iđêan đơn thức trong R Khi đó

Định nghĩa 1.2.4 Cho I là một iđêan đơn thức của R, z1, , z m ∈ [[I]] sao cho

I = (z1, , z m )R Dãy z1, , z m được gọi là một dãy sinh đơn thức rút gọn đối với I nếu z i không là một bội đơn thức của z j , với mọi j 6= i; i, j ∈ {1, , m}.

Ví dụ 1.2.5 Đặt R = A[X,Y ] Vì X2Y | X2Y2nên X3, X2Y , X2Y2,Y5 là một dãy sinh

không rút gọn đối với iđêan (X3, X2Y , X2Y2,Y5)R Dãy X3, X2Y , XY2,Y3 là một dãy

sinh đơn thức rút gọn đối với (X3, X2Y , XY2,Y3)R vì không có một đơn thức nào trong X3, X2Y , XY2,Y3 là bội của đơn thức còn lại

Mệnh đề 1.2.6 Cho I là một iđêan đơn thức của R và z1, , z m ∈ [[I]] sao cho

I = (z1, , z m )R Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

(i) Dãy sinh z1, , z m là rút gọn;

(ii) Với i = 1, ,m ta có z i 6∈ (z1, , z i−1, z i+1, , z m )R;

(iii) Với i = 1, ,m ta có (z1, , z i−1, z i+1, , z m )R ( I.

Định lý dưới đây cho ta thấy mọi iđêan đơn thức đều có dãy sinh đơn thức rút gọn,hơn nữa dãy sinh đơn thức rút gọn này là duy nhất

Định lý 1.2.7 Cho I là một iđêan đơn thức của R.

(i) Mọi tập sinh đơn thức trong I đều chứa một dãy sinh đơn thức rút gọn trong I (ii) Iđêan I có một dãy sinh đơn thức rút gọn.

(iii) Dãy sinh đơn thức rút gọn là duy nhất.

Dưới đây là phương pháp đưa một dãy sinh đơn thức về dãy sinh đơn thức rút gọn

Thuật toán 1.2.8 Cho các đơn thức z1, , z m ∈ [[R]] và đặt J = (z1, , z m )R Ta giả sử m > 1.

nghĩa.

là rút gọn Trong trường hợp này, thuật toán dừng lại.

rút gọn; ta thực hiện tiếp Bước 2.

Bước 2 Giảm dãy sinh bằng cách loại bỏ các phần tử sinh làm cho dãy không rút

Không mất tính tổng quát, ta sắp xếp lại các chỉ số sao cho j = m Do đó, ta có

i < m và z m ∈ (z i )R Suy ra J = (z1, , z m )R = (z1, , z m−1)R Bây giờ ta áp dụng

Thuật toán sẽ dừng lại sau không quá m − 1 bước vì ta có thể loại bỏ nhiều nhất

m − 1 đơn thức từ dãy.

Ví dụ 1.2.9 Đặt R = A[X,Y] Dùng Thuật toán 1.2.8, ta thấy dãy X3, X2Y ,Y5là một

dãy sinh đơn thức rút gọn của iđêan (X3, X2Y , X2Y2,Y5)R.

Mệnh đề 1.2.10 Cho một tập hợp khác rỗng các đơn thức S ⊆ [[R]] và đặt J = (S)R.

(i) S′ = {z | n z∈∆′} là một tập sinh đơn thức rút gọn của J.

(ii) Tập hợp ∆′ là hữu hạn.

1.3 Phép toán trên iđêan đơn thức

Định lý 1.3.1 Nếu I1, , I n là các iđêan đơn thức của R thì I1∩· · · ∩I n là iđêan đơn

j=1I j và viết f = ∑n∈ Λa n X n,Λ là một tập hữu hạn Với j = 1, ,n ta có

f ∈ I j Vì vậy, theo Mệnh đề 1.1.19 suy ra nếu a n 6= 0 thì X n ∈ [[I j ]] với mỗi j, nghĩa

là nếu a n 6= 0 thì X n∈ ∩n

j=1[[I j ]] = S Do đó, ta có f ∈ (S)R = J Như vậy I1∩ · · · ∩ I n

là một iđêan đơn thức của R và được sinh bởi tập các đơn thức ∩ n

Tương tự Định lý 1.3.1 ta có kết quả sau

Mệnh đề 1.3.3 Giả sử I1, · · · , I n là các iđêan đơn thức của R Khi đó

Nhận xét 1.3.4 Cho f = X m và g = X n là các đơn thức của R với m,n ∈ N d Với

i = 1, , d đặt p i = max{m i , n i } Khi đó bội chung nhỏ nhất lcm( f , g) = X p

Ví dụ 1.3.5 Đặt R = A[X,Y,Z] Ta tính bội chung nhỏ nhất của f = XY4Z8 và

g = X3Z5 Ký hiệu như nhận xét trên, ta có m = (1, 4, 8) và n = (3, 0, 5), và do đó

p = (3, 4, 8) Vậy lcm(XY4Z8, X3Z5) = X3Y4Z8

Ví dụ 1.3.6 Đặt R = A[X,Y ] Ta tính giao (XY2)R ∩ (X2Y )R Theo Định lí 1.3.1

và Chú ý 1.3.2 ta cóΓ((XY2)R ∩ (X2Y )R) =Γ((XY2)R) ∩Γ((X2Y )R) Đồ thị Hình

1.4

◦

◦

◦

1 2 3

4

Γ((X,Y2)R)

Γ((X2Y )R)

Γ((X,Y2)R ∩ (X2Y )R)

◦

∗

⊛

0

.

.

.

.

⊛ ⊛ ⊛ ⊛ ⊛ ⊛ ⊛ ⊛ ⊛ 1 2 3 4 1 2 3 4 0

.

.

Hình 1.4:

Từ điều này, ta có (X,Y2)R ∩ (X2Y )R = (X2Y2)R = (lcm(XY2, X2Y ))R Nói cách khác, giao của các iđêan chính sinh bởi XY2và X2Y là một iđêan chính và được sinh

bởi lcm(XY2, X2Y) Kết quả sau đây cho thấy điều này là đúng với bất kì hai iđêan đơn thức chính

Bổ đề 1.3.7 Với các đơn thức f ,g ∈ [[R]], ta có ( f )R ∩ (g)R = (lcm( f ,g))R.

Mệnh đề 1.3.8 Giả sử I được sinh bởi tập hợp các đơn thức { f1, , f m } và J được

đơn thức

{lcm( f i , g j ) | 1 6 i 6 m, 1 6 j 6 n}.

đơn thức trong R vì mỗi phần tử lcm( f i , g j ) là một đơn thức trong R Ta chứng minh

bao hàm thức I ∩ J ⊆ K, lấy đơn thức z ∈ [[I ∩ J]] Phần tử z là một đơn thức trong

I = ( f1, , f m )R vì vậy theo Định lí 1.1.13 suy ra z ∈ ( f i )R với chỉ số i nào đó Tương tự, từ điều kiện z ∈ J = (g1, , g n )R suy ra z ∈ (g j )R với chỉ số j nào đó Do

đó, theo Bổ đề 1.3.7 suy ra z ∈ ( f i )R ∩ (g j )R = (lcm( f i , g j ))R ⊆ K.

Ngược lại mỗi phần tử sinh đơn thức lcm( f i , g j ) của K đều nằm trong I ∩ J Thật vậy

lcm ( f i , g j ) ∈ (lcm( f i , g j ))R = ( f i )R ∩ (g j )R ⊆ I ∩ J.

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 1.3.9 Đặt R = A[X,Y] Ta xác định một dãy sinh trong iđêan I = (X2,Y3)R ∩ (X3,Y )R Đồ thị Hình 1.5

.

.

Sử dụng Mệnh đề 1.2.10 và trực quan bằng đồ thị, ta xác định được một dãy sinh

đơn thức rút gọn trong I là Y3, X2Y , X3 Tiếp theo ta kiểm tra điều này bằng cách sử

dụng Mệnh đề 1.3.8 và Thuật toán 1.2.8 Kí hiệu như Mệnh đề 1.3.8, ta có f1= X2,

f2 = Y3, g1= X3, g2 = Y Ta có

lcm ( f1, g1) = X3 lcm ( f2, g1) = X3Y3lcm ( f1, g2) = X2Y lcm ( f2, g2) = Y3

Theo Mệnh đề 1.3.8 suy ra dãy X3, X3Y3, X2Y ,Y3 là dãy sinh trong I.

Ta sử dụng Thuật toán 1.2.8 để tìm dãy sinh đơn thức rút gọn trong I.

1 2 3 4 0

1 2 3 4

.

Hình 1.6:

Đơn thức X3Y3 là một bội của X3, vì vậy ta loại X3Y3 ra khỏi dãy Ta được một

dãy mới dùng để xét là X3, X2Y ,Y3 Không có đơn thức nào trong dãy là một bội của

các đơn thức còn lại Do đó, dãy X3, X2Y ,Y3 là một dãy sinh đơn thức rút gọn trong

.

Hình 1.7:

Góc dạng q như Hình 1.8 gợi ý chia đồ thị thành hai phần và cho thấy sự phân tíchcủaΓ(I).

0 1 2 3 4

.

.

.

T

Hình 1.9:

Định lý 1.3.11 Nếu I và J là các iđêan đơn thức của R thì iđêan (J : R I ) là một iđêan đơn thức của R.

đơn thức trong (J : R I ) = (J : R zR ) và đặt K = (S)R Từ cách xây dựng ta có K là một iđêan đơn thức và K ⊆ (J : R I ) vì S ⊆ (J : R I ) Ta cần chứng minh K = (J : R I)

Thật vậy, lấy phần tử f ∈ (J : R I ) và viết f =∑n∈ Λa n X n,Λ là một tập hữu hạn Khi

đó f z =∑n∈ Λa n X n +m ∈ J Theo Mệnh đề 1.1.19 ta có nếu a n 6= 0 thì X n +m ∈ J, vì

J là một iđêan đơn thức Vì vậy, nếu a n 6= 0 thì zX n = X n +m ∈ J Nói cách khác, nếu

a n 6= 0 thì X n ∈ (J : R zR ) = (J : R I ), vì vậy X n ∈ S ⊆ (S)R = K Điều này có nghĩa

là f =∑n∈ Λa n X n ∈ K.

có

(J : R I ) = (J : R (z1, , z n )R) = ∩ n i=1(J : R z i R)

Theo Định lí 1.3.1, suy ra (J : R I) là một iđêan đơn thức

Chú ý 1.3.12 Cho I và J là hai iđêan đơn thức của R Trong trường hợp tổng quát

rất khó để xác định tập hợp đơn thức [[(J : R I )]] thông qua [[I]] và [[J]] Hiển nhiên,

ta có J ⊆ (J : R I ), vì vậy [[J]] ⊆ [[(J : R I)]]

Ví dụ 1.3.13 Đặt R = A[X,Y ] Cho I là một iđêan đơn thức của R và đặt X =

(X,Y )R Một đơn thức f ∈ R nằm trong (I : R X) nếu và chỉ nếu f X, fY ∈ I Mối quan hệ giữa các phần tử f , f X, fY được thể hiện qua đồ thị Hình 1.10.

f f X

f Y

.

Hình 1.10:

Do đó, điểm (a,b) ∈ N2 biểu thị một điểm trong (I : R X) nếu và chỉ nếu các cặp có

thứ tự (a + 1,b) và (a,b + 1) đều nằm trong đồ thịΓ(I).

Ví dụ 1.3.14 Đặt R = A[X,Y ] và I = (X3, X2Y ,Y3)R Đồ thịΓ(I) như Hình 1.11.

0 1 2 3 4

.

.

.

q

q Hình 1.12:

Ta thấy các iđêan X2và XY2 chính là các iđêan trong (I : RX) \ I Chú ý các "phần

tử góc" của I tương ứng với các "phần tử góc" trong các iđêan (X2,Y3)R và (X3,Y )R trong phân tích I = (X2,Y3)R ∩ (X3,Y )R Đồ thị Hình 1.13

1 2 3 4 0

.

.

.

Chú ý 1.3.15 Cho I và J là hai iđêan đơn thức trong R Ta luôn có J ⊆ (J : R I) bởi

vì theo định nghĩa f g ∈ J với mọi f ∈ J và g ∈ I Vì thế để tính (J : R I) thay vì ta

phải kiểm tra tất cả các đơn thức f của R sao cho f I ∈ J thì nay ta chỉ cần kiểm tra

f ∈ [[R]] \ [[J]].

Ví dụ 1.3.16 Cho I = (X2, XY,Y2) và J = (X2,Y3) Để tính (J : R I) theo Chú ý trên

ta chỉ cần kiểm tra xem các đơn thức thuộc [[R]] \ [[J]] = {1,X,Y,Y2, XY, XY2} có

thuộc J : R I hay không Ta có

1∈ (J :/ R I)

X ∈ (J :/ R I ) vì X.X2= X3∈ J, X.XY = X2Y ∈ J, X.Y2= XY2∈ J./

Y ∈ (J :/ R I ) vì Y.X2= X2Y ∈ J,Y.XY = XY2∈ J,Y.Y/ 2= Y3∈ J.

Y2∈ (J : R I ) vì Y2.X2= X2Y2∈ J,Y2.XY = XY3∈ J,Y2.Y2 = Y4∈ J.

XY ∈ (J : R I ) vì XY.X2= X3Y ∈ J, XY.XY = X2Y2∈ J, XY.Y2= XY3∈ J.

XY2∈ (J : R I ) vì XY2.X2 = X3Y2∈ J, XY2.XY = X2Y3∈ J, XY2.Y2= XY4∈ J Vậy (J : R I ) = (Y2, XY, XY2)R = (Y2, XY )R.

Định nghĩa 1.3.17 Cho J là một iđêan đơn thức trong R Căn đơn thức của J, ký

hiệu là m − rad(J), là một iđêan đơn thức xác định bởi m − rad(J) = (S)R, trong đó

S = {z ∈ [[R]] | z n ∈ J với n > 1}.

Mệnh đề dưới đây cho ta một số tính chất của căn đơn thức

Mệnh đề 1.3.18 Cho n là một số nguyên dương và I,J,I1, I2, , I n là các iđêan đơn thức của R.

(i) Nếu I ⊆ J thì m − rad(I) ⊆ m − rad(J).

(ii) m − rad(IJ) = m − rad(I ∩ J) = m − rad(I) ∩ m − rad(J).

Định nghĩa 1.3.19 Cho J là một iđêan đơn thức của R Với mỗi k = 1,2, , đặt

T k = { f k | f ∈ [[J]]} Tập J [k] = (T k )R được gọi là lũy thừa Frobenius của J.

Chú ý 1.3.20 Đặt J là một iđêan đơn thức của R Theo định nghĩa, iđêan J [k]là một

iđêan đơn thức với k = 1,2,

Bổ đề 1.3.21 Cho tập các đơn thức S ⊆ [[R]] và một số nguyên k > 1, J = (S)R

g k ∈ I.

một tập con hữu hạn S′ ⊆ S sao cho J = (S′)R Theo Định lý 1.1.13 ta có g ∈ ( f )R với f ∈ S′, suy ra g k ∈ ( f k )R ⊆ I.

Ngược lại, giả sử g k ∈ I Tập S k = { f k | f ∈ S} là một tập sinh đơn thức của I Do

đó, tồn tại một tập con hữu hạn S′

k ⊆ S k sao cho I = (S′

k )R Theo Định lý 1.1.13 ta

có g k ∈ ( f k )R với f k ∈ S′k Chú ý f ∈ S do định nghĩa Viết f = X m và g = X n với

m , n ∈ Nd Khi đó f k = X km và g k = X kn , theo Bổ đề 1.1.10 thì km < kn Suy ra,

m < n , do đó g = X n ∈ (X m )R = ( f )R ⊆ J.

Mệnh đề 1.3.22 Cho J là một iđêan đơn thức trong R.

(i) Nếu S là một tập sinh đơn thức của J thì tập S k = { f k | f ∈ S} là một tập sinh

(ii) Nếu f1, , f n ∈ [[J]] là một dãy sinh đơn thức của J, thì J [k] = ( f1k , , f n k )R.

đó ta cần chỉ ra (S k )R = (T k )R Để kiểm tra (S k )R ⊆ (T k )R, ta cần chỉ ra S k ⊆ (T k )R Lấy f k ∈ S k , f ∈ S Bằng định nghĩa ta có f k ∈ T k ⊆ (T k )R Do đó S k ⊆ (T k )R Để

kiểm tra (S k )R ⊇ (T k )R ta cần chỉ ra T k ⊆ (S k )R Lấy f k ∈ T k , f ∈ [[J]].Theo 1.3.21

ta có f k ∈ (S k )R, suy ra T k ⊆ (S k )R.

(ii) Đặt S = { f1, , f n} Từ (i) ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 1.3.23 Đặt R = A[X,Y ], xét iđêan J = (X3, X2Y ,Y2)R với đồ thị như Hình

1.14 bên dưới

0 1 2 3 4

.

.

.

.

Bổ đề 1.3.24 Cho J là một iđêan đơn thức của R và g ∈ [[R]] là một đơn thức trong

R Với k = 1, 2, ta có g ∈ J nếu và chỉ nếu g k ∈ J [k]

Mệnh đề 1.3.25 Cho J là một iđêan đơn thức của R Với k = 1,2, ta có J [k] ⊆ J

Mệnh đề 1.3.26 Cho J là một iđêan đơn thức của R và f1, , f n ∈ [[J]] là một dãy

1, , f n k,

với k = 1,2,

1, , f k

n là một dãy sinh đơn thức

của J [k] Giả sử dãy là "thừa" Khi đó tồn tại các chỉ số i, j sao cho i 6= j và f k

i ∈

( f k

j )R = (( f j )R) [k] Do đó, theo Bổ đề 1.3.24 có f i ∈ ( f j )R, điều này là mâu thuẫn.

Suy ra điều phải chứng minh

Bổ đề 1.3.27 Cho I và J là các iđêan đơn thức của R và cố định số nguyên k > 1.

[[J]] là một dãy sinh đơn thức của J.

Với mỗi phần tử sinh f k

i ∈ I [k] , theo giả thiết ta có f i ∈ I ⊆ J Do đó, theo Bổ đề

1.3.24 có f k

i ∈ J [k]

Ngược lại, với mỗi i = 1, ,m ta có f k

i ∈ I [k] ⊆ J [k] , theo Bổ đề 1.3.24 có f i ∈ J Suy ra, I = ( f1, , f m )R ⊆ J.

(ii) Ta có I = J khi và chỉ khi I ⊆ J và J ⊆ I Theo phần (i) thì (I ⊆ J và J ⊆ I) khi và chỉ khi (I [k] ⊆ J [k] và J [k] ⊆ I [k] ), do đó I = J khi và chỉ khi I [k] = J [k]

Bổ đề 1.3.28 Cho J1, , J n là các iđêan đơn thức trong R Với mỗi số nguyên k > 1

i=1J i)[k] = ∩n i=1J i [k]

Với n = 2 Đặt f1, , f m ∈ [[J1]] là một dãy sinh đơn thức của J1, g1, , g n ∈ [[J2]]

là một dãy sinh đơn thức của J2

Ta có J1∩ J2⊆ J1, hơn nữa theo Bổ đề 1.3.27 (i) ta có (J1∩ J2)[k] ⊆ J1[k], tương tự

ta có (J1∩ J2)[k] ⊆ J2[k] Suy ra (J1∩ J2)[k] ⊆ J1[k] ∩ J2[k]

Tiếp theo ta chứng minh nếu đơn thức z ∈ [[J [k]

1 ∩ J2[k] ]] = [[J1[k] ]] ∩ [[J2[k] ]] thì z ∈ (J1∩ J2)[k] Từ điều kiện z ∈ [[J1[k] ]] = [[( f1k , , f m k )R]] ta có z ∈ ( f i k )R với chỉ số i nào đó Tương tự z ∈ [[J [k]

2 ]] = [[(g k1, , g k n )R]] ta có z ∈ (g k j )R với chỉ số j nào đó Đặt f i = X m và g j = X n , do đó ta có f i k = X km và g k

j = X kn Với l = 1, , d đặt

p l = max{m l , n l } Suy ra kp l = max{km l , kn l}, Theo Bổ đề1.3.7 và Bổ đề 1.3.27 tacó

z ∈ ( f i k )R ∩ (g k j )R = (X kp )R = ((X p )R) [k] = (( f i )R ∩ (g j )R) [k] ⊆ (J1∩ J2)[k]

Giả sử n ≥ 3 và kết quả đúng với n − 1 Ta có (∩ n

i=1J i)[k] = (∩n i=1−1J i ∩ J n)[k] =(∩n i=1−1J i)[k] ∩ J n [k]= ∩n

i=1J i [k] với k > 1.

1.4 Iđêan m-bất khả quy

Định nghĩa 1.4.1 Một iđêan đơn thức J ( R là m-khả quy nếu có các iđêan đơn

thức J1, J26= J sao cho J = J1∩ J2 Một iđêan đơn thức J ( R là m-bất khả quy nếu

nó không là m-khả quy

Nhận xét 1.4.2 Một iđêan đơn thức J ⊆ R là m-bất khả quy nếu và chỉ nếu nó thỏa

mãn các điều kiện sau:

(i) J 6= R.

(ii) Có hai iđêan đơn thức J1, J2 sao cho J = J1∩ J2, thì hoặc J1= J hoặc J2 = J Nếu J là m-bất khả quy và J1, , J n là các iđêan đơn thức (với n > 2) sao cho

J = ∩n

i=1J i thì tồn tại chỉ số i sao cho J = J i

Định lý 1.4.3 Cho J là một iđêan đơn thức, khác không của R Iđêan J là m-bất

và lấy một đơn thức f i ∈ [[J i ]] \ [[J]] Viết f1 = X m và f2 = X n Với i = 1, , d đặt

p i = max{m i , n i}

Với i = 1, ,k ta có m i < e i vì trái lại nếu tồn tại i để m i > e i, so sánh các véctơ

lũy thừa cho thấy f1 ∈ (X e i

t i )R ⊆ J, điều này mâu thuẫn Tương tự, với i = 1, , k ta

có n i < e i , và do đó p i = max{m i , n i } < e i Từ đó lcm( f1, f2) = X p 6∈ J Mặt khác,

ta có lcm( f1, f2) ∈ J1∩ J2= J, điều này mâu thuẫn.

Ngược lại, giả sử J là m-bất khả quy Cho f1, , f k là một dãy sinh đơn thức rút

gọn của J Ta chứng minh mỗi f i có dạng X e i

t i Bằng phản chứng, giả sử tồn tại f i

1 Vì X e

1| f k , nên suy ra f i | f k Dãy f1, , f k là rút gọn, vì vậy ta có

fi = f k Do đó, ta có f k = X e

1g |X e

1 Suy ra g = 1, điều này là mâu thuẫn.

Tương tự J ( I′ Ta có J = I ∩ I′, J ( I và J ( I′ Điều này mâu thuẫn với giả thiết

J là m-bất khả quy Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 1.4.4 Đặt R = A[X,Y ] Iđêan đơn thức J = (X3, X2Y ,Y3)R là m-khả quy.

Thật vậy theo Ví dụ 1.3.9, ta có

J = (X2,Y3)R ∩ (X3,Y )R Lại có X2∈ (X2,Y3)R\J vì vậy J 6= (X2,Y3)R; Y ∈ (X3,Y )R\J, vì vậy J 6= (X3,Y )R Mặt khác, iđêan (X2,Y3)R và (X3,Y )R là m-bất khả quy theo Định lí 1.4.3

Bổ đề 1.4.5 Cho I,J1, , J n là các iđêan đơn thức trong R sao cho I là m-bất khả

i=1J i ⊆ I thì tồn tại một chỉ số j sao cho J j ⊆ I.