Khóa Luận Phân Tích Nguyên Sơ Của Iđêan Đơn Thức.pdf

Möc löc Mð �¦u 3 0 1 Sü c¦n thi¸t cõa � t i 3 0 2 Möc �½ch nghi¶n cùu 3 0 3 �èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n cùu 3 0 4 Nëi dung nghi¶n cùu 3 0 5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu 3 0 6 K¸t qu£ �¤t �÷ñc 3 0 7 C§u tróc[.]

Möc löc

0.1 Sü c¦n thi¸t cõa · t i 3

0.2 Möc ½ch nghi¶n cùu 3

0.3 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu 3

0.4 Nëi dung nghi¶n cùu 3

0.5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu 3

0.6 K¸t qu£ ¤t ÷ñc 3

0.7 C§u tróc · t i 4

1 Ki¸n thùc chu©n bà 5 1.1 V nh 5

1.2 I¶an 6

2 Ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa i¶an têng qu¡t 10 2.1 Ph¥n t½ch nguy¶n sì 10

2.1.1 I¶an nguy¶n sì 10

2.1.2 Ph¥n t½ch nguy¶n sì 12

2.2 I¶an nguy¶n tè li¶n k¸t 14

3 Ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa i¶an ìn thùc v  i¶an trong v nh Z 16 3.1 I¶an ìn thùc 16

3.2 B i tªp 19

Líi c£m ìn

Khâa luªn n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü d¨n d­t v  ch¿ b£o tªn t¼nh cõa TS L¶Xu¥n Dông Em xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh nh§t ¸n th¦y Th¦y ¢ tªn t¼nhh÷îng d¨n, h¸t láng gióp ï em trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu º ho n

Dò r§t cè g­ng, xong khâa luªn công khæng tr¡nh khäi nhúng h¤n ch¸ v  thi¸u sât

Em r§t mong nhªn ÷ñc sü gâp þ cõa th¦y cæ v  c¡c b¤n

T¡c gi£Trành Quèc Tu§n

Mð ¦u

0.1 Sü c¦n thi¸t cõa · t i

I¶an l  mët kh¡i ni»m cì b£n v  quan trång cõa c§u tróc v nh Trong ch÷ìng tr¼nh

¤i sè ¤i c÷ìng, sinh vi¶n ¢ ÷ñc ti¸p cªn vîi mët sè lo¤i i¶an °c bi»t nh÷: i¶annguy¶n tè, i¶an cüc ¤i, Ngo i c¡c lo¤i i¶an nâi tr¶n, cán câ mët sè lo¤i i¶an kh¡ccông ÷ñc nhi·u nh  to¡n håc quan t¥m, nghi¶n cùu, trong â câ i¶an nguy¶n tè li¶nk¸t Em chån · t i "Ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa i¶an ìn thùc" vîi möc ti¶u ch½nh l t¼m hiºu kh¡i ni»m cõa i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t qua vi»c t½nh to¡n cö thº tr¶n mët sèlîp i¶an trong v nh a thùc

- Ph¤m vi: ¤i sè giao ho¡n

0.4 Nëi dung nghi¶n cùu

Ph¥n t½ch i¶an I b§t k¼ th nh giao cõa c¡c th nh ph¦n nguy»n sì trong v nh giaoho¡n, tø â x¡c ành tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t t÷ìng ùng cõa I

ii) Giîi thi»u kh¡i ni»m tªp i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t.

2 Ph¥n t½ch mët sè lîp i¶an cö thº trong v nh a thùc v  v nh Z

0.7 C§u tróc · t i

Ngo i ph¦n mð ¦u v  k¸t luªn, tiºu luªn ÷ñc chia l m 3 ch÷ìng

Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà

Ch÷ìng 2: Ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa i¶an têng qu¡t

Ch÷ìng 3: Ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa i¶an ìn thùc v  i¶an trong v nh Z

ành ngh¾a 1.1.1 V nh l  mët tªp hñp R 6= ∅ ÷ñc trang bà ph²p to¡n ”+” : (a, b) 7→

a + b v  ph²p to¡n nh¥n”.” : (a, b) 7→ a.b thäa m¢n c¡c t½nh ch§t sau:

i) Ph²p cæng câ c¡c t½nh ch§t sau:

• T½nh ch§t k¸t hñp, tùc l  vîi måi a, b, c ∈ R sao cho

• Câ ph¦n tû 0, tùc l  vîi måi a ∈ R sao cho 0 + a = a + 0 = a

• Câ ph¦n tû èi, tùc l  èi vîi méi a ∈ R, tçn t¤i ph¦n tû a0 ∈ R sao cho

N¸u ph²p nh¥n ”.” câ ph¦n tû ìn và th¼ (R, +, ) gåi l  v nh câ ìn và

N¸u ph²p nh¥n ”.” câ t½nh ch§t giao ho¡n th¼ (R, +, ) gåi l  v nh giao ho¡n.V½ dö 1.1.1

i) Tªp sè nguy¶n Z, sè thüc R, sè phùc C vîi c¡c ph²p cëng v  ph²p nh¥n thæng th÷ínglªp th nh c¡c v nh Tuy nhi¶n tªp N khæng ph£i l  v nh

ii) Cho n ≥ 2 l  sè tü nhi¶n Ta bi¸t r¬ng mët lîp th°ng d÷ theo modun n l  tªp c¡c sènguy¶n khi chia cho n câ còng sè d÷ N¸u a ∈ Z th¼ ta kþ hi»u a l  lîp th°ng d÷ chùa

sè a Tªp c¡c lîp th°ng d÷ n y ÷ñc k½ hi»u l  Zn Ta câ thº ành ngh¾a têng v  t½chcõa a v  b t÷ìng ùng l  a + b v  ab Khi â Zn lªp th nh mët v nh giao ho¡n vîi ìn

và 1

ành ngh¾a 1.1.2 Cho A l  mët tªp con ên ành èi vîi ph²p cëng v  ph²p nh¥n cõa

v nh R N¸u A còng vîi c¡c ph²p to¡n c£m sinh l  mët v nh th¼ A ÷ñc gåi l  mët

Chùng minh Thªt vªy, tªp con A cõa v nh R l  ên ành èi vîi ph²p to¡n nh¥n khi

v  ch¿ khi a, b ∈ A k²o theo ab ∈ A çng thíi tªp con A èi vîi nhâm con theo ph²pto¡n cëng khi v  ch¿ khi nâ thäa m¢n i) v  ph¦n cán l¤i cõa ii) Luªt ph¥n phèi trong

A suy ra luªt ph¥n phèi trong R

1.2 I¶an

ành ngh¾a 1.2.1 V nh con I cõa v nh R ÷ñc gåi l  i¶an tr¡i (ph£i) n¸u xa ∈I(ax ∈ I) vîi måi a ∈ I, x ∈ R N¸u I vøa l  i¶an tr¡i v  vøa l  i¶an ph£i th¼ I ÷ñcgåi l  mët i¶an cõa R

V½ dö 1.2.1

i) Måi v nh R ·u chùa i¶an t¦m th÷íng I 6= ∅ v  ch½nh nâ I = R

ii) Tªp con c¡c h m li¶n töc tr¶n [a, b] v  tri»t ti¶u t¤i x0, a ≤ x0 ≤ b, l  i¶an cõa v nhC[a, b]

M»nh · 1.2.1 Cho R l  mët v nh Tªp con I 6= ∅ cõa R Khi â c¡c i·u ki»n sau

l  t÷ìng ÷ìng

i) I l  i¶an cõa R

ii) Vîi måi a ∈ I v  x ∈ R th¼ a − b ∈ I v  xa ∈ I(ax ∈ I)

Chùng minh Tr÷îc h¸t ta th§y r¬ng i·u ki»n a − b ∈ I vîi måi a, b ∈ I t÷ìng ÷ìngvîi kh¯ng ành r¬ng I l  mët nhâm con èi vîi ph²p cëng Tø â, hiºn nhi¶n i) ⇒ ii).Ng÷ñc l¤i n¸u xa ∈ I(ax ∈ I) vîi måi a ∈ I, x ∈ R th¼ ta suy ra I âng k½n èi vîiph²p nh¥n khi ta l§y x ∈ I, do â I l  v nh con cõa R v  do â ii) ⇒ i)

ành ngh¾a 1.2.2 Cho A l  mët tªp hñp cõa v nh R Giao cõa hå t§t c£ c¡c i¶ancõa R chùa A l  mët i¶an cõa R chùa A I¶an n y ÷ñc gåi l  i¶an sinh bði tªp A(kþ hi»u l  < A >) A ÷ñc gåi l  tªp sinh tèi tiºu (cán gåi l  h» sinh tèi tiºu, cì sðtèi tiºu) cõa I n¸u A l  tªp sinh cõa I v  khæng chùa thüc sü mët tªp sinh kh¡c cõa

I Ta nâi i¶an l  húu h¤n sinh n¸u nâ câ mët h» sinh húu h¤n

V½ dö 1.2.2

i) Måi i¶an trong v nh Z ·u sinh bði mët ph¦n tû

ii) Mët i¶an câ thº câ nhi·u tªp sinh tèi tiºu kh¡c nhau Ch¯ng h¤n {1}, {2, 3}, {6, 10, 15}

l  c¡c tªp sinh tèi tiºu cõa i¶an Z trong v nh Z

Bê · 1.2.1 Cho R l  mët v nh v  A 6= ∅ Khi â, tªp hñp

{r1a1+ + rnan|n ∈ N ; r1, , rn ∈ R; a1, , an∈ A} (1.4)

l  i¶an b² nh§t chùa A

ành ngh¾a 1.2.3 (I¶an b§t kh£ quy) Cho I l  mët i¶an cõa v nh giao ho¡n R v 

I khêng thº biºu thà bði giao c¡c i¶an lîn hìn R, i¶an I â ÷ñc gåi l  khæng kh£quy Ngh¾a l , I l  b§t kh£ quy v  ch¿ khi n¸u I ⊂ R v  I = I1∩ I2 vîi I1, I2 l  i¶ancõa R th¼ I = I1 ho°c I = I2

ành ngh¾a 1.2.4 (V nh Noether) V nh giao ho¡n câ ìn và ÷ñc gåi l  V nh Noethern¸u måi i¶an cõa nâ ·u l  húu h¤n sinh, tùc l  tçn t¤i mët tªp sinh húu h¤n ph¦ntû

M»nh · 1.2.2 Cho R l  v nh Noether giao ho¡n Méi i¶an thüc sü cõa R câ thºbiºu thà bði giao cõa c¡c i¶an húu h¤n b§t kh£ quy cõa R

Chùng minh K½ hi»u P l  tªp hñp t§t c£ c¡c i¶an thüc sü cõa R, biºu thà ÷ñc bðigiao húu h¤n nhi·u i¶an khæng kh£ quy cõa R C¦n chùng minh P = ∅ Thªt vªy,

ta câ R l  v nh Noether P l  mët ph¦n tû cüc ¤i Do I khæng b§t kh£ quy n¶n

I = I1∩ I2 v  I /∈ P I l  i¶an thüc sü, I = I1∩ I2 vîi I1, I2 l  i¶an cõa R Bði vªy

I ⊂ I1 v  I ⊂ I2 Chån Ii ∈ P vîi i = 1, 2 Do hai i¶anI1, I2 l  i¶an thüc sü biºuthà bði giao húu h¤n nhi·u i¶an b§t kh£ quy cõa R n¶n I = I1∩ I2 (m¥u thu¨n) Vªy

P = ∅

ành ngh¾a 1.2.5 (I¶an cüc ¤i) I¶an thüc sü cõa v nh R ÷ñc gåi l  cüc ¤i(tèi

¤i) n¸u nâ khæng thüc sü chùa mët i¶an thüc sü kh¡c cõa R

V½ dö 1.2.3 5Z l  mët i¶an cüc ¤i cõa Z

Bê · 1.2.2 Cho I l  i¶an thüc sü cõa R Khi â I l  i¶an cüc ¤i khi v  ch¿ khiR/I l  tr÷íng

Chùng minh Gi£ sû I l  i¶an cüc ¤i trong v nh R, gi£ sû u ∈ R/I, u 6= 0 Th¸ th¼tçn t¤i r ∈ R/I sao cho

ngh¾a l  r câ nghàch £o.Vªy R/I l  mët tr÷íng

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû R/I l  mët tr÷íng Th¸ th¼ R/I khæng câ i¶an thüc sü Khi ân¸u B l  mët i¶an cõa R sao cho

th¼ B/I l  i¶an cõa R/I Do trong R/I l  khæng câ i¶an thüc sü n¶n B/I = 0 ho°cB/I = R/I, ngh¾a l  B = I ho°c B = R i·u n y chùng tä I l  i¶an tèi ¤i trong

R

Bê · 1.2.3 (Bê · Zorn) Mët tªp s­p thù tü c¡c bë phªn kh¡c réng V câ t½nh ch§t

"måi tªp con ÷ñc s­p thù tü to n ph¦n ·u câ ch°n tr¶n thuëc V " th¼ V câ ½t nh§tmët ph¦n tû cüc ¤i

M»nh · 1.2.3 Mët v nh khæng t¦m th÷íng ·u chùa ½t nh§t mët i¶an cüc ¤i.Chùng minh V¼ R 6= 0 n¶n 0 l  i¶an thüc sü cõa R v  tªp Ω c¡c i¶an thüc sü cõa

R kh¡c réng Quan h» bao h m thùc ⊆ l  mët thù tü c¡c bë phªn tr¶n Ω I¶an cüc

¤i cõa R ch½nh l  ph¦n tû cüc ¤i cõa Ω theo quan h» thù tü n y Gi£ sû 4 6= l mët tªp con cõa Ω ÷ñc s­p ho n to n °t J = SI∈4I

Ta câ J l  mët i¶an N¸u J = R th¼ 1 ∈ J v  tçn t¤i I ∈ 4 º 1 ∈ I Suy ra

I = R,væ l½ Vªy J ∈ Ω i·u â chùng tä tªp 4 bà ch°n tr¶n bði J Theo bê · Zorn,

Ωph£i câ ph¦n tû cüc ¤i

M»nh · 1.2.4 Cho I l  mët i¶an thüc sü cõa v nh R Khi â tçn t¤i ½t nh§t mëti¶an cüc ¤i cõa R chùa I

H» qu£ 1.2.1 Ph¦n tû a ∈ R l  ph¦n tû ìn và khi v  ch¿ khi nâ khæng n¬m trongmët i¶an cüc ¤i cõa R

ành ngh¾a 1.2.6 (I¶an nguy¶n tè) I¶an P cõa R ÷ñc gåi l  i¶an nguy¶n tè n¸u

P 6= R v  tø ab ∈ R suy ra a ∈ P ho°c b ∈ P vîi måi a, b ∈ R

V½ dö 1.2.4 Cho q l  sè nguy¶n tè cõa Z Khi â qZ l  i¶an nguy¶n tè cõa v nh(Z, +, )

Chùng minh Gi£ sû xy ∈ Zq Khi â xy q V¼ q l  sè nguy¶n tè n¶n suy ra x q ho°c

y q Hay x ∈Zq ho°c y ∈ qZ Vªy qZ l  i¶an nguy¶n tè

M»nh · 1.2.5 Cho I l  i¶an thüc sü cõa R Khi â I l  i¶an nguy¶n tè khi v ch¿ khi R/I l  mi·n nguy¶n

Chùng minh ” ⇒ ” Gi£ sû I l  i¶an nguy¶n tè cõa R Khi â, R/I = {x+I|x ∈ R} l 

v nh th÷ìng cõa R tr¶n I V¼ I l  i¶an nguy¶n tè n¶n I 6= R v  R/I câ nhi·u hìn mëtph¦n tû Ph¦n tû ìn và cõa R/I l  1 + I Do R/I l  v nh giao ho¡n n¶n R/I l  v nhgiao ho¡n Gi£ sû x + I, y + I ∈ R/I m  (x + I)(y + I) = 0 + I, do â xy + I = 0 + I,suy ra xy ∈ I Do I nguy¶n tè n¶n x ∈ I ho°c y ∈ I Suy ra x + I = I, y + I = I V¼vªy, R/I l  v nh giao ho¡n khæng câ ÷îc cõa 0 hay R/I l  mi·n nguy¶n

” ⇐ ” Gi£ sû R/I l  mi·n nguy¶n, khi â R/I câ nhi·u hìn mët ph¦n tû suy ra

R 6= I Gi£ sû x, y ∈ R v  xy ∈ I suy ra xy + I = I hay (x + I)(y + I) = I = 0 + I.V¼R/I khæng câ ÷îc cõa 0 n¶n x + I = I ho°c y + I = I, do â x ∈ I ho°c y ∈ I Vªy I

l  i¶an nguy¶n tè

Chó þ 1.2.1

i) Méi tr÷íng l  mi·n nguy¶n n¶n méi i¶an cüc ¤i l  i¶an nguy¶n tè

ii) I¶an nguy¶n tè ch÷a h¯n l  cüc ¤i X²t trong v nh Z, ta câ i¶an 0 cõa Z nguy¶n

tè v¼ 0 ⊆ 2Z ⊆ Z

ành ngh¾a 1.2.7 (V nh a thùc) Cho R l  mët v nh v  x1, , xn(n ≥ 1) l  c¡cbi¸n Ta gåi ìn thùc l  mët biºu thùc câ d¤ng xa 1

1 xa n

n , trong â (a1, , an) ∈ N∗ ÷ñcgåi l  bë sè mô cõa ìn thùc N¸u a1 = = an= 0, th¼ ìn thùc ÷ñc k½ hi»u l  1.Ph²p nh¥n tr¶n tªp c¡c ìn thùc ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau

Nhªn x²t r¬ng γa 6= 0 ch¿ khi tçn t¤i b v  c vîi αb 6= 0, βc6= 0 º a = b + c Do vªy ch¿

câ mët sè húu h¤n h» sè γa6= 0 v  ph²p nh¥n a thùc ð tr¶n l  ho n to n x¡c ành.Vîi hai ph²p to¡n cëng a thùc v  nh¥n a thùc n¶u tr¶n, câ thº kiºm tra t§t c£ c¡c

a thùc lªp th nh v nh giao ho¡n vîi ph¦n tû ìn và l  ìn thùc 1 Tªp n y k½ hi»u l R[x1, , xn] hay R[x]

V nh R[x1, , xn]÷ñc x¥y düng nh÷ tr¶n ÷ñc gåi l  v nh a thùc n bi¸n tr¶n v nhR

ii) Vîi måi a, b ∈ R sao cho ab ∈ Q, a /∈ Q th¼ tçn t¤i n ∈ N sao bn∈ Q.

Nhªn x²t 2.1.1 Måi i¶an nguy¶n tè ·u l  i¶an nguy¶n sì

Chùng minh Gi£ sû P l  i¶an nguy¶n tè cõa v nh R Khi â vîi a, b ∈ R v  ab ∈

P, a /∈ P suy ra b ∈ P Ngh¾a l  tçn t¤i n = 1 º b1 ∈ P Vªy P l  i¶an nguy¶n sì

Bê · 2.1.1 Cho Q l  i¶an trong v nh giao ho¡n R Q l  nguy¶n sì n¸u v  ch¿ n¸u

v nh R/Q l  v nh khæng t¦m th÷íng v  câ t½nh ch§t: måi ÷îc cõa 0 l  ph¦n tû lôylinh

Chùng minh

” ⇒ ” V¼ Q l  i¶an nguy¶n sì n¶n Q 6= R, do â R/Q l  v nh khæng t¦m th÷íng.Gi£ sû x ∈ R/Q l  ÷îc cõa 0 cõa v nh R/Q Khi â x 6= 0 v  tçn t¤i y ∈ R/Q, y 6= 0sao cho xy = 0 Ta câ x = a + Q, y = b + Q vîi a, b ∈ R; a, b /∈ Q v  (a + Q)(b + Q) = 0suy ra ab + Q = 0 Do â, ab ∈ Q

Do b /∈ Q n¶n tçn t¤i n ∈ N∗ sao cho an ∈ Q suy ra (a + Q)n = 0 Do â, xn= 0.Vªy x lôy linh Nh÷ vªy måi ÷îc cõa khæng cõa v nh R/Q ·u lôy linh

” ⇐ ” V¼ R/Q l  v nh khæng t¦m th÷íng n¶n Q 6= R

Vîi måi a, b ∈ R m  ab ∈ Q, a /∈ Q

N¸u b ∈ Q th¼ ∃n = 1 º b1 ∈ Q

N¸u b /∈ Q th¼ b + Q 6= 0, ta công câ a + Q 6= 0.

Ta câ (a + Q)(b + Q) = ab + Q = 0(v¼ ab ∈ Q) Vªy b + Q l  ÷îc cõa khængtrong v nh R/Q, do â theo gi£ thi¸t b + Q lôy linh, ngh¾a l  ∃n ∈ N∗ sao cho(b + Q)n = 0 ⇒ bn+ Q = 0 ⇒ bn ∈ Q Vªy vîi måi a, b ∈ R m  ab ∈ Q, a /∈ Q luæn

∃n ∈ N∗ sao cho bn∈ Q, do â Q l  i¶an nguy¶n sì cõa R

M»nh · 2.1.1 R l  v nh Noether giao ho¡n v  I l  i¶an b§t kh£ quy cõa R th¼nguy¶n sì

Chùng minh Tø ành ngh¾a, i¶an b§t kh£ quy I ⊂ R Gi£ sû a, b ∈ R sao cho ab ∈ I

v  b ∈ I Ta câ

(I : a) ⊆ (I : a2) ⊆ ⊆ (I : at) ⊆ (2.1)

l  d¢y x½ch t«ng cõa i¶an sao cho R l  Noether n¶n tçn t¤i n ∈ N sao cho

vîi n ∈ N Ta th§y I = (I : Ran) ∩ (I + Rb) Rã r ng I ⊆ (I : Ran) ∩ (I + Rb) L§y

r ∈ (I : Ran) ∩ (I + Rb) Gi£ sû r = g + can = h + db vîi g, h ∈ I, cd ∈ R Suy ra

ra = ga + can+1 = ha + dab vîi a, b, g, h ∈ I Ta câ can+1= ha + dab − ga ∈ I Do â,

c ∈ (I : an+1) = (I : an) sao cho r = g + can ∈ I, tø â I = (I + Ran) ∩ (I + Rb) m  Ib§t kh£ quy, I ⊂ I + Rb v¼ b ∈ I Bði vªy I = I + Ran Do â an ∈ I N¶n I l  i¶annguy¶n sì cõa R

M»nh · 2.1.2 Cho Q l  i¶an nguy¶n sì trong v nh giao ho¡n R Khi â, P :=√Q

l  i¶an nguy¶n tè trong R

Chùng minh V¼ P :=√Q = {a ∈ R|∃n ∈ N∗ : an ∈ Q} Suy ra P 6= R (v¼ n¸u P = Rth¼ 1 ∈ P suy ra 1 ∈ Q suy ra Q = R, ¥y l  i·u væ lþ Vîi a, b ∈ R m  ab ∈ P, a /∈ P ,khi â ta câ tçn t¤i n ∈ N∗ º (ab)n = anbn ∈ Q Vªy anbn ∈ Q, an∈ Q/ m  Q l  i¶annguy¶n sì n¶n suy ra tçn t¤i m ∈ N∗ º (bn)m = bn.m ∈ Q, tø â b ∈ Q Tø â suy ra,vîi måi a, b ∈ R m  ab ∈ P, a /∈ P ta câ a ∈ P Do â P l  i¶an nguy¶n tè cõa R Ta

câ i·u ph£i chùng minh

I¶an nguy¶n sì Q thäa m¢n i·u ki»n nh÷ trong m»nh · tr¶n ÷ñc gåi l i¶an P-nguy¶n sì

M»nh · 2.1.3 Cho Q l  P -nguy¶n sì cõa v nh R, a ∈ R Ta kþ hi»u

Khi â

i) a ∈ Q khi v  ch¿ khi (Q : a) = R

ii) a /∈ Q khi v  ch¿ khi (Q : a) l  P -nguy¶n sì

iii) a /∈ P khi v  ch¿ khi (Q : a) = Q

” ⇒ ”Ta c¦n chùng minh p(Q; a) = √Q = P Ta câ vîi x ∈√Q; asuy ra ∃n ∈ N∗

º xn ∈ (Q : a) Do â axn ∈ Q V¼ a /∈ Q m  Q l  i¶an nguy¶n sì n¶n tçn t¤i m ∈ N∗

º (xn)m ∈ Qsuy ra x ∈√Q Ng÷ñc l¤i, vîi x ∈√Q, tçn t¤i n ∈ N∗ º xn∈ Q, suy ra

L°p l¤i qu¡ tr¼nh tr¶n cuèi còng ta ÷ñc a ∈ (Q : a) = Q Tø â theo i) ta câ

Q = (Q : a) = R, m¥u thu¨n Vªy n¸u câ Q = (Q : a) th¼ a /∈ P

2.1.2 Ph¥n t½ch nguy¶n sì

ành ngh¾a 2.1.2 Cho I l  i¶an thüc sü cõa v nh R Ta nâi

i) I l  ph¥n t½ch nguy¶n sì n¸u I vi¸t ÷ñc d÷îi d¤ng I = Q1 ∩ ∩ Qn vîi √Qi =

Pi, ∀i = 1, n

ii) Ph¥n t½ch nguy¶n sì cõa I tèi gi£n (khæng rót gån ÷ñc) n¸u I 6= Q1∩ ∩ cQj∩ ∩Qn,vîi måi j = 1, n, trong â Qcj l  k½ hi»u bä i¶an n y ra khäi giao

iii) Ph¥n t½ch nguy¶n sì I ÷ñc gåi l  cüc tiºu khi

a) P1, , Pn l  n i¶an nguy¶n tè kh¡c nhau cõa R

b) X²t v nh a thùc K[x, y] Ta câ (x2, xy2) = (x) ∩ (x2, y2) = (x) ∩ (x2, xny, y2) trong

dâ n > 1 tòy þ ¥y l  ph¥n t½ch nguy¶n sì tèi tiºu Nh÷ vªy trong tr÷íng hñp n y câ

væ sè ph¥n t½ch nguy¶n sì tèi tiºu

ành lþ 2.1.1 Cho I l  i¶an thüc sü cõa v nh giao ho¡n R v  I = Tn

ii) Tçn t¤i a ∈ R sao cho I : a = P -nguy¶n sì

iii) Tçn t¤i a ∈ R sao cho √I : a = P

• ”ii) ⇒ iii)” Theo ành ngh¾a i¶an nguy¶n sì, ta câ I : a l  i¶an nguy¶n sì n¶n

1, , Pn0} V¼ khæng câ hai i¶an nguy¶n tè n o trong méi tªp hñptròng nhau n¶n n = n0

2.2 I¶an nguy¶n tè li¶n k¸t

ành ngh¾a 2.2.1 Cho I l  i¶an nguy¶n tè cõa R v  I = Q1∩ ∩ Qn vîi √Qi =

Pi, ∀i = 1, n l  ph¥n t½ch nguy¶n sì tèi gi£n cõa I Tªp n ph¦n tû {P1, , Pn} l  æimët kh¡c nhau Ta gåi Pi vîi i = 1, n l  c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa I v  k½ hi»u

l  Ass(I) ho°c AssR(I)

ii) Cho I l  i¶an thüc sü cõa R Tçn t¤i J l  i¶an thüc sü cõa R sao cho J ⊇ I khi

v  ch¿ khi J/I l  i¶an thüc sü cõa R/I Khi â

M»nh · 2.2.1 Cho I l  i¶an thüc sü cõa v nh giao ho¡n R v  tªp P ∈ Spec(R)

P l  ph¦n tû cüc tiºu cõa tªp Var(I) cõa t§t c£ c¡c i¶an nguy¶n tè cõa R chùa I khi

v  ch¿ khi P l  ph¦n tû cüc tiºu cõa Ass(I)

°c bi»t, i¶an nguy¶n tè cüc tiºu cõa I ∈ Ass(I) vîi I l  tªp húu h¤n c¡c i¶annguy¶n tè cüc tiºu v  n¸u Pi ∈ Spec(R) vîi Pi ⊇ I th¼ tçn t¤i P2 ∈ Ass(I)vîi Pi ⊇ P2.Chùng minh ” ⇒ ”I = Q1 ∩ ∩ Qn vîi √Qi = Pi, ∀i = 1, n l  ph¥n t½ch nguy¶n sìtèi gi£n cõa I Ta câ

â P ⊇ P0 ⊇ P ” M  P l  ph¦n tû nhä nh§t cõa Ass(I) n¶n P = P0 = P ” Bði vªy

P = P0 l  i¶an nguy¶n tè cüc tiºu cõa I

ành ngh¾a 2.2.2 Cho I l  i¶an thüc sü cõa v nh R

i) Ph¦n tû cüc tiºu cõa Ass(I) x¡c ành mët i¶an nguy¶n tè cüc tiºu cõa I I¶annguy¶n tè â ÷ñc gåi l  cüc tiºu ho°c nguy¶n tè cæ lªp cõa I

ii) I¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa I m  khæng ph£i cüc tiºu ÷ñc gåi l  i¶an nguy¶n tènhóng cõa I