Luận văn thạc sĩ toán học iđêan đơn thức chuẩn tắc và đa diện có tính phân tích nguyên

Việc xác định khi nào một iđêan là đóng nguyên là một vấn đề khó về mặt tính toán vì ta không có thuật toán để tính bao đóng nguyên.Trong trường hợp iđêan đơn thức, Lejeune - Teissier đã

Mục lục

Trang

Mục lục 1

Lời nói đầu 2

Chương 1: Iđêan đơn thức chuẩn tắc 4 1.1 Iđêan chuẩn tắc 5

1.2 Iđêan đơn thức 6

Chương 2: Tính phân tích nguyên của các đa diện 10 2.1 Tính phân tích nguyên của các đa diện 10

2.2 Đa diện có hữu hạn điểm nguyên 11

Kết luận 23

Tài liệu tham khảo 24

Lời nói đầu

Iđêan đóng nguyên đóng vai trò quan trọng trong Đại số giao hoán(xem [8]) Từ khái niệm này người ta xây dựng khái niệm iđêan chuẩntắc là iđêan mà mọi iđêan mũ của nó đều đóng nguyên Khái niệm nàyliên quan chặt chẽ đến bao đóng nguyên của đại số Rees, cũng là mộtkhái niệm quan trọng của Đại số giao hoán

Việc xác định khi nào một iđêan là đóng nguyên là một vấn đề khó

về mặt tính toán vì ta không có thuật toán để tính bao đóng nguyên.Trong trường hợp iđêan đơn thức, Lejeune - Teissier đã mô tả dược baođóng nguyên bằng một công cụ tổ hợp là đa diện Newton Dựa trên ýtưởng này, người ta có thể tính được iđêan đơn thức chuẩn tắc Ở đây

ta gặp vấn đề phải kiểm tra vô hạn các iđêan mũ phải đóng nguyên.Gần đây, Robert - Reid - Vitulli đã chỉ ra rằng là chỉ cần thử một sốhữu hạn các iđêan mũ đóng nguyên là đủ

Tuy nhiên ta cũng có thể dặt vấn đề là liệu có thể mô tả iđêan đơnthức chuẩn tắc qua đa diện Newton không Về mặt nguyên tắc, đa diệnnày phải chứa đựng mọi thông tin về bao đóng nguyên các iđêan mũ.Gần đây người ta dùng các công cụ của Quy hoạch tổ hợp để nghiêncứu iđêan đơn thức và thấy rằng iđêan đơn thức là chuẩn tắc khi và chỉkhi đa diện Newton có tính phân tích nguyên Tuy nhiên do đa diệnNewton của iđêan đơn thức có vô hạn điểm nguyên nên việc kiểm tratính phân tích nguyên sẽ phức tạp Từ đây nảy sinh vấn đề liệu có thểquy tính chất phân tích nguyên của đa diện Newton về một đa diện lồi

gần đây Mục đích của luận văn nhằm trình bày một cách hệ thống kếtquả này.

Luận văn gồm hai chương Chương 1 nói đến mối liên hệ giữa baođóng nguyên và tính đóng nguyên của một iđêan đơn thức với đa diệnNewton của nó Chương 2 nói đến mối liên hệ giữa tính chuẩn tắc củamột iđêan đơn thức với đa diện Newton của nó và việc quy tính phântích nguyên của đa diện Newton về một đa diện lồi có hữu hạn điểmnguyên

Nhân đây tôi xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới Viện Toán học đãtạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình từ khi vào học chotới nay Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt tới thầy hướng dẫnGS.TSKH Ngô Việt Trung đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiêncứu và hoàn thành luận văn này

Chương 1

Iđêan đơn thức chuẩn tắc

Ký hiệu N là tập các số tự nhiên Ta nhắc lại một số ký hiệu và tínhchất cơ bản trong vành đa thức (trong luận văn này ta chỉ xét vành đathức trên một trường) Cho R = K[x1, , xn] là vành đa thức n biếntrên trường K Một đơn thức của R có dạng

xa1

1 xan

n ,trong đó (a1, , an) ∈ Nn được gọi là bộ số mũ của đơn thức

(

a ≥ b nếu ai ≥ bivới mọi i = 1, , n

a > b nếu a ≥ b và ∃i : ai > biĐơn thức xa được gọi là chia hết cho xb (hay xb là ước của xa ) nếu

Một đa thức n biến của R có dạng

Tập I gồm tất cả những phần tử của R nguyên trên I được gọi là baođóng nguyên của I Iđêan I được gọi là đóng nguyên nếu I = I I đượcgọi là chuẩn tắc nếu Ik đóng nguyên với mọi k ≥ 1 Trong trường hợp

R là vành đa thức K[x1, , xn] ta có kết quả sau đây

Định lý 1.1.2 [4, theorem 1.4.2]

I = (xa | ∃m ∈ N : xam ∈ Im)Vậy ta có tính chất: xa nguyên trên I khi và chỉ khi ∃m ∈ N : xam ∈ Im

Mệnh đề 1.2.3 [5, Bổ đề 4.3] Cho I là iđêan đơn thức và f ∈ R.Các điều kiện sau là tương đương:

(a) f ∈ I

(b) Mọi từ của f thuộc I

(c) f là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I

Mệnh đề 1.2.4 [5, Bổ đề 4.6] Mọi iđêan đơn thức I = (xa; a ∈A), A ⊆ Nn bao giờ cũng viết được dưới dạng I = (xa1, , xas), trong

đó a1, , as ∈ A Nói riêng I là hữu hạn sinh

Định lý 1.2.5 [4, Proposition 1.1.6] Mọi iđêan đơn thức có một hệsinh đơn thức tối tiểu duy nhất Chính xác hơn, gọi G là tập các đơnthức của I có tính chất tối tiểu theo quan hệ ước Khi đó G chính là hệsinh đơn thức tối tiểu duy nhất của I

Để đơn giản , ta ký hiệu G(I) là hệ sinh đơn thức tối tiểu của I

1.2.2 Biểu diễn iđêan đơn thức

Cho I = (xa; a ∈ A) là iđêan đơn thức Với mỗi xa ∈ I ta chotương ứng một điểm a = (a1, , an) ∈ Nn là bộ số mũ của xa Nhưvậy, theo mệnh đề 1.3.2 tập tất cả các bộ số mũ của tất cả nhữngđơn thức thuộc I là những điểm nằm trong các khối vuông có đỉnh làcác điểm thuộc A Tập này được gọi là tập số mũ của I, ký hiệu là Γ(I)

Nếu {xa1, , xas} là hệ sinh đơn thức của I thì Γ(I) là tập tất cảcác điểm nguyên lớn hơn hoặc bằng bộ số mũ ai nào đó, i = 1, , s,tức là

Γ(I) = {a ∈ Nn | ∃ai ≤ a}

1.2.3 Đa diện Newton

Định nghĩa 1.2.6 Cho I là iđêan đơn thức của vành đa thức K[x1, , xn].Bao lồi của tập số mũ của I được gọi là đa diện Newton của I, ký hiệu

là N (I)

Như vậy với I = (xa1, , xam), ai ∈ Nn, i = 1, , m thì

N (I) = conv {a ∈ Nn | ∃ai ≤ a}

trong đó ký hiệu convS dùng để chỉ bao lồi của tập S ⊆ Rn

Cho M = xb 1, , xbp là một tập gồm hữu hạn đơn thức Ký hiệu

QM = conv {b1, , bp}

Với J là iđêan đơn thức của K[x1, , xn] thì theo định lý 1.3.5, J có

hệ sinh đơn thức tối tiểu duy nhất là G(J ), khi đó ta ký hiệu

QJ := QG(J )Định lý 1.2.7 [6, Lemma 2.5] Cho I ⊆ K[x1, , xn] là iđêan đơnthức và m ≥ 1 Giả sử I = (xβ1, , xβl) (không nhất thiết là hệ sinhtối tiểu) Khi đó

Chú ý rằng định lý trên đúng với mọi hệ sinh của I Khi chọnxβ 1, , xβl

là hệ sinh tối tiểu của I thìPl

i=1ciβi ∈ QI, do đó mọi phần tử α ∈ N (I)luôn viết được dưới dạng

α = β + ctrong đó β ∈ QI và c ≥ 0 Từ đó ta có hệ quả sau

Hệ quả 1.2.8 Cho I là iđêan đơn thức Khi đó

QI ⊆ N (I)

Bao đóng nguyên và tính đóng nguyên của một iđêan đơn thức cómối quan hệ chặt chẽ với đa diện Newton của nó, điều này được chỉ ratrong các định lý sau

Định lý 1.2.9 [4, Corolarry 1.4.3] Cho I là iđêan đơn thức của

R = K[x1, , xn] Khi đó

I = (xa | a ∈ N (I) ∩ Nn)Như vậy ta có

Chương 2

Tính phân tích nguyên của các đa diện

2.1 Tính phân tích nguyên của các đa diện

Định nghĩa 2.1.1 Cho P là một khối đa diện trong Rn và

kP := {ka | a ∈ P }

Ta nói rằng P có tính phân tích nguyên nếu mỗi véc tơ nguyên của

kP, k ∈ N, có thể được viết dưới dạng tổng của k véc tơ nguyên của P

Cho I = (xa1, , xam) là một iđêan đơn thức Nếu I chuẩn tắc thì

I là đóng nguyên Ngược lại, ta có định lý sau

Định lý 2.1.2 Cho I = (xa1, , xam) là một iđêan đơn thức Khi đó

I chuẩn tắc khi và chỉ khi I đóng nguyên và N (I) có tính phân tíchnguyên

Chứng minh Với k ≥ 1, ta có

Γ(Ik) = N (Ik) ∩ Nn

= kN (I) ∩ Nn (do định lý 1.4.2)Nếu I chuẩn tắc thì hiển nhiên I đóng nguyên Ta chứng minh N (I)

có tính phân tích nguyên:

Với mọi phần tử α ∈ N (I) mà kα ∈ kN (I) ∩ Nn, k ≥ 1, ta có

xkα ∈ Ik = Ik, do đó kα = α1 + · · · + αk, αi ∈ Γ(I)

Như vậy kα = α1 + · · · + αk, αi ∈ N (I) ∩ Nn

Ngược lại, với mọi phần tử xα ∈ Ik, k ≥ 1, ta có α ∈ kN (I) ∩ Nn

Do vậy α = α1 + · · · + αk với αi ∈ N (I) ∩ Nn hay xαi ∈ I

Từ đó xα ∈ (I)k = Ik

Định nghĩa về tính phân tích nguyên của đa diện đòi hỏi phải kiểmtra với mọi k, các véc tơ nguyên của kP bằng tổng của k véc tơ nguyêncủa P Từ định lý 2.1.2 trên và nhờ định lý 2.1.3 sau, ta không cầnkiểm tra tính phân tích nguyên với mọi k :

Định lý 2.1.2 [6, Proposition 3.1] Cho I là một iđêan đơn thức.Khi đó I là chuẩn tắc nếu Ik = Ik với k ≤ n − 1

Đa diện Newton N (I) có vô hạn điểm nguyên nên việc kiểm tra tínhphân tích nguyên sẽ phức tạp Ta xét đa diện có hữu hạn điểm nguyên

và a∗i := amax− ai, i = 1, , m.

N∗(I) = conv {a ∈ Nn | ∃a∗i ≥ a}

Ta có thể quy tính chất phân tích nguyên của đa diện Newton có vôhạn điểm nguyên về đa diện N∗(I) có hữu hạn điểm nguyên Điều nàyđược thể hiện trong định lý sau

Định lý 2.2.1 N (I) có tính phân tích nguyên khi và chỉ khi N∗(I) cótính phân tích nguyên

Chứng minh Đặt

D := N (I) = conv {a ∈ Nn | ∃ai ≤ a}

Dai := {a ∈ Rn | a ≥ ai} , i = 1, , m

D∗ := conv {a ∈ Nn | ∃ai ≤ a ≤ amax}

Ta sẽ chứng minh D có tính phân tích nguyên khi và chỉ khi D∗ có tínhphân tích nguyên và D∗ có tính phân tích nguyên khi và chỉ khi N∗(I)

hai trường hợp sau:

Trường hợp 1.α ∈ {a ∈ Rn | ∃ai ≤ a} Khi đó tồn tại ai sao cho

i=1Dai, ta có

(

α ∈ D

α /∈ Dai, với mọi i = 1, , m

Đặt D≤α := {a ∈ Rn | a ≤ α} Vì α /∈ Dai, với mọi i = 1, , m nên

đa diện lồi D≤α ∩ N (I) không chứa điểm nguyên nào nhỏ hơn α Do

Dai ⊆ D và D = conv {a ∈ Nn | ∃ai ≤ a} nên các mặt của D có haidạng:

Dạng 1 Song song với các trục tọa độ,

Dạng 2 Là bao lồi của hữu hạn điểm nguyên

Nếu D chỉ chỉ có các mặt song song với các trục tọa độ thì khi đó giaocác mặt chứa ít nhất một điểm nguyên nhỏ hơn α, suy ra D≤α∩ N (I)chứa điểm nguyên nhỏ hơn α, điều này là vô lý Nếu D chỉ có các mặt làbao lồi của hữu hạn điểm nguyên thì D chỉ chứa hữu hạn điểm nguyên,

vô lý Do vậy các mặt của D phải có cả hai dạng trên

Mặt khác các mặt giao nhau ở ngoài đa diện D≤α vì nếu có giao nằmtrong D≤α thì D≤α ∩ N (I) chứa điểm nguyên nhỏ hơn α

Suy ra D≤α ∩ N (I) là đa diện lồi có n mặt song song với các trục

điểm này thuộc mặt của D là bao lồi của những điểm {ai1, , air} ⊆{a1, , am}

Vì α thuộc các mặt song song với các trục tọa độ nên

α = max {xi1, , xir} ≤ max {ai1, , air} ≤ max {a1, , am}

Vậy α ≤ amax hay α ∈ D∗

(*) Chứng minh Dai có tính phân tích nguyên:

Dai := {a ∈ Rn | a ≥ ai} Với mọi α ∈ Dai, với kα ∈ kDai ∩ Nn, ta có

kα ≥ kai Do đó kα = kai + v(v ≥ 0, nguyên vì kα, kai nguyên) Hay

Với mọi α ∈ D, tồn tại i : α ∈ Dai hoặc α ∈ D∗

Nếu α ∈ Dai thì kα ∈ kDai ∩ Nn được viết

kα = α1 + · · · + αk, αi ∈ Dai ∩ Nn

Do đó

kα = α1 + · · · + αk, αi ∈ D ∩ NnNếu α ∈ D∗ thì kα ∈ kD∗ ∩ Nn được viết

kα = α1 + · · · + αk, αi ∈ D∗ ∩ Nn

Do đó

kα = α1 + · · · + αk, αi ∈ D ∩ Nn

(1b) Chứng minh D có tính phân tích nguyên thì D∗ có tính phân tíchnguyên.

Với mọi α ∈ D∗ Ta chứng minh kα ∈ kD∗ ∩ Nn được viết dưới dạng

kα = β1 + · · · + βk, βi ∈ D∗ ∩ Nn, k ≥ 1Thật vậy:

Với kα ∈ kD∗ ∩ Nn

thì kα ∈ kD ∩ Nn

Do đó kα = α1 + · · · + αk(∗), αi ∈ D ∩ Nn (vì D có tính phân tíchnguyên)

Giả sử αi = (αi1, , αin)

Nếu mọi αi ≤ amax tức là mọi αi ∈ D∗ ∩ Nn, ta có:

kα = α1 + · · · + αk, αi ∈ D∗ ∩ NnNếu tồn tại αi ∈ D/ ∗ ∩ Nn thì tồn tại j : αij > amaxj và tồn tại ah :

αhj < amaxj (vì nếu mọi ah(h 6= j) : αhj ≥ amaxj thì Pk

i=1αij >

kamaxj(j = 1, , n) Từ đó kα  kamax, hay α  amax (vô lý vì α ∈

D∗nên α ≤ amax) Mọi phần tử β ∈ D ∩ Nn, ta có β = Ps

Vì αij > amaxj nên cj > 0 hay cj − 1 ≥ 0 Từ đó ta có

αi − ej = α0i+ γi1e1 + · · · + (γij − 1)ej + · · · + γinen ∈ D ∩ Nn

Vì αh ∈ D ∩ Nn nên αh+ ej ∈ D ∩ Nn

Tiếp tục quá trình thay các véc tơ như trên ta được

kα = β1 + · · · + βk, βi ∈ D∗ ∩ Nn.(2) Chứng minh D∗ có tính phân tích nguyên khi và chỉ khi N∗(I) cótính phân tích nguyên:

(2a) Chứng minh D∗ có tính phân tích nguyên thì N∗(I) có tính phântích nguyên:

Với mọi α ∈ N∗(I) Ta chứng minh kα ∈ kN∗(I) ∩ Nn được viết dướidạng:

Từ đó ta có α = amax− β, β ∈ N (I) (β ∈ N (I) vì : ta có I = (xa | a ∈

N (I) ∩ Nn) Vì xaν(j) ∈ I nên xaν(j) ∈ I, do vậy xaν(j)+b j ∈ I Ta suy ra

l=1µl = 1, al ∈ {a ∈ Nn | ∃ai ≤ a})

Ta được δj = Pr

l=1µl(al+cj), suy ra δj ∈ N (I) Vậy β = Ps

j=1λj(aν(j)+

bj) ∈ N (I) (do N (I) lồi)) Vì α ≥ 0 nên amax ≥ β, do đó β ∈ D∗

Vì α = amax − β nên kα = kamax − kβ Với kβ ∈ kD∗ ∩ Nn, ta có

kβ = β1 + · · · + βk, βi ∈ D∗ ∩ Nn (vì D∗ có tính phân tích nguyên)

Ta được

kα = kamax − (β1 + · · · + βk)

= (amax− β1) + · · · + (amax − βk)

Ta cần chứng minh amax− βi ∈ N∗(I) ∩ Nn Thật vậy, Vì βi ∈ D∗∩ Nn

nên βi ≤ amax, do đóamax − βi ∈ Nn

amax = a∗ν(ij) + aν(ij),

γij = cij + aν(ij),

amax ≥ γij.Nên ta có a∗ν(ij) ≥ cij) Do đó amax− βi ∈ N∗(I) (vì N∗(I) lồi)

(2b) Chứng minh N∗(I) có tính phân tích nguyên thì D∗ có tính phântích nguyên Lấy α ∈ D∗ Ta chứng minh kα ∈ kD∗∩ Nn được viết dướidạng

Vế phải ≥ 0 nên vế trái ≥ 0 tức là amax− βi ∈ Nn.

amax− βi ∈ D∗ = conv {a ∈ Nn | ∃ai ≤ a ≤ amax} vì

aν(ij) ≤ ξij := aν(ij)+ cij ≤ amax = aν(j) + a∗ν(j)nên ξij ∈ {a ∈ Nn | ∃ai ≤ a ≤ amax} Do đó amax − βi ∈ D∗ (vì D∗lồi)

Như vậy tính phân tích nguyên của đa diện Newton N (I) và đa diện

N∗(I) là tương đương nhau

Ta đã biết tính đóng nguyên của một iđêan đơn thức có mối quan hệchặt chẽ với đa diện Newton của nó Tính đóng nguyên của một iđêanđơn thức I cũng có mối quan hệ chặt chẽ với đa diện N∗(I) của nó,điều này được thể hiện qua định lý sau

Định lý 2.2.2 Cho I = (xa1, , xam) là một iđêan đơn thức Khi đó

Chứng minh Theo Hệ quả 1.2.10 ta có I là đóng nguyên khi và chỉ khi

N (I) ∩ Nn = {a ∈ Nn | ∃ai ≤ a} Ta sẽ chứng minh

N (I) ∩ Nn = {a ∈ Nn | ∃ai ≤ a} ⇔ N∗(I) ∩ Nn = {a ∈ Nn | ∃a∗i ≥ a}

Hiển nhiên {a ∈ Nn | ∃a∗i ≥ a} ⊆ N∗(I) ∩ Nn

đó β ∈ N (I) ∩ Nn = {a ∈ Nn | ∃ai ≤ a} Từ đó tồn tại ai ≤ β hay

−ai ≥ −β Ta suy ra amax− ai ≥ amax− β = α Vậy tồn tại a∗i ≥ α

Hiển nhiên {a ∈ Nn | ∃ai ≤ a} ⊆ N (I) ∩ Nn

D∗ = conv {a ∈ Nn | ∃ai ≤ a ≤ amax}

Nếu α ∈ Dai nào đó tức là tồn tại i : α ∈ Dai hay tồn tại ai ≤ α

Nếu α ∈ D∗ = conv {a ∈ Nn | ∃ai ≤ a ≤ amax} thì α = Ps

j=1λjαj,

có β ∈ N∗(I) ∩ Nn = {a ∈ Nn | ∃a∗i ≥ a} Từ đó tồn tại a∗i ≥ β hay

−a∗i ≤ −β Ta suy ra amax− a∗i ≤ amax− β = α Vậy tồn tại ai ≤ α

Kết luận

Luận văn trình bày những hiểu biết về iđêan đơn thức chuẩn tắc và

đa diện có tính phân tích nguyên qua nghiên cứu tài liệu dưới sự hướngdẫn tận tình của thầy Ngô Việt Trung Cụ thể là tôi đã tập trung trìnhbày một cách hệ thống các kết quả về vấn đề này

Bản thân tôi được tiếp cận với những kiến thức này qua nghiên cứu tàiliệu dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy Ngô Việt Trung Tuy nhiên,với thời gian còn hạn chế và đối với bản thân, các kiến thức về lĩnhvực này còn đang trong thời gian tích lũy và cảm nhận vấn đề, nênrất mong được sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để luận văn được hoànthiện hơn

Tài liệu tham khảo

[1] Baum and Trotter, Integer rounding and polyhedral decompositionfor totally unimodular systems, Optimization and operation re-search (Proc Workshop, Univ Bonn, 1977), pp 15 - 23, LectureNotes in Econom and Math Systems, 157, Springer, Berlin - NewYork, 1978

[2] Baum and Trotter, Integer rounding for polymatroid and ing optimization problems,SIAM J Algebraic Discrete Methods 2(1981), 416 - 425

branch-[3] Esenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic ometry, Graduate Texts in Math, Springer - Verlag: New York,1995

Ge-[4] J Herzog, T Hibi, Monomial ideals, Graduate Texts in ics 260, 2010

Mathemat-[5] L T Hoa, Đại số máy tính Cơ sở Gr¨obner, Xưởng in Viện Toánhọc, Trung tâm Khoa học tự nhiên và Công nghệ Quốc gia, 2003.[6] Robert, Reid and Vitulli, Some results on normal homogeneous

[7] J A Smith, Hilbert Sequences of Monomial Ideals, Annandale - on

- Hudson, New York, 2002

[8] I Swanson, C Huneke, Integral closure of Ideals, Rings and ules, Cambridge University Press

Mod-[9] N V Trung, Integral closure of monomial ideals and Fulkersonianhypergraphs, Vietnam J Math 34 (2006), 489 - 494

[10] W V Vasconcelos, Computational Methods in Commutative bra and Algebraic Geometry, Springer - Verlag, 1998

math/0209284v1, 2002