Kiến thức trọng tâm: Ôn lại một số kiến thức về hàm số liên tục tại một điểm, hàm số liên tục trên khoảng, đoạn, các định lí và tính chất của hàm số liên tục.. Biết xét tính liên tục c
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH DAKLAK TRƯỜNG THPT BUÔN MA THUỘT
GIÁO ÁN CÔNG TÁC GIẢNG DẠY
Họ tên GV hướng dẫn: Th.s Hoàng Đức Huy Tổ chuyên môn: Toán_Tin
SV của trường đại học Đại Học Quy Nhơn Năm học: 2012-2013 Ngày soạn: 21/03/2013 Thứ/ngày lên lớp:6/23/03/2013
B.Giới hạn của hàm số Hàm số liên tục.
(Chương trình nâng cao )
I MỤC ĐÍCH , YÊU CẦU:
1 Kiến thức trọng tâm:
Ôn lại một số kiến thức về hàm số liên tục tại một điểm, hàm số liên tục trên khoảng, đoạn, các định lí và tính chất của hàm số liên tục
2. Biết xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, trên một khoảng, trên một đoạn, biết cách chứng minh sự tồn tại nghiệm của một vài phương trình cơ bản
3. Kỹ năng
Chứng minh và xét được sự liên tục của hàm số tại một điểm, sự liên tục của hàm số trên một khoảng, một đoạn
Biết chứng minh một phương trình có nghiệm dựa vào định lý giá trị trung gian
Rèn luyện tính cẩn thận, khả năng tính toán chính xác thông qua việc xét tính liên tục và tính giá trị của hàm số
4 Tư tưởng , thực tế:
Có tinh thần hợp tác, tích cực tham gia vào bài học
Hiểu rõ hơn vai trò và ý nghĩa của toán học trong đời sống
Trang 2II PHƯƠNG PHÁP VÀ ĐỒ DÙNG HỌC TẬP:
Phương pháp diễn giảng (thuyết trình)
Phương pháp vấn đáp,đàm thoại
Phương pháp nêu và giả quyết vấn đề
Phương pháp quy nạp và suy diễn
III CHUẨN BỊ:
1 Chuẩn bị của giáo viên: chuẩn bị một số câu hỏi nhằm dẫn dắt học sinh trong các thao tác dạy học, giáo án,SGK,thước kẻ, phấn màu.
2 Chuẩn bị của học sinh: xem lí thuyết hàm số liên tục, học các bước xét tính
liên tục của hàm số tại một điểm, trên một khoảng, một đoạn, xem lại định lí trung gian
IV HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC
1 Ổn định tình hình lớp: (… 1 ph
¿.
2 Kiểm tra bài cũ: ¿ ¿ Hoạt động 1: kiểm tra bài cũ.
Hoạt động 1: xét tính liên tục của hàm số tại một điểm Hoạt động của
giáo viên
Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng
3’
Câu hỏi 1: cho hàm
số f (x) xác định
trên [a;b]
Điều kiện để hàm
sốf (x) liên tục tại
điểm x0∈(a ;b)?
- Hàm số liên
tục trên khoảng
(a;b)?
- Hàm số liên
tục trên đoạn [a;b]
Học sinh trả lời câu hỏi:
- Điều kiện để hàm sốf (x) liên tục tại điểm x0∈(a ;b):
lim
x→ x0 + ¿
f(x) = lim
x→ x0− ¿f ( x)=f (x0¿¿) ¿ ¿
¿¿ ¿
¿
- f (x) được gọi là liên tục tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm
x0∈(a ;b)
− f (x) được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
¿
- Chứng minh phương trình
thuyết:
a) Hàm số liên tục.
- Hàm sốf (x) liên tục tại điểm
x0∈(a ;b) nếu:
lim
x→ x0 + ¿
f(x) = lim
x→ x0
− ¿f ( x)=f (x0 ¿¿ ) ¿ ¿
¿¿ ¿
¿
- f (x) được gọi là liên tục tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm
x0∈(a ;b)
−f (x) được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
¿
b) Các hàm đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng
c) Chứng minh phương trình
Trang 3- Nhắc lại hệ
quả định lí
giá trị trung
gian
f ( x )=0 có nghiệm
{f ( x )liên tục trên[a ;b] f (a ) f (b )=0
f ( x )=0 có nghiệm
{f ( x )liên tục trên[a ;b] f (a ) f (b )=0
⇒
∃c ∈(a ;b ) sao cho f (c )=0
Hoạt động 2: bài tập hàm sô liên tục tại một điểm.
6
’
- Áp dụng các lý
thuyết vừa nêu
- Hướng dẫn học
sinh chọn hàm
cho chính xác
- Gọi hai học sinh
lên bảng làm bài
- Giáo viên
nhận xét và
cho điểm
- Gọi học sinh
lên bảng
Bài làm:
Tại x=0
Ta có:
lim
x→ 0+ ¿
f(x) = lim
x→0+x2 =0
¿¿ ¿
¿
lim
x→ 0− ¿f(x) = lim
x →0− ¿ 0=0 ¿ ¿¿
¿
Và f (0 )=0
lim
x→ 0+ ¿f(x) = lim
x→0− ¿f ( x)=f ( 0)¿ ¿¿
¿
Nên hàm số f liên tục tại x=0 Tại x=1
Ta có
lim
x→ 1+ ¿f(x) = lim
x→1+ (−x 2 +4 x−4)
¿¿ ¿
¿
=-1
lim
x→ 1− ¿f(x) = lim
x →1− ¿x2 =1 ¿¿ ¿
¿
Vì
lim
x→ 1+ ¿f(x) = lim
x →1− ¿f (x)=f (1)¿¿ ¿
¿
Vậy không tồn tại limx →1 f ( x ) Vậy hàm số không liên tục tại x=1 Hay hàm số gián đoạn tại x=1
Bài 1: Cho hàm số
{ x20 nếu x <0 nếu 0 ≤ x <1
Xét tính liên tục của hàm số f tại
x=0 và x=1.
Bài làm: tập xác định D=R Tại x=0
Ta có:
lim
x→ 0+ ¿
f(x) = lim
x→0+x2 =0
¿¿ ¿
¿
lim
x→ 0− ¿f(x) = lim
x →0− ¿ 0=0 ¿ ¿¿
¿
Và f (0 )=0
lim
x→ 0+ ¿
f(x) = lim
x→0− ¿f ( x)=f ( 0)¿ ¿¿
¿
Nên hàm số f liên tục tại x=0 Tại x=1
Ta có
lim
x→ 1+ ¿f(x) = lim
x→1+ (−x 2 +4 x−4)
¿¿ ¿
¿
=-1
lim
x→ 1− ¿
f(x) = lim
x →1− ¿x2 =1
¿¿ ¿
¿
Vì
lim
x→ 1+ ¿
f(x) = lim
x →1− ¿f (x)=f (1)¿¿ ¿
¿
Vậy không tồn tại limx →1 f ( x ) Vậy hàm số không liên tục tại x=1 Hay hàm số gián đoạn tại x=1
Trang 4’
làm
- Dạng vô
định 00 Ta
khử mẫu
bằng cách
sử dụng
hằng đẳng
thức
- Gọi học sinh
làm bài 3 và
hướng dẫn
hướng làm
- Để hàm số
liên tục tại
x=1 thì
chúng phải
Bài làm:
lim
x →0 f ( x )=lim
x→ 0
√1+x−√31+ x
x =limx →0
x −limx →0
( √31+x−1)
x =limx → 0
x
x¿ ¿¿ ¿
Và f (0 )=1
6 Vậy
lim
x →0 f ( x )=f (0) Nên hàm số liên tục tại x=0.
Bài làm:
Để hàm số liên tục tại điểm x=1 thì
lim
x→ x0 + ¿
f(x) = lim
x→ x0
− ¿f ( x)=f (x0 ¿¿ ) ¿ ¿
¿¿ ¿
¿
Ta có:
lim
x→ 1+ ¿
f(x) = lim
x→1+ (2 x−3b) ¿¿ ¿
¿
lim
x→ 1− ¿f(x) = lim
x →1− ¿ (a x2 +bx+ 3 ) =a+ b+ 3
¿¿¿
¿
Ta có f(1)=5 Vậy từ trên ta được:
{a+b+3=5 2−3 b=5
⇒
{b=−1 a=3
Vậy với
⇒
{b=−1 a=3
Thì hàm số liên tục tại x=1
Bài 2: Cho hàm số : f(x)={¿1
6nếu x=0
Xét tính liên tục của hàm số tại x=0.
Bài làm: tập xác định D=R
lim
x →0 f ( x )=lim
x→ 0
√1+x−√31+ x
x −limx →0
x =limx → 0
x
x¿ ¿¿ ¿
Và f (0 )=1
6 Vậy
lim
x →0 f ( x )=f (0) Nên hàm số liên tục tại
x=0.
Bài 3: Xác định a, b để hàm số sau liên tục tại x=1.
f(x)={a x2+bx+3 nếu x <1
5 nếu x=1
2 x−3 b nếu x >1
Bài làm:tập xác định D=R
Để hàm số liên tục tại điểm x=1 thì
lim
x→ x0+¿f(x) = lim
x→ x0− ¿f ( x)=f (x0¿¿ ) ¿ ¿
¿¿ ¿
¿
Ta có:
lim
x→ 1+ ¿
f(x) = lim
x→1+ (2 x−3b) ¿¿ ¿
¿
lim
x→ 1− ¿
f(x) = lim
x →1− ¿ (a x2 +bx+ 3 ) =a+ b+ 3
¿¿¿
¿
Ta có f(1)=5 Vậy từ trên ta được:
{a+b+ 3=5 2−3 b=5
⇒
{b=−1 a=3
Vậy với
⇒
{b=−1 a=3
Trang 5’
thỏa điều
kiện nào?
- Từ trên ta
có phương
trình hai ẩn
hai phương
trình hai ẩn
Thì hàm số liên tục tại x=1
Hoạt động 3: Hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn.
5
’
- Gọi học sinh
lên bảng
làm bài
Bài làm:
D=R
Với x<2 thì f ( x )=a x2 liên tục trên R
Với x>2 thì
f ( x )=3 iên tụctrên R
Để hàm số liên tục trên R thì f(x) liên tục tại x=2
Vậy
f (2)=a(2)2=4 a
lim
x→ 2+ ¿f(x) = lim
x→2+ 3=3 ¿¿ ¿
¿
lim
x→ 2− ¿
f(x) = lim
x →2− ¿a x2 =4
a¿¿
¿
Vậy ta được
Bài 4: cho hàm số
f(x)={ a x2
(a là hằng số)
Tìm a để hàm số f(x) liên tục với mọi x
D=R
Với x<2 thì f ( x )=a x2 liên tục trên R
Với x>2 thì
f ( x )=3 iên tụctrên R
Để hàm số liên tục trên
R thì f(x) liên tục tại x=2
Vậy
f (2)=a(2)2=4 a
Trang 6’
lim
x→ 2− ¿
f(x) = lim
x →2+f ( x)=4 a=3¿ ¿
¿
Vậy a=3
4
Bài làm: D=[-2;2]
Dễ thấy ∀ x0∈[−2;2] thì hàm số xác định vì f(x) là hàm sơ cấp nên
nó liên tục trên tập xác định hay
f ( x ) liêntục trên[−2 ;2] Hay ∀ x0∈(−2 ;2) ta có
∀ x0∈(−2 ;2)
Và ta có :
x→(−2)+ ¿f(x) = lim
x →(−2)+
√8−2 x2 =0=f
¿
x→(−2)− ¿f(x) = lim
x →(−2)− ¿
√8−2 x2 =0=f
¿
Vậy hàm số đã cho liên tục trên [-2;2]
lim
x→ 2+ ¿
f(x) = lim
x→2+ 3=3 ¿¿ ¿
¿
lim
x→ 2− ¿
f(x) = lim
x →2− ¿a x2 =4a¿¿
¿
Vậy ta được
lim
x→ 2− ¿f(x) = lim
x →2+f ( x)=4 a=3¿ ¿
¿
Vậy a=3
4
Bài 5: Xét tính liên tục của hàm số
f ( x )=√8−2 x2 liên tục trên đoạn [-2;2].
Bài làm: D=[-2;2]
Dễ thấy ∀ x0∈[−2;2] thì hàm số xác định vì f(x) là hàm sơ cấp nên nó liên tục trên tập xác định hay
f ( x ) liêntục trên[−2 ;2] Hay ∀ x0∈(−2 ;2) ta có
∀ x0∈(−2 ;2)
Và ta có :
x→(−2)+ ¿
f(x) = lim
x →(−2)+ √8−2 x2 =0=f
¿
x→(−2)− ¿f(x) = lim
x →(−2)− ¿ √8−2 x2 =0=f
¿
Vậy hàm số đã cho liên tục trên [-2;2]
Hoạt dộng 4: chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm.
- Đối với
những bài
toán như
trên ta cần
chọn
khỏang
nghiệm
Bài làm:
Ta có hàm số f (x) liên tục trên [0;1]
Mà:
f (0 )=−1 ;f (1)=1 và f (1) f (−1 )<0 vậy tồntại c ∈(0 ;1)
sao cho f(c)=0 vậy x=c ∈(0 ;1) hay
có ít nhất một nghiệm dương nhỏ
Bài 6: cho phương trình x3+x−1=0
chứng minh phương trình trên có
ít nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1.
Trang 7’
7
’
thích hợp để
dễ dàng thỏa
mãn điều
kiện bài
toán
- Ta có thể
thử nhiều
khoảng nhỏ
hơn 1 nhưng
lớn hơn 0
(nghiệm
dương)
- Đối với
những bài
toán yêu cầu
số nghiệm
nhiều hơn 1
thì ta phải
chứng minh
phương
trình trên có
nghiệm trên
khoảng giao
với (a;b)
bằng rỗng
hơn 1
Bài làm:
Đặt f ( x )=6 x3+3 x2+-31x+10 f(x) liên tục trên R.
Ta có
f (−3 )=−32<0 ; f (−2)=30>0 ; f (1)=−12<0 ; f (2)=8>0 ;
Vì (-3;-2);(-2;1);(1;2) đôi một giao nhau bằng rỗng
Suy ra phương trình có ít nhát 3 nghiệm trong khoảng (-3;2)
Bài 7: chứng minh phương trình
6 x3+3 x2+-31x+10=0
có 3 nghiệm phân biệt
Bài làm:
Đặt f ( x )=6 x3+3 x2+-31x+10 f(x) liên tục trên R.
Ta có
f (−3 )=−32<0 ; f (−2)=30>0 ; f (1)=−12<0 ; f (2)=8>0 ;
Vì (-3;-2);(-2;1);(1;2) đôi một giao nhau bằng rỗng
Suy ra phương trình có ít nhát 3 nghiệm trong khoảng (-3;2)
Bài tập về nhà:
- Xét khoảng
¿
Bài 1:
Chứng minh phương trình
Có ít nhất 1 nghiệm âm
Bài 2: cho khoảng K,x0∈ K và hàm
số f(x) xác định trên K\{x0}
Chứng minh rằng nếu x→ xlim
0
f (x )=+∞
Trang 8thì tồn tại ít nhất 1 số c ∈ K¿{x0¿}
sao cho f(c)>0.
Bài 3: cho phương trình
phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Hoạt động 5: Củng cố kiến thức: (… 2 … ph
¿.
Thêm một phương pháp chứng minh phương trình f(x)=0 có nghiệm
Sử dụng linh hoạt lí thuyết hàm số liên tục vào các dạng toán khác nhau
Hoạt động 6: Dặn dò học sinh, bài tập về nhà:(… 2 …¿¿ph)¿.
Làm các bài tập vừa ra
V RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG
VI NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN .
Ngày tháng năm 2013 Ngày tháng năm 2013