Mặt cầu

4Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Định nghĩa : Mặt cầu S được gọi là ngoại tiếp hình đa diện nếu các đỉnh của đa diện nằm trên S.. S Định lí : Hình chóp nội tiếp được mặt cầu khi và ch

Tiết 43 mặt cầu

1.Mặt cầu

Định nghĩa : S O R( , ) = {M | OM=R }

O A

B C

R

Nhận xét :

*Nếu OA>R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O,R)

* Nếu OA<R thì điểm A nằm trong mặt cầu S(O,R)

*Nếu OA=R thì điểm A nằm trên mặt cầu S(O,R)

2.Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng

Cho mặt cầu S(O,R) và mặt phẳng (P) bất kỳ

Gọi H là hình chiếu của O lên (P) ,khi đó :

* Nếu OH>R thì ( ) ( )P ∩ S = φ

*Nếu OH=R thì (P) tiếp xúc với (S) tại H

, khi đó ta nói rằng (P) là tiếp diện của (S) tại H

*Nếu OH<R thì ( ) ( )P ∩ S =C H R( , ') Với 'R = R2 −OH2

H

O M

O H M

O H M

Đặc biệt : Khi O=H thì C(O,R) gọi là đường tròn lớn

3.Vị trí tương đối của mặt cầu và đường thẳng

Cho mặt cầu S(O,R) và đường thẳng d

, gọi H là hình chiếu của O trên d ,khi đó :

* Nếu OH=R thì d tiếp xúc với (S) tại H

Khi đó ta nói rằng d là tiếp tuyến của (S) tại H

* Nếu OH<R thì d (S)={A, } ∩ B

O H

O

H

O H

Tính chất của tiếp tuyến

Định lí 1 : Qua một điểm M trên mặt cầu (S) ta vẽ được vô số các tiếp tuyến

của (S) và tiếp xúc với (S) tại M Các tiếp tuyến này nằm trên

tiếp diện của (S) tại điểm M

Định lí 2 : Qua điểm A ngoài mặt cầu (S) , ta vẽ được vô số các tiếp tuyến

với (S) và khoảng cách từ A đến các tiếp điểm bằng nhau

4)Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện

Định nghĩa : Mặt cầu (S) được gọi là ngoại tiếp hình đa

diện nếu các đỉnh của đa diện nằm trên (S)

S

Định lí : Hình chóp nội tiếp được mặt cầu khi và chỉ khi đa

giác đáy nội tiếp được đường tròn

Hệ quả 1:Mọi hình chóp đều bất kỳ đều nội tiếp được trong mặt cầu

Hệ quả 2: Mọi tứ diện bất kỳ bao giờ cũng nội tiếp được trong một mặt cầu

Chú ý :

1)Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD ta làm như sau …

+ Dựng tâm I của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

+ Từ I vẽ đt d vuông góc với mf đáy

+ Vẽ mf trung trực cạnh SA cắt d tại O => O là tâm của mặt cầu

3)Đường thẳng d gọi là trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

O I d

2)Nếu SA và d đồng phẳng thì ở bước thứ 3 ta vẽ đường trung trực của đoạn SA

Luyện Tập

AB=BC=CD=a AD=2a SA=3a và vuông góc với đáy

Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

D S

O

Ví dụ 2 : Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn đường kính AB , M là một điểm di động trên đường tròn đường kính AB , C là một điểm nằm trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên CM

a.Tìm quĩ tích các điểm H

b.Tiếp tuyến tại A và M của đường tròn đường kính AB cắt nhau tại K Chứng minh rằng

KH là tiếp tuyến của mặt cầu đường kính AB

c.Chứng minh rằng KH là tiếp tuyến của mặt cầu đường kính AC

K

A

B M

I

H C

O E

Ví dụ 3 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a.

Tam giác SAB đều nằm trên mf vuông góc với đáy

Gọi I lần lượt là trung điểm của AB Khi M di động

trên SI,tìm quĩ tích hình chiếu vuông góc của S lên mf(MCD)

D J

S

A I

Ví dụ 4 :Cho tam giác ABC vuông cân tại A Một điểm M thay đổi trên đường thẳng vuông góc với mf(ABC) tại A

(M không trùng với A)

.Tìm quĩ tích trọng tâm G và trực tâm H của tam giác MBC

C A

B

M

I H

G

B’

VÝ dô 4 :

CMR:NÕu cã 1 mÆt cÇu tiÕp xóc víi c¸c c¹nh cña tø diÖn ABCD

th× AB+CD=AC+BD=AD+BC

Ví dụ 6 : Cho hai tia Ax và By vuông góc với nhau và nhận đoạn AB =k

là đoạn vuông góc chung Trên Ax lấy điểm M, trên By lấy điểm N , đặt AM=x , BN=y

a.Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

ABMN

b.Giả sử M chạy trên Ax , N chạy trên By sao cho ta luôn có

MN=AM+BN Chứng minh rằng MN luôn tiếp xúc với mặt cầu

đường kính AB

c.Với điều kiện trong câu b , hãy tìm x,y sao cho tứ diện ABMN có

diện tích toàn phần nhỏ nhất

x A

B

M

O

I p

m

n

Ví dụ 7 : Cho mặt cầu S(O,R) , (C) là giao tuyến của (S) với mặt

phẳng (P) cách (S) một khoảng cách h A là một điểm trên (C)

Một góc vuông xAy trong mặt phẳng (P) quay quanh A , các cạnh

Ax , Ay cắt (C) tại C và D Đường thẳng đi qua A vuômg góc với

(P) cắt mặt cầu (S) tại B

a.Chứng minh các tổng BC2 + AD2 & AC2 + BD2 có giá trị không đổi b.Với giá trị nào của CD thì tam giác BCD có diện tích lớn nhất

c.Tìm quĩ tích hình chiếu H của B lên đường thẳng CD

Hướng dẫn :

a.Chứng minh : BC + AD = BD + AC = AB + DC

BCD

b AH DC

1

2

Kẻ

CD BH

⊥

=

A

B

O

O’

D

C A’

H

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC đều ,hai tia Bx,Cy vuông góc với mf(ABC)

về cùng 1 phía lấy các điểm M,N di động tương ứng trên Bx

và Cy sao cho BM+CN=MN Tìm quĩ tích trực tâm H của tam giác AMN

Bài 1 : Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy a và góc ASB bằng

a.Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b.Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu nội tiếp hình chóp c.Chứng minh rằng tâm của hai mặt cầu trên trùng nhâu khi và chỉ khi

α

0

45

Bài 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB=a , SA=b vuông góc với mặt phẳng đáy Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp