Mặt cầu, mặt trụ mặt nón

Mặt cầu, mặt trụ mặt nón

Chương II MẶT CẦU, MẶT TRỤ, MẶT NÓN

§1 MAT CAU

A Tom tat li thuyết

1

38

Tap hợp các điểm trong không gian cách điểm Ó cố định một khoảng R không

đổi gọi là mặt cầu tâm O bán kính E Ta thường kí hiệu mặt cầu đó là S(Ó ; R)

Cho mặt cầu S(O ; R) và mặt phẳng (2) Gọi ¿ là khoảng cách từ Ó tới mặt

phẳng (ø) và H là hình chiếu vuông góc của Ó trên (2)

Khi đó :

+ Nếu đ<R thì (ø) cắt S(O ; R) theo giao tuyến là đường tròn tâm H bán kính

VR? — d? Dac biét, khi d = 0 thì (2) cắt S(O ; R) theo giao tuyến là đường

tròn có bán kính lớn nhất (bằng K), đường tròn đó được gọi là đường tròn lớn

cua S(O ; R)

+ Néu d = R thi (a) va S(O ; R) c6é diém chung duy nhất là H Khi đó, ta nói

mặt phẳng (2) tiếp xúc với S(O ; R) tai H

+ Nếu ¿ > R thì (ø) và S(Ó ; R) không có điểm chung

Cho mặt cầu S(Ó ; K) và đường thẳng A Gọi đ là khoảng cách từ Ó tới A và H

là hình chiếu vuông góc của Ó trên A Khi đó :

+ Nếu đ < R thì đường thẳng A cắt S(O ; R) tai hai diém A, B,

AB = 2\|RŸ - d? và H là trung điểm của AB

+ Néu d = R thì A và S(Ó ; R) có điểm chung duy nhất là H Khi đó, ta nói A

tiếp xúc với S(Ó ; R) tại H

+ Nếu ¿ > R thì A và S(Ó ; R) không có điểm chung

Mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình đa diện gọi là mặt cầu ngoại tiếp

Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của nó có

đường tròn ngoại tiếp Khi đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp là giao

điểm giữa trục của đường tròn ngoại tiếp đáy và mặt phẳng trung trực của một

cạnh bên

6

B

Điều kiện cần và đủ để một lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là lăng trụ đó phải

là lăng trụ đứng và đáy của nó có đường tròn ngoại tiếp Khi đó, tâm mặt cầu

ngoại tiếp của lăng trụ là trung điểm của đoạn nối tâm hai đường tròn ngoại

tiếp của hai đáy

Một mặt cầu có tâm nằm bên trong hình đa diện e⁄⁄ và tiếp xúc với tất cả các

mặt của đa diện đó gọi là mặt cầu nội tiếp đa diện ø#⁄Z và gọi là ngoại tiếp

Tứ diện, hình chóp đều, hình lập phương có mặt cầu nội tiếp

Mặt cầu S(O ; R) có thể tích là V = one va cé dién tich 1A S = 4nR?

Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, S4 vuông góc với đáy

Hạ AB' 1 SB, AC' 1 SC,AD' 1 SD (B' € SB, C’ € SC, D' € SD) Ching

Vi AAC'C vuong tai C’

=> AD'1 D'C

=> DO = ÓA =ÓC (3)

Tuong tutacé: BO =OA=OC (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra A, B, C, D, B',C', D' cùng thuộc một mặt cầu

39

b) Theo chứng minh ở câu a), ta có: AD' L (SCD) => AD' 1 SC

Tương tự ta có AB' 1 SC

Do AB’, AC’, AD' cùng vuông góc véi SC nén A, B’, C, D' đồng phẳng

c) Gọi 7 là trung điểm của $C, khi đó /2 L (ABCD)

=> IA = 1B =IC = ID (5)

Mặt khác ASÁC vuông tại A nên /A = IS = IC (6)

Từ (5) và (6) ta có JA = !B = IC = ID = IS hay hình chóp S.ABCD noi tiếp một

mặt cầu

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC vuông tại C Đường thẳng A vuông góc với mặt

phẳng (ABC) tai A Diém S thay d6i trên đường thẳng A (S khác A4) Hạ AD L S$C

và AE | SB Ching minh rằng :

a) Các điểm A, 8, C, D, E thuộc cùng một mặt cầu

b) Bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn

Lời giải (h.26)

a) Gọi O là trung điểm của AB, khi đó Š

AAEB vuéng tai FE nén OE =OA=OB (2)

Theo giả thiết : 8C L AC, BC 1 AS (do AS 1 (ABC)) A B

D, E cùng thuộc mặt cầu tam O, ban kinhR = OA = ABT

b) Theo cau a), A, B, C, D, E cùng thuộc mặt cầu tâm Ó

Lại có B, C, D, E cùng thuộc một mặt phẳng

Do đó Ö8,C, D,E cùng thuộc một đường tròn (đường tròn giao tuyến của mặt

phẳng (SBC) với mặt cầu tâm Ó, bán kính & = >)

40

Ví dụ 3 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều canh a,

mặt bên tạo với đáy góc ø Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Goi Ó là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, K là trung điểm của SC

Khi đó, Ó e 5ƒ và ÓK 1 SC, suy ra ASKO đồng dạng với ASIC

SK SO

>—=——

SI SC SK.SC SC? a’ (4 + tan? ?) a(4 + tan? ? V3a(4 + tan? ?

6 V3a(4 + tan? ø?) Vậy R = SỞ =———————— là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

12tang S.ABC

Ví dụ 4 Cho tứ diện ABCD có bán kính mặt cầu nội tiếp r Gọi Sip la tổng

diện tích các mặt cia tit dién, hy, hg, he, hp lan luot là độ dài đường cao xuất phát

từ A, 8, C, D của tứ điện Chứng minh rằng :

4I

Gọi 7 là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD và !¿, íp, Í-, lp lân lượt là khoảng

cách từ 7 đến các mặt phẳng (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) Ta có :

b) Ta có : ABCD _ SBCb lao VApcp = -h-Šscp) hạ 3

Tương tự : “ Ancp _ Sc DA? “Masco h = SDAB› ““ancp _ SABC:

Ví dụ 5 Cho hình chóp déu S.ABCD cé đáy cạnh bằng a Gọi Mí và N lần lượt

là trung diém cha SB va SD Biét AM 1 CN Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp S.ABCD

42

Từ (2), (3), (4) suy rax = av3 Hinh 29

Gọi Ó là giao điểm của AC và BD, ï là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

$.ABCD thì 7 là giao điểm của SƠ với mặt phẳng trung trực của SÐ, nghĩa là

C Bai tap

1

44

Cho hình chĩp S.ABŒCD cĩ đáy là hình nửa lục giác đều, AB = 2a, BC = CD =

DA = a, SA vuơng gĩc với đáy, SA = h

Mặt phẳng qua A vuơng gĩc với SB, cat SB, SC, SD lân lượt tại B', C’, D’

a) Chứng minh rằng tứ giác A, Ð', C', Ð' nội tiếp một đường trịn

b) Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, E,C, D' thuộc cùng một mặt cầu

c) Tính thể tích khối chĩp S.AB'C'D'

d) Tinh dién tich tt gidc ABCD

Cho tứ diện ABCD cĩ AB = CD = c, AD = BC = a, AC = BD = b Tinh ban

kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Cho tứ diện ABC vuơng tại Ĩ, ĨA = a, OB = b, ĨC = c Tính bán kính mặt

cầu ngoại tiếp tứ diện

Cho tứ diện OABC vuơng tại Ĩ Gọi E, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại

tiếp, nội tiếp, chiều cao kẻ từ Ĩ của tứ diện Chứng minh rằng :

3) “<1+ 3;

r

pb #„3+33

Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình chữ nhật, AB = ø, SÁ vuơng gĩc với

đáy, SC tạo với đáy gĩc 45” và tạo với mặt phẳng (S4) gĩc 30” Tính bán

kính mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp

Cho tam giác đều ABC Đường thẳng A vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC) tại A

Điểm M thay đổi trên A Kẻ BE LAC, BF.1LMC (E e AC, F e MC) Đường

thang EF cắt đường thẳng A tại N Chứng minh rằng :

a) AM.AN khơng đổi ;

b) Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNBC c6 tâm thuộc một đường thẳng cố định

Cho hình chĩp tam giác đều Š.A8C cĩ cạnh đáy bằng ø, cạnh bên bằng b

(b>a) Tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với mp(ÀC) tại A và tiếp xúc với SB

Cho tứ diện ABCD Qua ba đỉnh tùy ý của tứ diện, ta đựng một mặt cầu cắt ba

cạnh xuất phát từ đỉnh cịn lại tại M⁄, W, P Chứng minh rằng hình dạng tam

giác MINP khơng phụ thuộc vào mặt cầu cũng như ba đỉnh đã chon

9 Cho mot hình cầu và một điểm trong nó Có ba mặt phẳng vuông góc với

nhau, đi qua điểm này một cách tùy ý và cắt mặt cầu theo ba hình tròn Chứng

minh rằng tổng diện tích ba hình tròn này là một hằng số

D Lời giải

1 (h.30)

a) Hiển nhiên Ö' là hình chiếu vuông góc

cua A trén SB

Do ABCD là nửa lục giác đều với AB = 2a,

BC = CD = DA = a nên nếu gọi Ó là trung

điểm của Að thì : OA = ÓB = OC = OD =a

Suy ra

AACB vuông tại C và AADB vuông tai D

Vi BC 1 AC,BC LSA nén BC L AC

Mặt khác, AC' L SB Do dé AC' 1 SC

va AC' 1 BC’

Tuong tu, tacé AD' | SD vA AD' 1 D'B’

suy ra A, E,C', D' cùng thuộc đường tròn đường kinh AB’ hay tt gidc A’, B’,

Œ, D' nội tiếp

b) Ta chimg minh A, B, C, D, B', C', D' thuộc mặt cầu tâm OÓ, bán kính

R =ÓA =« Thật vậy, theo câu a) ta có :

Hình 30

AAB'B vuông tại B' nén B'O = ÁP = a (2)

AC' | (SCB) => AC'LC'B > C'O = 24B.= a (3)

AD’ | (SDB) = AD' | D'B = D'O = SAB =a (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra điều phải chứng minh

c) Gọi Vị, V2,V lần lượt là thể tích các hình chóp S.ABC, S.ACD, S.ABCD

Ta có Wị = 2Wạ > V = 3V, =SM,

45

- Gọi W,W;,V' lần lượt là thể tich cdc hinh chép S.AB'C', S.AC'D', S.AB'C'D'

1 Mat khac Vs ABIC'D' = 33 Sas

Goi /, 7 lần lượt là trung điểm của AB, CD Vì

AADC = ABCD nén AJ = BJ, suy tra JI 1 AB

Tương tự, ta có JI L CD

Vậy /7 là đường trung trực của AB, CD

Gọi Ó là trung điểm của 77, khi đó Ó là tâm mặt

cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và R = ÓA

Gọi K là trung điểm của AB, khi đó ÓK = KA = KB Giả sử A là đường thẳng

vuông góc với (ÓAĐ) tại K và 7 là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ điện ABC Ta có

!A =IB = IO =IC, suy ra le A và ï thuộc mặt phẳng trung trực của

đoạn ÓC

Gọi L là trung điểm của ÓC thì mặt phẳng trung trực của ÓC là mặt phẳng

vuông góc với ÓC tại L

47

Dé thay OKIL 1a hinh chit nhat Do đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

OABC la R = Ol = VOK? + KP =OK?+O2 ¢

"Te b+ bee 4 eae cứng

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b =c © ÓA = OB = ÓC

48

abc

ab+be+ca+ \ a?bˆ + b2c? + a?

Laicé: R= ——— (Kết quả bài tập 3, §1, chương II)

R Vv a+b + c (ab +be+ca+ Vad? + bˆc? + 2]

Theo bài tập 20 chương I, ta có ABCD là hình

vuong canh a va SA = av2

Gọi Ó là giao điểm của AC và BD, ¡ là trung

điểm của S$C, khi đó

Lai c6 IC = JS Vay / 1a tam mat cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Ban kính

=> AM.AN = AE.AC =~ = > = const

b) Gia str (S) 14 mat céu ngoai tiép tứ diện

BCMN va (@ ) là giao tuyến cua (S) với mặt

phẳng (BMN) Khi đó () là đường tròn ngoại

= (S) đi qua ba điểm cố định là B, Ð' và C'

= Tâm / của mặt cầu (S9 chạy trên đường thẳng đ cố định, dla trục của

ABB'C' cố định

(h.36)

Goi D 1a tam mat cầu tiếp xúc v6i mp(ABC) tai A va ti€p xtic véi SB tai E

Khi đó : DE L $B, D e đ (đ là đường thẳng vuông góc với mp(ABC) tại A)

và DA = DE

Gọi G là trọng tâm của tam giác đều AĐC thì SG 1 (ABC), do dé d // SG

Xét hai tam giác ADB và EDB, ta có :

DE = DA, DB chung, DAB = DEB = 90°

48- BTNC&MSCĐHH12

=> AADB = AEDB

=>BE=AB=a

=SE=b_—a

Ta có DAS = ASG nên cosDAS = cosASG =

Tac6 DS* = AD* + AS? ~ 2AD.AS.cosDAS = DE” + ES?

Dat x = DA = DE, ta duoc :

Gia str mat cau (S) qua ba dinh A, B, C cat ba canh

của tứ điện xuất phát từ D lần lượt tại các điểm M,

N, P, mat cau (S') di qua ba dinh A, C, D va ct ba

đỉnh xuất phát ty B của tứ diện lần lượt tại

M,N,P Ta phải chứng minh hai tam giác MNP

và M'N'P' đồng dạng

Do tứ giác MNEA nội tiếp đường tròn (đường tròn

Suy ra MN _ DC.BA

~ , M'N' DC.BA Tương tự ta cũng có =

Vậy tam giác MNP đồng dạng với AM'N'P' (c.c.c)

9 Giả sử / là một điểm cho trước trong mặt cầu (5) ; (ø), (œ¿), (œ;) là ba mặt

phẳng tùy ý qua 7 cắt (5) theo ba hình tròn (#1), (Hạ), (H;) có tâm tương ứng

§2 MAT TRU, MAT NON

Trong không gian cho hình và đường thẳng A Với mỗi điểm M thuộc

xét mặt phẳng (z) đi qua Ä, vuông góc với đường thẳng A và cắt A tại Ó

Trong mặt phẳng (#), xét đường tròn (Gy) c6 tam O, ban kinh OM

Hình gồm các đường tròn (Số) xác định như trên với Ä thuộc được gọi là

hình tròn xoay sinh bởi khi quay quanh đường thẳng A Đường thẳng A

được gọi là trục của hình tròn xoay đó Khi là một đường thì hình tròn

xoay tương ứng còn gọi là mặt tròn xoay

Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng / khi quay quanh một đường thẳng A song

song với / gọi là mặt trụ tròn xoay (hay vắn tắt gọi là mặt trụ) Khi đó, đường

thẳng A được gọi là trục của mặt trụ, / được là đường sinh của mặt trụ

Hai mặt phẳng (P) và (P') phân biệt, vuông góc với trục của mặt trụ cắt mặt

trụ theo hai giao tuyến là các đường tròn bằng nhau (%’), (@') Phần mặt trụ

nằm giữa hai mặt phẳng (P) và (P') cùng với hai hình tròn (`) và (') được

gọi là hình trụ Các đường tron (@) và (@') dugc gọi là các đáy của hình trụ,

bán kính R cua chúng gọi là bán kính của hình trụ Khoảng cách giữa hai đáy

gọi là chiều cao của hình trụ

Hình trụ cùng với phần bên trong của nó được gọi là khối trụ

Diện tích xung quanh của hình trụ bằng chu vi đáy nhân với chiều cao

Thể tích của khối trụ bằng diện tích đáy nhân chiều cao

Cho hai đường thẳng A và 7 cắt nhau tại một điểm Ó và tạo với nhau một góc

ø với 0° <@< 90” Mặt tròn xoay sinh bởi 7 khi quay quanh A gọi là mặt

nón tròn xoay Các đường thẳng A, / lần lượt gọi là trục, đường sinh của mặt

nón Điểm Ó gọi là đỉnh của mặt nón và 2ø gọi là góc ở đỉnh của mặt nón

Mặt phẳng (P) không đi qua đỉnh, vuông góc với trục của mặt nón cắt mặt nón

theo giao tuyến là đường trờn (') Phần mặt nón giới hạn bởi hai mặt phẳng

(P) và (P'), ở đó (P') là mặt phẳng đi qua đỉnh và vuông góc với trục của mặt

nón, cùng với hình tròn (ý) được gọi là hình nón Khi đó hình nón () gọi là

53

đáy của hình nón Đoạn thẳng nối đỉnh và một điểm của đường tròn đáy gọi là

đường sinh của hình nón Khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy được gọi là chiều

cao của hình nón

9 Diện tích xung quanh của hình nón bằng một nửa tích số của độ dài đường

tròn đáy và độ dài đường sinh

10 Thể tích khối nón bằng một phân ba tích số diện tích hình tròn đáy và

chiều cao

B Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm Ó và Ó', bán kính

Ẩ, chiều cao hình trụ là R42 Trên hai đường tròn (Ó) và (Ø), lấy hai điểm di

dong A, B sao cho goc giữa hai đường thẳng ÓA, Ó'B bằng ø không đổi

a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ

b) Tinh AB theo R va a

c) Giả sử IK là đoạn vuông góc chung của AB và 00' (I AB) Chứng minh

rằng khi A, 8 di động, 7 luôn thuộc một đường tròn cố định

Khi đó P' e (Ó) và O'B 1 OB’, từ đó, theo giả thiết

AOB' = œ, ÓA = OB' = R

Gọi H là trung điểm AB' => OH L AB' Hình 38

= AB' = 2AH = 2RsinAOH = 2Rsin”

Vì AAB'B vuông tại B' nên

— AB=[AB5x BB2 - J4823n5 +22 = R |asn2Š +2

c) Gọi !, K theo thứ tự là trung điểm của AB vA OO' Khi đó HI // BB' va

HI = + BB nén HOKI 14 hinh binh hanh

54