ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI BÀI TẬP TOÁN

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁNI.. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1.. Khi nào thì sử dụng hàm số : Đó là các phương trình, hệ phương trình hổn

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI TOÁN

I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1 Khi nào thì sử dụng hàm số :

Đó là các phương trình, hệ phương trình hổn hợp (cùng chứa nhiều loại hàm số) hoặc chúng không thể chuyển về được dạng cơ bản

- Nhẩm nghiệm x x 0

- Chứng minh chỉ có các nghiệm đó bằng phương pháp đạo hàm

 VD : Giải phương trình : 2x x1 0 (1)

 Giải : Rõ ràng x=0 và x=1 là nghiệm của phương trình vì PT(1) thỏa

ta chứng minh chỉ có hai nghiệm đó

Xét hàm số 2x 1 ' 2 ln 2 1x

2

1

ln 2

x

Hàm số có duy nhất một cực trị

Lập bảng biến thiên ta thấy phương trình y=0 có nhiều nhất 2 nghiệm

Vậy x=0 và x=1 là các nghiệm của PT

2 Xét phương trình dạng : f(x) = m (m là tham số)

Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số y=f(x) và số nghiệm của PT là số giao điểm của hàm số y=f(x) với đường thẳng y=m

- Nếu f(x) đồng biến trên a b;  thì miền giá trị f a( )f x( )f b( )

Phương trình : f(x) = m có nghiệm  f a( )mf b( )

- Nếu f(x) nghịch biến trên a b;  thì miền giá trị f b( )f x( )f a( )

Phương trình : f(x) = m có nghiệm  f b( )mf a( )

 VD1: Tìm m để phương trình : x 3x2 1 m có nghiệm

 Giải:

Số nghiệm của phương trình x 3x2 1 m bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y x  3x21 và đường thẳng y=m cùng phương với trục hoành

Xét hàm số y x  3x21 trên R

' 1

y

 

   y' 0  3x2 1 3x

0

6 6

x x

x







 Với x  66 thì 6

3

y 

Bảng biến thiên:

Phương trình có nghiệm khi 6

3

m 

 VD2: Định m để phương trình sau có đúng hai nghiệm :

x44x m 4 x44x m 6

 Giải : Đặt t4 x44x m 0

Thu được phương trình :

6 0

2 3

0

0

t

t t

t t

t

t

 





 Khi đó : 4 x44x m  2 x44x m 16 x44x16m

Xét hàm số : y x 44x16 y' 4 x34

3

Lập bảng biến thiên của hàm số ta thấy :

Hàm số đồng biến trên khoảng 1; và nghịch biến trên khoảng   ; 1

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt  m  19  m 19

 VD3 : Định giá trị của m để phương trình sau có ngiệm :

(1)

 Giải : Điều kiện :    3 x 1.

(1)

m

    Nhận thấy rằng :    

x   x        

Nên tồn tại góc 0;

2



  

  sao cho :

2

2

1

t x

t



 và 1 2cos 21 22

1

t x

t

với tan ; 0;1

2

t  t

2 2

Xét hàm số :  

2 2

2

2 2

Suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn 0;1 và (0) 9; (1) 7

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) có nghiệm trên đoạn 0;1 khi và chỉ khi : 7 9

9m7

3 Xét bất phương trình dạng : f x( )m ( m là tham số )

TH1 : Nếu f(x) đồng biến trên a b;  thì miền giá trị f a( )f x( )f b( )

- Bất phương trình : f x( )m có nghiệm  f a( )m và

- Bất phương trình : f x( )m có nghiệm  x a b;   f b( )m

TH2 : Nếu f(x) nghịch biến trên a b;  thì miền giá trị f b( )f x( )f a( )

- Bất phương trình : f x( )m có nghiệm  f b( )mvà

- Bất phương trình : f x( )m có nghiệm  x a b;   f a( )m

 VD : Cho bất phương trình : x2 2x24x2 2x m (m là tham số)

Tìm m để BPT thỏa   x  4;6

 Giải :

Đặt t x2 2x24

Tìm điều kiện của t :   x  4;6  t 0;5

Thu được bất phương trình : t2 t 24m với t 0;5

Bài toán đã cho trở thành : Tìm m để t2 t 24m, t 0;5

Xét hàm số f t( )  t2 t 24 trên đoạn 0;5

1

2

f t  t   t  Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên đoạn 0;5

Bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi trên đoạn 0;5 Max f t( )m

f m m m

4 Khi gặp hệ phương trình có dạng : g x y f x( , ) 0( )f y( )



Cách giải :

- Xét hàm số y=f(t) và nếu chứng minh được hàm số đơn điệu thì kết luận x=y Khi đó đưa bài toán về giải hoặc biện luận PT : g(x,y) =0 theo một ẩn

- Nếu hàm số y = f(t) có một cực trị tại t = a thì nó thay đổi chiều biến thiên một lần khi đi qua a Từ phương trình đầu suy ra x = y hoặc x,y nằm về hai phía của a

 VD1: Giải hệ phương trình :

3

(1)









 Giải : Từ PT : x 1 y 1

   (1) Xét hàm số đại diện : f t( ) t 1,(t 0) f t'( ) 0 t 0

t

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng xác định

PT (1) có dạng f(x) = f(y) x y, 0, suy ra x = y

Thế vào PT ( 2 ) ta được PT :

































2 5 1

1 0

1 2 1

3

x

x x

x x

x

Hệ có nghiệm là: (-1;-1); 1 5;1 5;1 5;1 5

 VD2 : Giải hệ phương trình : 2 2







 Giải : x > -1 ; y > -1

ln(1x) ln(1 y) x y ln(1x) xln(1y) y

Xét hàm số đại diện : ( ) ln(1 ) ; 1;  '( )

1

t

t





Ta có : f t'( ) 0  t 0 Hàm số đồng biến trong khoảng (-1;0) và nghịch biến trong khoảng (0;)

ln(1x) xln(1y) y f x( )f y( ) xy

thay vào PT 2x2 5xy y 2 0 ta có nghiệm x = y =0

BÀI TẬP

Bài 1 : Tìm m để phương trình có nghiệm

m x   x    x  x   x (ĐỀ THI ĐHKB-2004)

Bài 2 : CMR với mọi giá trị của m phương trình sau có hai nghiệm thực phân

biệt: x22x 8 m x(  2) (ĐỀ THI ĐHKB-2007)

Bài 3 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực :

2 4

3 x1m x 1 2 x 1 (ĐỀ THI ĐHKA -2007)

Bài 4 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc 32; 

2

log xlog x  3m log x  3 (ĐH KTQS KA-2001)

Bài 5 : Tìm m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;3 3

2 2

log x log x 1 2m1 0 (ĐH KA-2002 -TOÀN QUỐC)

Bài 6 : Tìm m để  0; 2 đều thoả bất phương trình sau

log x  2x m 4 log (x  2x m ) 5 (ĐH SPHN KA- 2001)

Bài 7: Giải phương trình :  

2

2 3

1

5

x x

 

 

  (UD ĐH)

II ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –

NHỎ NHẤT VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

 VD1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số của hàm số

y 4sin 2x4cos 2x

 Giải: Cách 1:

Áp dụng BĐT Cauchy: sin 2 cos 2

Dấu đẳngthức xảy ra khi: sin 2 cos 2

x  k

k

yf    

Mặt khác ta cũng có:

2

2

sin

cos

x

x









2

2

sin

cos

x

x





 



Dấu đẳngthức xảy ra khi: sin x=0 hoặc cosx=0.Suy ra: maxy 5

Cách 2: y 4sin 2x4cos 2x 4sin2x 41 sin 2x

2

2 sin

sin

4 4

4

x

x

Đặt sin2  

t  t xét hàm số  

t

f t

t





 

2

2

2 4

t t

f t

t t







 

 Lập bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất bằng 5 và nhỏ nhất bằng 4

 VD2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số của hàm số

y







 Giải : Vì sinx cosx sin2xcos2x 1, x nên

y





1 3 1 2 1



Đặt : tsin 2 ;0x  t 1 xét hàm số 1 3 1 2 1

( )

f t  t  t  t với 0  t 1

2

2

3

t

t





 



Ta có (0) 0; 2 5 ; (1) 1

f  f   f 

  Vậy ta kết luận :

k Maxf t f    x   x    x  

2

k

 VD3 : Cho tam giác ABC thỏa : A > B > C

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : ( ) sin sin 1

f x

 Giải: TXĐ D   ;sinCsin ;A 

    sin sin



III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

* Các bất đẳng thức thường sử dụng

1 Bất đẳng thức Cauchy

0, 0 ;

2

a b

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

2 BĐT miền giá trị của hàm số sin và cosin : sin ( ) 1; cos ( ) 1;f x  f x 

3 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki

 2  2 2  2 2

, , ,

a b c d R  ac bd  a b c d

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :a c

b d

Với mọi số thực a,b,ta có:

|a+b||a|+|b| (1)

|a-b||a|+|b| (2)

|a+b|=|a|+|b| khi và chỉ khi ab0

|a-b|=|a|+|b| khi và chỉ khi ab0

* Chứng minh bất đẳng thức

- Dùng các bất đẳng thức nêu trên

- Dùng đạo hàm

 VD2: Cho ba số dương bất kỳ a,b,c sao cho :a2b2c2 1

CMR : 2 2 2 2 2 2 3 3

2

b c a c a b 

 Giải : Giả thiết 2 2 2

a b c   x y z

Xét hàm số  2

f x x  x trên đoạn 0;1

3

Ta có : (0) 0; (1) 0; 1 2

( )

0;1

Maxf x f  

3 3 2

Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c   13

VD2: Cho a b  0 CMR : 2 1 2 1

    (ĐH KD 2007)  Giải: 2 1 2 1 1 4  1 4  ln 1 4  ln 1 4 

Xét hàm số:    

 

ln 1 4

x

x



     

2

1 4

x

x

 Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng 0;  và a b  0 f a f b  ĐPCM

BÀI TẬP

Bài 1: Tìm k lớn nhất để BPT sau thỏa với mọi x thực :

k( sinx cosx 1)sinx cosx sin 2x 2 (UDĐH)

Bài 2: Cho x , y , z là ba số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của

(ĐỀ THI ĐH KB 2007)

Bài 3: Cho ba số không âm bất kỳ x; y; z sao cho x+y + z = 1

CMR :0 2 7

27

xy yz zx xyz

     ( UD ĐH )

Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức :

 

2

2

x

Bài 5: Tìm số dương nhỏ nhất  sao cho có một số dương  mà  x 0;1

thỏa mãn bất đẳng thức sau đây : 1 x 1 x 2 x



     Với  tìm được, hãy xác định giá trị nhỏ nhất của  thỏa điều kiện trên