Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, hệ phương trình, tìm GTLN, GTNN

Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, hệ phương trình, tìm GTLN, GTNN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, hệ phương trình, tìm GTLN, GTNN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, hệ phương trình, tìm GTLN, GTNN Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, hệ phương trình, tìm GTLN, GTNN

f ’(t) f(t)

0

0 13

ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ

TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH

12)21

= m (2) Khi đĩ phương trình (1) cĩ nghiệm (2) cĩ nghiệm thoả : 0  t  2

, t[0; 2]  hàm số nghịch biến trên [0; 2] Vậy phương trình (1) cĩ nghiệm f( 2m f(0) 21 m  1

Ví dụ 2:

x m x  x  (1) có nghiệm Điều kiện: x  1



 = 4 2

1 1

x2 + 2x – 8 = m x(  2) (1) Điều kiện x  2

(1)  (x – 2)( x3 + 6x2 – 32 – m) = 0  3 2 2

Ta chỉ cần chứng minh phương trình: x3 + 6x2 – 32 = m (*) có nghiêm trong (2; +)

Xét hàm số: f(x) = x3 + 6x2 – 32 với x > 2

f ’(x) = 3x2 + 12x > 0 , x > 2

Dựa vào bảng biến thiên ta có: m > 0 phương trình (*) có nghiệm trong khoảng (2; +)

Vậy m > 0 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Đặt: t = 2

3log x1 với x  [1; 3 3]  0log3x 3  1  2

3

log x+1 4 1 t  2 Phương trình trở thành: t2 + t = 2m + 2 (2)

Phương trình (1) có ít nhất 1 nghiệm thuộc [1; 3 3]

 Phương trình (2) có ít nhất 1 nghiệm thuộc [1; 2]

đường thẳng y = 2m + 2 cắt phần đồ thị y = t2 + t với t [1; 2] tại ít nhất một điểm

 (1)  m( 2tg4x + 5tg2x + 4 ) = - tg4x

t tg x

t m

2 1

f(t)

f '(t) t

Dựa vào bảng biến thiên phương trình có nghiệm  -0,5 < m  0

x

t

t m

(vì t = 2 không phải là nghiệm của pt)

Xét hàm số f(t) = 2 1

2

t t

+ 

2 + 5 2

_

f '(t)

+ 

0 t

Dựa vào bảng biến thiên ta có đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số f(x) tại một điểm duy nhất

a Vậya phương trình (1) luôn có nghiệm duy nhất

Ví dụ 8:

Giải phương trình: x + 2

x  x = 3x-1+1 (1) (1)  x – 1 + 2

a  - ln3 < 0 , a Vậy f(a) nghịch biến trên R và f(0) = 0 nên (*) nghiệm duy nhất a = 0 Do đó phương trình (1) có một nghiệm x = 1

Ví dụ 9

Giải phương trình : 4x 1 + 2

4x  1 = 1 (1) Điều kiện: 4 2 1 0

x x

 f đồng biến trên (0,5; +)

Do f liên tục và đồng biến trên (0,5; +) , f(0,5) = 1 nên (1) f(x) = f(0,5)

f(  )

+  + 

Dựa vào bảng biến thiên f(x) cắt trục hoành tới 2 lần phương trình (*) có tối đa hai nghiệm

Ta thấy x = 0, x = 1 là 2 nghiệm của (*) Ngoài ra (*) không thể có nghiệm nào khác( do nó chỉ có tối đa 2 nghiệm)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 , x = 1

Vớùi giá trị nào của m thì bất phương trình sin3x + cos3x  m , x (1)

Đặt t = sinx + cosx = 2 cos( )

22

1

0

1+ 31

0

tt'xx

-1 1

1 0

+ _

1 23

7

0

2 1/ 3

f(x)

f '(x) x

3t – t3  2m, t  [- 2; 2] Xét: f(t) = 3t – t3

2 -2

0

2 -1

t t' x

Cho bất phương trình x3 -2x2 + x – 1 + m < 0 (1)

a) Định m để bất phương trình (1) có nghiệm thuộc [0; 2]

b) Định m để bất phương trình (1) thoả x [0; 2]

-1 3

27 0

+ _

a) (1) có nghiệm thuộc [0; 2] Maxf(x) > m m < 1

b) (1) có nghiệm x [0; 2]  Minf(x) > m  m < -1

Cho bất phương trình: x a  x b  x c (1) với a > b > c

a) chứng minh bất phương trình luôn có nghiệm

b) Giải bất phương trình: x  4 x  1 x 4 (2)

Aùp dụng chứng minh trên (2) có nghiệm là: (xo, +) vơùi f(xo) = 0

Ta có f(5) = 5 4   5 1   5 4  = 0 VaÄy bất phương trình (2) có nghiệm là ( 5; +)

2

+ _

Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình (1) có nghiệm với x > 0

 bất phương trình (2) có nghiệm với t > 1

 m  -2

Ví dụ 8:

Giải bất phương trình : 2

7x  7 7x  6 2 49x  7x 42 < 181 – 4x Điều kiện:

Vậy nghiệm bất phương trình là S = [6

+

-13 -2

f(t)

f '(t) t

1) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 32x+1 – (m + 3) 3x – 2(m + 3) < 0

2) Xác định m sao cho x đều là nghiệm bất phương trình:

22+cos2x + 1 cos 2 sin 2

2 x 2 x  m 3) Xác định m để bất phương trình sau có nghiệm

sin cos sin

2 x 3 xm.3 x (1)

Hướng dẫn: Đặt t = sin 2

2 x điều kiện1 t 2 thì sin 2

2

log 3 log 3 sin

2

log 3 1

Thay vào (2) và giải

Hươùng 2: Xét hàm số f(t) Ta thường gặp hàm số liên tục trong tập xác định của nó

+) Nếu hàm số f(t) đơn điệu thì (1) suy ra x = y Khi đó bài toán đưa về giải và biện luận phương trình theo x

+) Nếu hàm số f(t) có một cực trị t = a thì nó thay đổi chiều biến thiên một lần khi qua a Từ (1) suy ra x = y hoặc x, y nằm về hai phía của a

Ví dụ 2:

 + 3tln3 = 2

2

1 1

do đó hàm số đồng biến trên R

từ (2) ta có f(a) = f(b) nên a = b Thay vào (1) ta được:

1

a a  ) – aln3 (*) g’(a) =

2

11

a  - ln3 < 0 , a

Vậy hàm số g(a) nghịch bến trên R Nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất a = 0

Do đó hệ có nghiệm duy nhât x = y = 1

y x e

1

t t e

2

1

11

t t

Từ (2) ta có f(x) = f(y)  x = y Thay vào (1) ta có:

1

x x e

x

 = 0 (*) g’(x) = ex -

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) cắt trục hoành tối đa 2 lần

phương trình (*) có tối đa 2 nghiệm

hệ phương trình có đúng 2 nghiệm (x, y) thoả x > 0, y > 0

Ví dụ4:

Giải hệ : 1

1

x y

f '(x) x

Vậy f(t) đồng biến trên R

Từ (2) ta có: f(x) = f(y)  x = y

Thay vào (1) ta được: ex = ex – x +1 (*)

Xét hàm số g(x) = ex - ex + x – 1

g’(x) = ex – e + 1 g”(x) = ex > 0 , x

Do đó f’(x) đồng biến và liên tục trên R và đổi dấu

Vì g’(0) = 2 – e < 0 và g(1) = 1> 0 nên phương trình g’(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 

+  f()

Dựa vào bảng biến thiên g(x) cắt trục hoành tối đa hai lần

phương trình (*) có tối đa 2 nghiệm

Ta thấy x = 0 hoặc x = 1 là hai nghiệm của phương trình (*) ngoài ra (*) không thể có nghiệm nào khác( vì nó chỉ có tối đa 2 nghiệm)

Vậy hệ có hai nghiệm ( (0; 0) và ( 1; 1)





ta thấy f’(t) = 0  t = 0

Ta có (2) f(x) = f(y) x = y nếu x,y thuộc cùng một khoảng đơn vị

hoặc xy < 0 nếu x,y không cùng thuộc một khoảng đơn vị Nếu xy < 0 thì vế trái của (1) luôn dương, phương trình không thoả mãn

Nếu x = y thay vào (1) ta được nghiệm của hệ là x = y = 0

Thay vào (1) ta có: x  1 3 x = m (*)

Xét hàm số : g(x) = x  1 3 x

Dựa vào bảng biến thiên phương trình (*) có nghiệm  2  m  2 2

Do đó hệâ có nghiệm khi 2  m  2 2

4 9

+ 

32 243

_

1 0

0 0 0

f(x)

f '(x) x

Thay vào (2) ta có 2sinx – 3cosx = m  13sin( x - ) = m (*)

vậy hệ có nghiệm phương trình (*) có nghiệm - 13  m  13

2) Hệ phương trình có ẩn không thay đổi khi hoán vị vòng quanh

Khi giải hệ này cần chú ý:

Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết x = max (x, y, z) x  y, x  z

Xét hàm số f(t) = t3 - 3t2 + 5t + 1

f ’(t) = 3t2 – 6t + 5 > 0 , t Do đó f(t) đồng biến

Hệ phương trình có dạng

Ví dụ 2:

( ) ( ) ( )

6) = 6(x – 1)2 + 1

3  2  y  3

2Tương tự ta có: x  3

2, z 3

2Xét hàm số f(t) = 6t2 – 12t + 8

f ’(t) = 12x – 12 > 0 , t  3

2Vậy f(t) đồng biến trên [3

2; +)

Vì hệ không thay đổi khi hoán vị vòng quanh đối với x, y,z do đó có thể giả thiết x  y, x  z

Nếu x > y  f(x) > f(y)  y3 > z3  y > z  f(y) > f(z)  z3 > x3  z > x mâu thuẫn Nếu x > z  f(x) > f(z)  y3 > x3  y > x mâu thuẫn

Suy ra x = y = z

Từ một phương trình trong hệ ta có: x3 – 6x2 + 12 x - 8 = 0

 (x – 2)3 = 0  x = 2 Vậy hệ có nghiệm x = y = z = 2

CHƯƠNG I HÀM SỐ BÀI 1 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM SỐ, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT & NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

II PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1 Nghiệm của phương trình u(x)  v(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị yu x  với đồ thị

 

2 Nghiệm của bất phương trình u(x)  v(x) là

phần hoành độ tương ứng với phần

đồ thị yu x  nằm ở phía trên

so với phần đồ thị yv x 

3 Nghiệm của bất phương trình u(x)  v(x) là

phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị

 

yu x nằm ở phía dưới so với phần đồ thị yv x 

4 Nghiệm của phương trình u(x)  m là hoành độ

giao điểm của đường thẳng y  m với đồ thị yu x 

 Xét các khả năng sau đây:

+ Nếu x 0 thì bất phương trình trở thành m.0   0 3 nên vô nghiệm

a

v(x) u(x)

y = m

+ Nếu x0; 3 thì BPT   g x m có nghiệm x0; 3

    0;3

1 3 5

Bài 4 Tìm m để phương trình: x x x 12 m 5  x 4 x có nghiệm

Giải: Điều kiện x 1 Nhân cả hai vế BPT với  3

x x  ta nhận được bất phương trình    3 2  3

Do g x  0 và tăng  x 1; h x  0 và tăng nên f x  g x h x   . tăng  x 1

Khi đó bất phương trình f x  m có nghiệm    

x  x  m x luôn có đúng hai nghiệm phân biệt

Giải: Điều kiện: x 2

Biến đổi phương trình ta có:

x  x  m x có hai nghiệm phân biệt

Bài 10 (Đề TSĐH khối A, 2008) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân

Tìm x để bất phương trình x2  2xsiny cosy  1 0 đúng với  y ¡

Giải: Đặt usinycosy  2, 2 ,