Ứng dụng đạo hàm để giải PT và HPT

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤCỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN Người hướng dẫn khoa học: Th.S Hoàng Ngọc M

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN

Người hướng dẫn khoa học: Th.S Hoàng Ngọc Minh

Sinh viên thực hiện: Ngô Thị Trang

Hà Nội-2016

Mục lục

1.1 Lý do chọn đề tài 3

1.2 Mục đích nghiên cứu 4

1.3 Đối tượng nghiên cứu 4

1.4 Phương pháp nghiên cứu 4

1.5 Cấu trúc khóa luận 5

2 Một số kiến thức chuẩn bị 6 2.1 Các khái niệm cơ bản 6

2.1.1 Định nghĩa đạo hàm 6

2.1.2 Đạo hàm một phía 7

2.2 Các quy tắc tính đạo hàm 7

2.2.1 Đạo hàm của tổng, tích , thương 7

2.2.2 Đạo hàm của hàm hợp 8

2.2.3 Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp 8

2.3 Tính đơn điệu của hàm số 8

2.4 Định lý Rolle, Lagrange 9

2.4.1 Định lý Fermat 10

2.4.2 Định lý Rollle 10

2.4.3 Định lý Lagrange 11

3 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình 12 3.1 Chứng minh nghiệm duy nhất 12

3.2 Đưa về dạng f (u) = f (v) 18

3.3 Sử dụng định lý Rolle, Lagrange 233.3.1 Sử dụng định lý Rolle 233.3.2 Sử dụng định lý Lagrange 27

4.1 Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất 314.2 Đưa về dạng f (u) = f (v) 35

Chương 1

Mở đầu

Khái niệm hàm là một trong những khái niệm cơ bản nhất của toán học, nó giữ

vị trí trung tâm của môn toán ở trường phổ thông, toàn bộ việc giảng dạy toán ởnhà trường phổ thông đều xoanh quanh khái niệm này (Trích "Phương pháp giảngdạy Toán" - Nguyễn Bá Kim)

Tư duy hàm, một loại hình tư duy đang được phát triển mạnh mẽ trong hoạtđộng giảng dạy các bộ môn trong nhà trường đặc biệt là môn toán Ngày nay trongchương trình môn toán ở trường phổ thông khái niệm hàm đã, đang được thể hiện rõvai trò chủ đạo của mình trong việc ứng dụng và xây dựng các khái niệm khác Kháiniệm đạo hàm có liên quan mật thiết để nghiên cứu tính chất, sự biến thiên của hàmsố

Trong các kì thi tốt nghiệp, kì thi tuyển sinh đại học, kì thi chọn học sinh giỏi ngoài các bài tập liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có những bài tập màhọc sinh thường phải vận dụng đạo hàm như là một công cụ đắc lực để giải toán như:Giải phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, chứng minh bấtđẳng thức Các bài toán về phương trình và hệ phương trình luôn xuất hiện trong

đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi Một lượng lớn các bài toán này không thể giảiđược bằng phương pháp thông thường hoặc có thể giải được nhưng gặp rất nhiều khókhăn Đó cũng là những bài toán khó của đề thi Tuy nhiên, nếu ta biết vận dụng đạo

hàm để giải các bài tập đó thì bài toán sẽ đơn giản hơn và ngắn gọn hơn rất nhiều.

Để nâng cao kĩ năng giải toán và góp phần phát triển tư duy hàm cho học sinh,đồng thời bản thân có hệ thống tài liệu trong giảng dạy và bồi dưỡng học sinh, tôi

đã chọn đề tài:

"Ứng dụng đạo hàm trong việc giải phương trình và hệ phương trình"Tôi hy vọng chuyên đề này có thể làm tài liệu hữu ích cho các thầy cô giảng dạymôn toán và các em học sinh Song vì năng lực và thời gian nghiên cứu còn hạn chế

vì vậy không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiếncủa các quý thầy cô và những người yêu thích môn toán để đề tài này có ý nghĩathiết thực hơn trong nhà trường Góp phần nâng cao hơn nữa chất lượng giáo dụcphổ thông

Tôi xin chân thành cảm ơn

Các bài toán về phương trình và hệ phương trình thường gặp trong các kì thituyển sinh đại học, kì thi chọn học sinh giỏi

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Phân tích tổng hợp từ các sách báo, tài liệuliên quan, internet

- Phương pháp quan sát: Hướng dẫn học sinh vận dụng đạo hàm để giải, biệnluận phương trình và hệ phương trình để rút ra kết luận

1.5 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận bao gồm 3 chương:

• Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

• Chương 2: Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình

• Chương 3: Ứng dụng đạo hàm để giải hệ phương trình

Chương 2

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong các kì thi đại học và cao đẳng, thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi học sinh giỏiquốc gia thường xuất hiện các bài toán về giải phương trình và hệ phương trình.Trong nhiều bài nếu sử dụng những phương pháp thông thường sẽ gặp nhiều khókhăn hoặc không giải quyết được Ứng dụng đạo hàm tuy không phải là phương pháp

"vạn năng" nhưng nó có thể giải quyết một bài toán về phương trình một cách rấtgọn gàng, sáng sủa Khi vận dụng thành thạo phương pháp này, chúng ta có thể nhậnthấy vẻ đẹp của toán học qua từng bài toán cụ thể Trước khi đi tìm hiểu những dạngtoán cụ thể ta cần nắm được các khái niệm cơ bản

đạo hàm tại mọi điểm x ∈ (a, b), đồng thời có đạo hàm phải tại x = a và có đạo hàmtrái tại x = b.

2.1.2 Đạo hàm một phía

Cho hàm số y = f (x) xác định trong khoảng (a, b) và x0 ∈ (a, b)

Ta nói hàm số f (x) có đạo hàm phải tại x0, kí hiệu là f+0(x0) nếu

Ta nói hàm số f (x) có đạo hàm trái tại x0, kí hiệu là f+0 (x0) nếu

2.2.1 Đạo hàm của tổng, tích , thương

Cho hai hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm tương ứng u0(x) và v0(x) khi đó

ta có

(u + v)0 = u0+ v0(u − v)0 = u0− v0

(uv)0 = u0v + uv0

uv

(u1u2 un)0 = u01u2u3 un+ u1u02u3 un+ · · · + u1u2u3 u0n

y0x = yu0u0x.

2.2.3 Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp

C0 = 0 (Cu)0 = Cu0, C là hằng số(xα)0 = αxα−1 (uα)0 = αu0uα−1

 1x

0

= −1

x2

 1u

0

= −u0

u2

(√x)0 = 1

2√

√u)0 = u

0

2√u(sin x)0 = cos x (sin u)0 = cos u.u0(cos x)0 = − sin x (cos u)0 = − sin u.u0(tan x)0 = 1

cos2x (tan u)

0 = u

0

cos2u(cot x)0 = −1

sin2x (cot u)

0 = −u0

sin2u(ln x)0 = 1

0 = u

0

u(logax)0 = 1

x ln a (logau)

0 = u

0

u ln a(ex)0 = ex (eu)0 = eu.u0(ax)0 = axln a (au)0 = u0auln a

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng D

Nếu f0(x) ≥ 0, ∀x ∈ D(hoặcf0(x) ≤ 0, ∀x ∈ D) và f0(x) = 0 chỉ tại một số hữuhạn điểm của D thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D

1 Nếu y = f (x) đồng biến trên [a; b] thì

minx∈[a;b]f (x) = f (a); maxx∈[a;b]f (x) = f (b)

2 Nếu y = f (x) nghịch biến trên [a; b] thì

minx∈[a;b]f (x) = f (b); maxx∈[a;b]f (x) = f (a)

3 Số nghiệm của phương trình f (x) = g(x) bằng số giao điểm của hai đồ thị

Cho hàm số y = f (x)liên tục trên lân cận Vx0 của x0

• Nếu f (x) < f (x0)với mọi x thuộc Vx0 thì ta nói: f đạt cực đại tại x0

Khi đó :

x0: là điểm cực đại của hàm số

f (x0) : là giá trị cực đại của hàm số Kí hiệu fCŒ

M (x0; f (x0)): là điểm cực đại của đồ thị hàm số

• Nếu f (x) > f (x0)với mọi x thuộc Vx0thì ta nói: f đạt cực tiểu tại x0

Khi đó :

x0: là điểm cực tiểu của hàm số.

f (x0) : là giá trị cực tiểu của hàm số Kí hiệu fCT

M (x0; f (x0)): là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

• f đạt cực đại hay cực tiểu tại x0, ta nói f có cực trị tại x0

Do f (x) liên tục trên đoạn [a, b] nên tồn tại giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất

m trên [a, b] của f (x)

Nếu m = M thì f (x) = C với mọi x ∈ [a, b] suy ra f0(x) = 0 với mọi x ∈ [a, b], do

đó tồn tại x = c ∈ (a, b) để f0(c) = 0

Nếu m 6= M thì một trong hai giá trị đạt được tại một điểm trong của khoảng(a, b) và đó phải là điểm cực trị của hàm số Giả sử f (x) đạt max tại x = c ∈ (a, b).Khi đó theo định lý Fermat f0(c) = 0

Vậy trong mọi trường hợp, luôn tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f0(c) = 0

sử dụng đạo hàm thì lời giải sẽ ngắn gọn và hiệu quả.

Sử dụng đạo hàm để giải phương trình f (x) = g(x) ta thường làm như sau: Thựchiện các biến đổi đề nhẩm được nghiệm của phương trình, sau đó, sử dụng đạo hàm

để chứng minh phương trình chỉ có các nghiệm đó

q

x +√7x + 2 = 4

Với bài toán này nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt ẩn phụ

sẽ gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên, nếu để ý một chút ta sẽ thấy ngay vế trái là mộthàm đồng biến và x = 1 là một nghiệm của phương trình Ta chứng minh x = 1 lànghiệm duy nhất của phương trình

Lời giải:

Điều kiện: D =

(x

x ≥ 7 −

√572)

ta có f (x) là hàm liên tục trên D và

f0(x) = 3

2√3x + 1 +

2√7x + 2

- Nếu x < 1 suy ra f (x) > f (1) = 0 nên phương trình vô nghiệm

- Nếu x < 1 suy ra f (x) < f (1) = 0 nên phương trình vô nghiệm

Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Chú ý:

- Vì các hàm số y = ax + b với a > 0 là một hàm đồng biến và nếu f (x) là hàmđồng biến thì hàm pf(x) (với điều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm đồngn

biến nên ta dễ dàng nhận ra vế trái của phương trình là hàm đồng biến

- Khi dự đoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thứcdưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương

Ví dụ 3.1.2 Giải phương trình:

√

x − 1 + x2+√3

x + 6 = 7Lời giải:

Ta thấy x = 1 không phải là nghiệm của phương trình

Xét hàm số

f (x) =√

x − 1 + x2− 7 +√3

x + 6 trên(1; +∞)

Suy ra x = 2 là nghiệm của phương trình.

Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Ví dụ 3.1.3 Giải phương trình:

log2(1 +√

x) = log3x (1)Lời giải:

!t

nghịch biến trên R và f (2) = 1.Vậy (2) có nghiệm duy nhất t = 2 Suy ra (1) có nghiệm duy nhất x = 9

Ví dụ 3.1.4 Giải phương trình sau:

3

p(x − 1)2− 2√3

x − 1 − (x − 5)√

x − 8 − 3x + 31 = 0Lời giải:

Điều kiện: x ≥ 8

Đặt t = √3

x − 1 (t ≥√3

7)Phương trình đã cho trở thành:

Ta có f (2) = 0 ⇒ t = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Từ đó suy ra phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất: x = 9

Ví dụ 3.1.5 Giải phương trình sau:

2x4− 3x3− 14x + 16 = (28 − 4x3)√

2x3− 15Lời giải:

Điều kiện: 2x3− 15 ≥ 0 ⇔ x ≥ r 153

2Phương trình trở thành:

2x(x3− 7) − 3(x3− 7) − 5 = 4(7 − x3)p2(x3− 7)Đặt t = x3− 7 ⇒ x = √3

t + 7 với t ≥ 1

2Phương trình đã cho trở thành:

t + 7 > 2r 153

2 > 3

nên suy ra f0(t) > 0 ∀t ∈  1

2, +∞ .Như vậy hàm số f (t) đồng biến trên  1

2, +∞

.Lại có f (1) = 0 ⇔ t = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình Từ đó ta cóphương trình ban đầu có nghiệm duy nhất x = 8

Ví dụ 3.1.6 Giải phương trình sau:

2√4x2− x + 1 + 2x = 3√3

2x2− x3+√

9x2− 4x + 4Lời giải:

Ta thấy x = 0 thỏa mãn phương trình đã cho

+ Xét trường hợp x > 0 Chia hai vế phương trình cho x ta được:

2

r1

+ Xét trường hợp x < 0 Chia hai vế cho x ta được:

−2

r(1

x)

2− 41

x + 9Đặt t = 3

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0; x = 1.

Ví dụ 3.1.7 Giải phương trình sau:

2(x − 3)√3

x + 4 + 2√

2x − 7= 3x − 4Lời giải:

2; +∞



Như vậy hàm số đồng biến trên  7

2; +∞

.Mặt khác f (4) = 0 nên phương trình f (x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 4

Ví dụ 3.1.8 Giải phương trình sau:

√2x3+ 3x2 + 6x + 16 −√

4 − x = 2√

3Lời giải:

Điều kiện:

2√

4 − x > 0 ∀x ∈ (−2; 4)Suy ra hàm số đồng biến trên (−2; 4) Mặt khác f (1) = 0 nên x = 1 là nghiệmduy nhất của phương trình

Dấu hiệu:

+ Bài toán thường có đặc trưng là luôn đưa về được dạng f (u) = f (v) trong đóhàm đặc trưng là hàm đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm trên miền xác định D.+ Đặc điểm nổi bật nhất ta có thể phát hiện là: Trong phương trình có nhiều biểuthúc chứa căn, hoặc đa thức bậc cao mà ta không thể quy về một ẩn

Ta thường giải phương trình dạng này theo cách:

+ Biến đổi phương trình về dạng: f (u(x)) = f (v(x)) thông qua hệ tạm

+ Từ đó dựa vào tính chất Nếu f (t) đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm trên D

mà f (u(x)) = f (v(x)) thì u(x) = v(x)

Ví dụ 3.2.1 Giải phương trình:

x3+ 3x2+ 4x + 2 = (3x + 2)√

3x + 1Nhận xét: Phương trình trên nếu biến đổi thông thường sẽ rất khó khăn, chính vìvậy ta có thể liên tưởng đến phương pháp sử dụng đạo hàm

PT ⇔ (x + 1)3+ (x + 1) = (√

3x + 1)3+√

3x + 1Xét hàm số

f (t) = t3+ t(với t ≥ 0) ⇒ f0(t) = 3t2+ 1 > 0, ∀t.Nên hàm số f (t) đồng biến với mọi t

)

Vậy phương trình có nghiệm x = 0 hoặc x = 1

Ví dụ 3.2.2 Giải phương trình:

 127

sinx

− 181

sin 3 x

= sin3xLời giải:

4sin 3 x

= 3sinx − 4sin3x

⇔ 13



− 1 < 0; ∀tSuy ra f (t) là hàm số nghịch biến Khi đó ta có

Vậy phương trình có nghiệm x = kπ



∪ (0; +∞)Với điều kiện đó phương trình đã cho tương đương

+



2 + 1x

2

− 2



2 + 1x



Đặt u = √

x + 2 và v = 2 + 1

x ta đượclog2u + u2− 2u = log2v + v2− 2v ⇔ f (u) = f (v)

Ta có: f (t) = log2t + t2− 2t với t > 0 Là hàm số liên tục trên (0; +∞)

Ta có:

f0(t) = 1

t.ln2 + 2t − 2 ≥ 2

r2ln2− 2 > 0 do 2

ln2 > 1Suy ra f (t) là hàm số tăng trên (0; +∞) Do đó:

Đối với những phương trình có dạng:

ax3+ bx2+ cx + d = (ex + h)√

px + q (1)Hoặc:

ax3+ bx2+ cx + d = Ay3+ By

Sau đó biến đổi phương trình về thành:

A (u(x))3+ Bu(x) = Ay3+ ByĐối với (2):

(u(x))3+ s (u(x)) = y3+ s.y

Ví dụ 3.2.4 Giải phương trình :

8x3− 13x2+ 7x = 2√3

x2− 3x − 3Lời giải:

8x3− 12x2+ 10x − 3 = y3 + 2y ⇔ (2x − 1)3+ 2(2x − 1) = y3+ 2yXét hàm số

Ví dụ 3.2.5 Giải phương trình sau:

3

√24x − 11 − 16x√

2x − 1 − 1 = 0Lời giải:

Điều kiện: x ≥ 1

2.

Ta đặt a =√

2x − 1 ≥ 0 thì phương trình đã cho trở thành:

3

√12a2+ 1 − 8a3− 8a − 1 ⇔ 8a3+ 8a + 1 = √3

12a2+ 1Đặt y = √3

12a2+ 1 ta thu được hệ sau:







8a3+ 8a + 1 = y12a2+ 1 = y3

Cộng hai phương trình của hệ với nhau ta thu được:

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 0; x = 1.

Ví dụ 3.3.2 Giải phương trình:

3x+ 5x= 2.4xLời giải:

Dễ thấy x = 0; x = 1 là nghiệm của phương trình

Gọi x0 là nghiệm của phương trình đã cho

Ta được:

3x0 + 5x0 = 2.4x0 ⇔ 5x 0 − 4x 0 = 4x0 − 3x 0 (1)Xét hàm số

Ví dụ 3.3.3 Giải phương trình sau:

ax+ bx = cx+ dxvới a, b, c, d > 0; a + b = c + d

f0(α) = 0 ⇔ x0((α + 1)x0 −1− αx 0 −1) = 0

⇔



(α + 1)x 0 −1 = αx 0 −1

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 0; x = 1

f0(y) = 6.ln4.4

y

(2 + 4y)2 − 1

f0(y) = 0 ⇔ 6ln4.4y = (2 + 4y)2Đây là phương trình bậc hai đối với ẩn 4y nên không có quá hai nghiệm Do đótheo định lý Rolle phương trình f (y) = 0 không có quá 3 nghiệm

2

(1) ⇔ 3x+ x = 1 + 2x + log3(1 + 2x)

⇔ 3x+ log33x= 1 + 2x + log3(1 + 2x)

⇔ f (3x) = f (1 + 2x)vớif (t) = tlog3t, t > 0Với t > 0 ta có f (t) là hàm đồng biến nên

Vậy phương trình g(x) = 0 có đúng hai nghiệm là x = 0 và x = 1 Hay phươngtrình đã cho có đúng hai nghiệm là x = 0 và x = 1

3.3.2 Sử dụng định lý Lagrange

Ví dụ 3.3.6 Giải phương trình

2x+ 5x = 3x+ 4xLời giải:

Dễ thấy x = 0 là nghiệm của phương trình

Xét f (t) = tx liên tục trên [2, 3] và [4, 5] có đạo hàm trên (2, 3) và (4, 5)

Theo định lý Lagrange tồn tại t1 ∈ (2, 3) và t2 ∈ (4, 5) sao cho

f (3) − f (2) = f0(t1); f (5) − f (4) = f0(t2)Suy ra

3x− 2x = xtx−11 ; 5x− 4x = xtx−12

Từ phương trình đầu bài ta suy ra

3x− 2x = 5x− 4x

Dễ thấy phương trình có hai nghiệm x = −1, x = 2 Ta chứng minh phương trìnhchỉ có hai nghệm.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = −1; x = 2

Ví dụ 3.3.8 Giải phương trình

2x+ 7x = 5x+ 4xLời giải:

Dễ thấy x = 0 là nghiệm của phương trình

Xét f (t) = tx liên tục trên [2, 4] và [5, 7] có đạo hàm trên (2, 4) và (5, 7)

Theo định lý Lagrange tồn tại t1 ∈ (2, 4) và t2 ∈ (5, 7) sao cho

f (4) − f (2) = f0(t1); f (7) − f (5) = f0(t2)Suy ra

4x− 2x = xtx−11 ; 7x− 5x = xtx−12

Từ phương trình đầu bài ta suy ra

4x− 2x = 7x− 5x

Suy ra

tx−11 = tx−12 ⇔ x = 1 (vì t1 6= t2).Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x = 0; x = 1

(I)Bằng phép biến đổi tương đương một cách khéo léo, ta đưa hệ (I) về dạng:







f (x; y) = 0G(x; y) = 0

1 Dạng F (x) = 0, với F (x) hoặc đồng biến hoặc nghịch biến trên D

Bước 1: Đưa phương trình (1) về dạng F (x) = 0

Bước 2: Xét hàm số y = F (x)

Chỉ rõ hàm số y = F (x) đồng biến hay nghịch biến trên D

Bước 3: Đoán được F (x0) = 0 Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất

x = x0

2 Phương trình (1) có:





F (x)đồng biến trên DG(x)nghịch biến trên D

(hoặc ngược lại)

Bước 1: Đưa phương trình (1) về dạng: F (x) = G(x)

Bước 2: Xét hai hàm số y = f (x) và y = g(x)

Chỉ rõ hàm số y = F (x) là hàm đồng biến (nghịch biến) và y = G(x) là hàmnghịch biến (đồng biến)

Bước 3: Đoán được F (x0) = G(x0)

Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = x0

3 Dạng phương trình F (u) = F (v) (∗), với F (x) hoặc đồng biến, hoặc nghịchbiến trên (a; b) Lúc đó, (∗) có nghiệm duy nhất u = v

Bước 1: Đưa phương trình về dạng F (u) = F (v)

Bước 2: Xét hàm số: y = F (t)

Chỉ rõ hàm số đồng biến hay nghịch biến trên (a; b)

Bước 3: Khi đó: F (u) = F (v) ⇔ u = v

ta muốn giải hệ này bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Hàm số f (t) = t3− 3t không đơn điệu trên toàn trục số, nhưng nhờ có x2+ y2 = 1

ta giới hạn được x và y trên đoạn [−1; 1]

Lời giải:

Từ phương trình x2+ y2 = 1 ta có

x2 ≤ 1, y2 ≤ 1 ⇔ x, y ∈ [−1; 1]

Hàm số f (t) = t3− 3t có

- Vì hàm số y = ax + b với a > hàm đồng biến f (x) hàm? ?ồng biến hàm pf(x) (với điều kiện thức tồn tại) hàm đồngn

biến nên ta dễ dàng nhận vế trái phương trình hàm đồng... Xét hàm số: y = F (t)

Chỉ rõ hàm số đồng biến hay nghịch biến (a; b)

Bước 3: Khi đó: F (u) = F (v) ⇔ u = v

ta muốn giải hệ phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số

Hàm. .. trình (1) dạng: F (x) = G(x)

Bước 2: Xét hai hàm số y = f (x) y = g(x)

Chỉ rõ hàm số y = F (x) hàm đồng biến (nghịch biến) y = G(x) hàmnghịch biến (đồng biến)

Bước 3: Đoán F