đạo hàm

1

I-Đ o hàm t i m t đi m ạ ạ ộ ể

1-Các bài toán d n đ n khái ni m đ o hàm:ẫ ế ệ ạ

1.Bài toán v n t c t c th i:ậ ố ứ ờ

1-M t đoàn tàu chuy n đ ng th ng kh i hành t m t nhà ga.Quãng đ ng ộ ể ộ ẳ ở ừ ộ ườ s(mét) đi đ c c a đoàn tàu là m t hàm s c a th i gian t(phút) nh ng ượ ủ ộ ố ủ ờ Ở ữ phút đ u tiên, hàm s đó là s=tầ ố 2

Hãy tính v n t c trung bình c a chuy n đ ng trong kho ng [t;tậ ố ủ ể ộ ả 0] v i tớ 0=3và t=2; t=2,5; t=2,9; t=2,99

Nêu nh n xét v các k t qu thu đ c khi t càng g n tậ ề ế ả ượ ầ 0=3

Gi i:ả

Xem quãng đ ng là m t hàm s theo th i gian tườ ộ ố ờ

Quãng đ ng đi đ c sau th i gian t: s=s(t)ườ ượ ờ

Quãng đ ng đi đ c sau th i gian tườ ượ ờ 0:s0=s(t0)

• Ta có:v n t c trung bình trong kho ng th i gian |t-tậ ố ả ờ 0| là :

*N u t càng g n tế ầ 0 thì v n t c trung bình càng g n v n t c t c th i t i tậ ố ầ ậ ố ứ ờ ạ 0

**Gi i h n h u h n (n u có)ớ ạ ữ ạ ế

đ c g i là v n t c t c th i c a chuy n đ ng t i th i đi m tượ ọ ậ ố ứ ờ ủ ể ộ ạ ờ ể 0

0

0

t t

s

s

−

−

0

0 ) (

)

( lim

t s t

s

t

−

>

−

• 2.Bài toán tìm c ng đ t c th i:ườ ộ ứ ờ

• Đi n l ng Q truy n trong dây d n là m t hàm s theo th i gian t:Q=Q(t)ệ ượ ề ẫ ộ ố ờ

• Ta có c ng đ trung bình trong kho ng th i gian |t-tườ ộ ả ờ 0|:

• *N u t càng g n tế ầ 0 thì c ng đ dòng đi n trung bình càng g n c ng đ ườ ộ ệ ầ ườ ộ

t c th i c a dòng đi n t i tứ ờ ủ ệ ạ 0

0

0 ) Q(t )

(

t t

t

Q

I tb

−

−

=

• Gi i h n h u h n (n u có)ớ ạ ữ ạ ế

đ c g i là c ng đ t c th i c a dòng đi n t i th i đi m tượ ọ ườ ộ ứ ờ ủ ệ ạ ờ ể 0

*Nh n xétậ :

0

0 ) (

)

( lim

t Q t

Q t

−

>

−

Việc tìm giới hạn

trong đó y=f(x) dẫn tới khái niệm:

ĐẠO HÀM

0

0) ( )

( lim

x f x

f

x

−

>

−

2 Đ nh nghĩa đ o hàm t i ị ạ ạ

m t đi m ộ ể

• Cho y=f(x) xỏc đ nh trờn (a;b) và xị 0thu c (a;b).ộ

Ký hi u:f’(xệ 0) ho c y’(xặ 0)

0

0 0

0

Trong toán học nếu giới hạn

( ) ( ) lim tồn tại

thì gọi là đạo hàm của hs ( ) tại

x x

x x

→

−

−

=

• T c là:ứ

0

0 0

0

'( ) lim

f x f x

f x

x x

→

−

=

−

0 0

0

(số gia đối

Hay: '( ) lim

số) (số gia hàm s )

)

ố

(

x

y

f x

x

x x x

y f x f x f x x f x

∆ →

∆

=

∆

∆ = −

∆ = − = + ∆ −

• 3.Cỏc b c tớnh đ o hàm b ng đ nh nghĩa:ướ ạ ằ ị

Từ định nghĩa cho biết các b ớc tính

đạo hàm?

+ B1: Giả sử ∆ x là số gia đối số

tại x0 Tính ∆ y=f(x0+ ∆ x)-f(x0).

+B2: Lập tỷ số

+ B3: Tìm

0

lim

x

y x

∆ →

∆

∆

x

y

∆

∆

• Ví d 1: ụ

• Tính đ o hàm c a f(x)=1/x t i x ạ ủ ạ 0 =2

• Gi i: ả

• +Gi s ả ử ∆ x l à s ố gia c a đ i s t i x ủ ố ố ạ 0=2

∀ ∆ y=f(x0+ ∆ x )-f(x0)=

• + Ta c ó:

• V y:f’(2)=-1/4 ậ

) 2

(

x

∆ +

∆

−

=

∆

∆

x

y

) 2

( 2

1

x

∆ +

−

x

y

x ∆

∆

>

−

∆ lim 0

VD2: T×m đ o hàmạ cña hµm sè y=x2 +x t¹i x0=1.

Gi ả i:

+Gi s ả ử ∆x là s ố gia c a đ i s t i xủ ố ố ạ 0=1

∀ ∆y=f(x0+ ∆x )-f(x0)=3 + 2

+ Ta có:

+ =3

• V y:f’(1)=3ậ

x

∆

x

=

∆

∆

x y

x

y

∆

>

−

∆ lim 0

• 4.Quan h gi a s t n t i ệ ữ ự ồ ạ c a đ oủ ạ hàm và tớnh liờn t c c a hàm s :ụ ủ ố

Nếu hàm số có đạo hàm tại x0 thì nó có liên tục tại x ?

 Định lý:

Nếu ∃ f’ (x 0 ) ⇒ y=f(x) liên tục tại x 0

 Từ định lý ta có nhận xét:

• y=f(x) gián đoạn tại x 0 ⇒

• y=f(x) liên tục tại x 0

0

'( )

f x

∃

0

'( )

f x

⇒ ∃

• Ch ng h n:ẳ ạ

liên t c t i x=0 nh ng không có đ o hàm t đó ụ ạ ư ạ ạị

• Nh n xétậ : đ th là đ ng li nồ ị ườ ề

nh ng “gãy” t i 0ư ạ





−

x

x 2

nếu x <0 ≥

y

y= -x 2 y=x

C NG C Ủ Ố

• Xem l i bài h cạ ọ

• Làm bài t p sách giáo khoaậ

• Xem tr c ph n ti p theoướ ầ ế