Bài soạn thi cấp tỉnh

Các bất phương trình trên là các bất phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.. Phương pháp chung: Khử dấu giá trị tuyệt đối.. a Xét dấu biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt

Tiết 77

0 3

x 5 x

6 x

5 x

2 x

x 2 − − > 2 − +

2 x

3 x

7

x + > 2 − +

Các bất phương trình trên có dạng gì ?

Nêu phương pháp giải tổng quát

d) ( x 2 − 2 x − 1 ) 2 − x 2 − 2 x − 1 − 2 ≥ 0 (4)

Các bất phương trình trên là các bất phương

trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp chung: Khử dấu giá trị tuyệt đối

a) Xét dấu biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối (Dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối)

Bằng cách:

b) Bình phương .(Chú ý điều kiện để có BPT tương

đương)

c) Đặt ẩn phụ (Đưa về BPT cơ bản đã biết cách giải)

Cách 1: Xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối

(1)

)

; 2

3 ( ) 1

; ( x

0 3 x 5 x

+∞

−∞

∈

⇔

>

+

−

⇔



TH1 : Với (*) thì 5 x − 3 = 5 x − 3

5

3

x ≥

TH2 : Với

5

3

x < (**) thì 5x − 3 = 3− 5x

(1)

)

; 2

1 ( )

3

; (

x

0 3

x 5 x

+∞

−

−∞

∈

⇔

>

− +

⇔



So với điều kiện (**) ta có: T2 = )

5

3

; 2

1 ( ) 3

; (−∞ − 

Tập nghiệm của BPT (1) là : T = T U T = (−∞;−3) (1;1) (3;+∞)

So với điều kiện (*) ta có T1= ; )

2

3 ( )

1

; 5

3

a) 2x − 5x − 3 > 0 (1)

1 23

/////////

5

3

/////////////////

-3 21

////////

5 3

///////////////////////////

0 )

3 x

5 x

2 )(

3 x

5 x

2 (

0 )

3 x

5 ( )

x 2 (

) 3 x

5 ( )

x 2 ( 3

x 5 x

2 )

1 (

2 2

2 2

2

2 2

2 2

>

+

−

− +

⇔

>

−

−

⇔

−

>

⇔

−

>

⇔

Ta có: 2x2 − 5x+ 3= 0⇔ x = 1 hay x =

2

3

3 x

0 3

x 5 x

2 2 + − = ⇔ = − hay x = 12

∞

x -3 1/2 1 3/2 2x 2

-5x+3

+ + + 0 - 0

+ 2x 2 +5x

-3

+ 0 - 0 +

VT (1) + 0 - 0 + 0 -

0 +

)

; 2

3 ( )

1

; 2

1 ( )

3

; (

T = −∞ −   +∞

Từ bảng xét dấu ta có:

Cách 2: Bình phương

(1)

b) x − x − 2 > x − 5 x + 6 (2)

Vì (2) có 2 vế không âm nên : (2) ⇔ x2− x− 22 > x2−5x+ 62

0 )]

6 x

5 x

( ) 2 x

x )][(

6 x

5 x

( ) 2 x

x [( 2 − − + 2 − + 2 − − − 2− + >

⇔

0 )

8 x

4 )(

4 x

6 x

2

⇔

0 )

2 x

)(

2 x

3 x

(

8 2 − + − >

⇔

0 )

2 x

)(

2 x

3 x

( 2 − + − >

x – 1 > 0 ⇔ x ≠ 2

x > 1 Vậy BPT (2) có tập nghiệm là: T = ( 1; 2 )  (2 ; )+ ∞

Phương pháp giải: Bình phương , chuyển về BPT tích số

So với (*) ta có tập nghiệm của BPT (3) là: T = (-1 ; 5 )

c) x + 7> x2 − 3x + 2 (3)

Bình phương (chú ý điều kiện) Phương pháp giải:

2 x

3 x

) 7 x

)]

2 x

3 x

( ) 7 x

)][(

2 x

3 x

( ) 7 x

[( + + 2 − + + − 2− +

0 )

5 x

4 x

)(

9 x

2 x

( 2 − + − 2 + + >

⇔

0 5

x 4

−

⇔ ( vì : x2-2x+9>0 )

0 5

x 4

x2 − − <

⇔

∈

⇔ x (-1 ; 5 )

(**)

(*)

(**)

⇔ x > -7

(x + 7 )2 – ( x2 – 3x + 2 )2 > 0

-7

///////////

////////////////////////// ////////////

0 2

1 x

2 x

) 1 x

2 x

( − − − − − − ≥ (4) Phương pháp : Đặt ẩn phụ, đưa về BPT dạng cơ bản

Đặt: t = x2 − 2x−1 , t 0≥ , (4) trở thành : t2 – t – 2 0≥

Ta có: t2 – t – 2 = 0 ⇔ t = -1 hay t = 2

∞

t 2 - t -

2 ///////// - 0 +

t //// 0 2

1 x

2

Suy ra: t 2≥ hay: ≥ 2 ⇔ ( x2 – 2x – 1 )2 2≥ 2

⇔ (x2 – 2x + 1)(x2 – 2x – 3) 0≥ ⇔ (x – 1 )2 (x2 – 2x – 3) 0≥

x (x-1)2

x2-2x-3

∞

− -1 1 3 + ∞

+ 0 - - 0 +

+ + 0 + + (x-1)2(x2-2x-3) + 0 - 0 - 0 +

Tập nghiệm là: T = (- ; -1 ] {1} [3; + )∞   ∞

Bài 2 : Giải các bất phương trình sau :

2 x

4 x

3

c) 2 (x−1)(x + 3) −11> −x2 − 2x (3)

Các bất phương trình trên có dạng gì? Nêu phương pháp giải tổng quát

có chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

** Phương pháp chung : Khử căn bậc hai

a) Bình phương

b) Đặt ẩn phụ

Bằng cách :

( với lưu ý về tập xác định của BPT và điều kiện

để có BPT tương đương )

a) x2 − 3 x − 4 < x − 2 (1)

Phương pháp: Bình phương

Tập xác định của (1): D = (- ; -1] [4 ; + )∞  ∞

(1) ⇔ x – 2 > 0

x2 – 3x – 4 < ( x – 2 )2

⇔ x > 2

x < 8

⇔

x2 – 3x – 4 < x2 – 4x + 4

x > 2

So với tập xác định D , tập nghiệm của (1) là: T = [ 4 ; 8 )

/////////////////////////// /////////////////////x

b) x + x− 6 > x – 1 (2)

Phương pháp :

Tập nghiệm của (II): T2 = ( ; + )73 ∞ Tập nghiệm của BPT (2) là: T = T1UT2 = (- ; -3]U( ; + ) ∞ 37 ∞

∞ Tập nghiệm của (I): T1 = (- ; -3 ]

1 ///////////////////2

-3 ///////////////////////

≥

⇔

x2 + x – 6 > x2 – 2x + 1

x 1

≥

x 1

⇔ x >

3 7

/////////////////////// 3

7

/////////////////////////////////////

⇔ x < 1

x -3 hay x 2≤ ≥

B < 0

A 0≥

A > B2

B 0≥

⇔ [

B

A >

Áp dụng BĐT sau:

0

TH 1: x - 1 < 0

(I) x2 + x - 6 ≥

≥

TH 2: x – 1 0

x2 + x – 6 > ( x – 1)2

(II)

c) 2

x 2 x

11 )

3 x

)(

1 x

( − + − > − 2 − (3) Nhận xét: (x-1)(x+3)= x2+2x-3 và –x2- 2x = -(x2+2x)

Phương pháp: Đặt ẩn phụ

Tập xác định của BPT (3): D = (- ;-3] [1 ; + )∞  ∞

⇔

(3) 2 (x−1)(x+ 3) > -x2 – 2x + 11 (*)

Đặt y = (x−1)(x+ 3) , y 0.≥ Khi đó: -x2 – 2x + 11= 8 - y2

⇔

(*) trở thành : 2y > 8 – y2 y2 + 2y – 8 > 0 ⇔ y < -4 hoặc y > 2

Do y 0 ≥ nên : y > 2

⇔

Từ đó: (x−1)(x+ 3) > 2 x2 + 2x – 3 > 4 ⇔ x2 +2x-7>0

⇔ x < − 1 − 2 2 hoặc x > − 1 + 2 2

So với tập xác định D ,ta có tập nghiệm của (3)

T = (- ; ) ( ; + )− 1 − 2 2 − 1 + 2 2