Bài soạn thi cấp tỉnh

Chào mư ìng quý thầy, cô giáo đến dư û giờ, thăm lớp!. Trư ờng THPT Quốc Học!... Tiết học:BÀI TẬP PHẲNG CHÙM MẶT PHẲNG... Bài tập 4Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’, cạnh a... Xác định gi

Chào mư ìng quý thầy,

cô giáo đến dư û giờ, thăm lớp!

Trư ờng THPT Quốc Học!

Tiết học:

BÀI TẬP

PHẲNG

CHÙM MẶT PHẲNG

KIẾN THỨC CƠ BẢN

CẦN NHỚ

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai mặt phẳng:

( α): Ax + By + Cz + D = 0 ; (β): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 (α) vă (β) cắt nhau

(α) ≡ (β)

1.Vị trí tương đối của hai mặt phẳng :

2 Mp (γ) thuộc chùm mp xâc định bởi hai mặt phẳng

cắt nhau (α); (β)

( λ2 + µ2 ≠ 0 )

' '

'

D C

C B

B A

A

≠

=

=

⇔

(α) // (β)

' '

'

D C

C B

B A

A

=

=

=

⇔

⇔ A:B:C ≠ A’:B’:C’

A:B:C =A’:B’:C’

A:B:C:D ≠ A’:B’:C’:D’

⇔

⇔ A:B:C:D = A’:B’:C’:D’

* Phương trình mp(γ) có dạng :

λ(Ax + By + Cz + D )+µ(A’x + B’y + C’z + D’)=0

* Cho ba mặt phẳng ( α1), ( α2) và ( α3), trong đó có

hai mặt phẳng phân biệt Điều kiện để ba mặt

phẳng đó cùng đi qua một đường thẳng là gì?

α1

α2

α3

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , vị trí tương đối của câc cặp mặt phẳng có pt sau đđy :

Luyện Tập

Tiết 42 Bài tập 1

1) (α): 3x + 2y – 4z + 5 = 0 vă (β) : 6x + 4y + 8z – 3 = 0 lă :

a) Cắt nhau b) Song song c) Trùng nhau

Vì

8

4 4

2 6

3 = ≠ −

2) (α): - x + 2y – 3z + 1 = 0 vă (β) : 2x – 4y + 6z – 2 = 0 lă:

Vì −21 = −24 = −63 = −12

3) (α): x + 4y –3 = 0 vă (β) : 3x + 12y + 1 = 0 lă:

Vì 13 = 124 = 00 ≠ −13 a) Cắt nhau b) Song song c) Trùng nhau

a) Cắt nhau b) Song song c) Trùng nhau

Cho 2 mp có phương trình :

Với giâ trị năo của m để hai mặt phẳng đó:

a/ Song song ? b/ Trùng nhau?

3

2 4

6 1

1 1

3

−

−

≠

−

=

+

=

−

m m

m m

⇔ m= 2

Hêy níu câch giải (*) ?

Với m = 2 ta có :

3

2 4

6 1

1 1

3

−

−

≠

−

=

+

=

−

m m

m m

Vậy (α) // (β) ⇔ m = 2

1

1 1

−

m m

m

m

−

=

+

4

6 1

2 -1 =3 -m2 +3m-2 =0

Bài tập 2

nín (*) được thỏa

3 =

= 0

GIẢI: α ≡ β ⇔ (**)

m

m

+

=

6 1

1 1

3

3

2

−

−

= m

Hêy níu câch giải (**) ?

m

m

+

=

6 1

1 1

3

3

2

=

−

−

m

Vì vậy (**) vô nghiệm Nín không tồn tại giâ trị m để (α) ≡ (β)

Từ kết quả cđu a) vă cđu b) hêy rút

ra kết luận cho cđu c) ? α vă β cắt nhau ⇔ m ≠ 2

Cho hai mặt phẳng có phương trình : (α):3x + (m + 1 )y + 6z + m – 2 = 0 (β) :(m-1) x + y + (4-m)z - 3 =0

Với giâ trị năo của m để hai mặt phẳng đó:

Bài tập 2

b/ Trùng

nhau ?

c/ Cắt nhau ?

d Vuông góc với nhau?

Điều kiện cần vă đủ để α ⊥

β ?

GIẢI :

(α) có vĩctơ phâp tuyến : nα= (3 ; m + 1; 6)

(β) có vĩctơ phâp tuyến : nβ = (m – 1; 1 ; 4 - m)

α ⊥ β ⇔ n n α β = 0 ⇔ 3(m – 1) + m +1 + 6(4 - m ) = 0

⇔ - 2m + 22 = 0

β

n α ⊥ n β ⇔ n α n 

α

n 

β

n 

Cho hai mặt phẳng có phương trình : (α):3x + (m + 1 )y + 6z + m – 2 = 0 (β) :(m-1) x + y + (4-m)z - 3 =0

Với giâ trị năo của m để hai mặt phẳng đó:

Bài tập 2

⇔ m = 11

Mặt phẳng (β1 ) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (α1) ;(α2)

b) Lập phương trình mặt phẳng (β2 ) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (α1) ; (α2) và vuông góc với mp (γ) : 2x – z + 7 = 0 ?

Bài tập 3 :

Cho hai mặt phẳng (α1): y + 2z – 4 = 0 và (α2) : x + y – z – 2 = 0

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz

a) Lập phương trình mặt phẳng (β1 ) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (α1) ; (α2) và song song với mp (α3): x + y + z – 2 = 0

GIẢI :

Nên phương trình có dạng :

λ( y +2z – 4 ) +µ( x + y – z – 2 ) = 0 ( λ2 + µ2 ≠ 0 ) ⇔ µx + (λ + µ )y +(2λ - µ )z - 4λ - 2µ = 0 (**)

Dựa vào điều kiện nào để tìm λ và µ ? (β1 ) // (α3) ⇔ ?

⇔ λ = µ = 0 ( không thỏa điều kiện λ2 + µ2 ≠ 0 ) Vậy không tồn tại mặt phẳng (β1) thỏa yêu cầu bài toán

µ = λ + µ

µ = 2λ - µ 2

2

4 1

2 1

−

−

≠

−

=

+

µ

Phương trình mặt phẳng (β2 ) có dạng :

µx + (λ + µ )y +(2λ - µ )z - 4λ - 2µ = 0 (*) ( λ2 + µ2 ≠ 0 )

(β2 ) có véc tơ pháp tuyến = ( n  µ ; λ + µ ; 2λ -µ )

β2

(γ) có véc tơ pháp tuyến = ( 2 ; 0 ; -1 ) n γ

(β2 ) ⊥ (γ) ⇔

⇔ 2µ + 0 (λ + µ ) – 1 (2λ - µ ) = 0

⇔ 3µ - 2λ = 0 (1) Trong (1) ta chọn µ = 2 ⇒ λ = 3

Vậy : Phương trình mặt phẳng (β2 ) có dạng:

2x + 5y + 4z – 16 = 0

Bài tập 3 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz

Cho hai mặt phẳng (α1): y + 2z – 4 = 0 và (α2) : x + y – z – 2 = 0 b) Lập phương trình mặt phẳng (β2 ) đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng (α1) ; (α2) và vuông góc với mp (γ) : 2x – z + 7 = 0 ?

GIẢI :

0

2 γ =

β n

n  

Hãy tóm tắt phương pháp giải bài toán lập phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng cho trước và thỏa điều kiện (*) nào đó?

Bước 1 : Lập phương trình chùm dạng :

λ(Ax + By + Cz + D )+µ(A’x + B’y + C’z + D’)=0 (**) Bước 2 :

Bước 3 :

Bằng cách thay đổi điều kiện (*), hãy phát biểu một số bài toán tương tự bài tập 3a, 3b ? Nêu phương pháp giải?

Sử dụng điều kiện (*) lập một phương trình theo λ và µ Sau đó chọn λ tính µ hoặc ngược lại

Thay vào (**) để có phương trình mặt phẳng cần lập

Bài tập 3 : c)Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz

Cho ba mặt phẳng (α1): y + 2z – 4 = 0 ; (α2) : x + y – z – 2 = 0

và (α4): 5x + my + 5z + n = 0

Xác định giá trị m và n để ba mặt phẳng trên cùng đi qua một

đường thẳng?

-> Nêu phương hướng giải bài toán trên

GIẢI: Phương trình một mặt phẳng thuộc chùm mặt phẳng xác định

bởi (α1) và (α2) có dạng:

(β): µx + (λ + µ )y +(2λ - µ )z - 4λ - 2µ = 0 (**) ( λ2 + µ2 ≠ 0 )

Điều kiện để (α4 ) thuộc chùm mặt phẳng xác định bởi (α1 ) và (α2 )?

( α4) ≡ (β)

Chọn λ =

1,



µ λ µ= + = λ µ − = − − λ µ



2

5

5

m n

µ λ µ

−





+





− −

 =



6 5

m n

λ µ



 =





−

 =



?

ta c o ï: m = 10 ; n = - 30

Bài tập 4

Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’, cạnh a

Bằng phương pháp toạ độ, hãy chứng minh rằng::

mặt phẳng (DBA’) song song với mặt phẳng (CB’D’)

Ta nên chọn hệ trục toạ độ Đề các vuông góc như thế nào cho hợp

lí nhất?

-> Nêu phương pháp chứng minh?

GIẢI:

Khi đó: D (0;0;0)

B (a;a;0) A’(a;0;a)

C (0;a;0) B’(a;a;a) D’(0;0;a)

A

B

C D

A’

B’

y x

z

Chọn hệ trục toạ độ Đề các vuông góc Dxyz; gốc D sao cho lần lượt cùng hướng vectơ đơn vị của các trục Dx, Dy, Dz

' ,

, DA DD DC

* Lập phương trình mặt phẳng (DBA’)

cặp vectơ chỉ phương của

mp (DBA’)

Là vectơ pháp tuyến của mp(DBA’)

=> Phương trình mp (BDA’) : x – y – z = 0 (1)

* Lập phương trình mp(CB’D’)

cặp vectơ chỉ phương của

mp (CB’D’)

Là vectơ pháp tuyến của mp (CB’D’)

=> mp (CB’D’) : x – y – z + a = 0 (2)

Từ (1) và (2) suy

ra điều phải chứng minh.

A

B

C D

A’

B’

y x

z

[ (' , 0 , ] )

) 0 , , (

a a

DA

a a DB

)

;

; ( '

, DA a2 a2 a2

DB = − −

[ D ' B ,' D ' C ] = ( − a2; a2; a2)

) ,

, 0 ( '

) 0 , , (' '

a a

C D

a a B D

−

Xin chân thành cảm

ơn quý thầy cô cùng các em đã tham dự tiết học!

Huế, 03/2004

Cho ba mặt phẳng (α1): y + 2z – 4 = 0 ; (α2) : x + y – z – 2 = 0

và ( α4): 5x + my + 5z + n = 0

c Xác định giá trị m và n để ba mặt phẳng trên cùng đi qua

một đường thẳng?

Bài tập 3

GIẢI:

* Chọn hai điểm chung của mp(α1) và

mp(α2):

Cho y = 0 suy ra x = 4; z = 2

A(4;0;2) ∈ (α1) ∩ (α2)

Cho z = 0 suy ra x = -2; y = 4

B(-2;4;0) ∈ (α1) ∩ (α2)

=> AB = (α1) ∩ (α2)

(α4) đi qua giao tuyến của (α1) và (α2)  (α4) qua A; B







=

−

=

⇔







= +

+

−

= +

+

10

30 0

4 10

0 10

20

m

n n

m n