ứng dụng của tích phân

CHƯƠNG III : NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG §3 : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC... Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành :Giả sử hàm số y = fx liên tục , nhận giá

CHƯƠNG III : NGUYÊN HÀM

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

§3 : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

I - TÍNH DiỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

HOẠT ĐỘNG 1 :

Hãy tắnh diện tắch hình thang vuông giới hạn bởi các

đường thẳng : y = Ờ 2x Ờ 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5

S1=SABCD= (AD+BC)xAB/2 = 28

Ở Hđ1 bài 2 ta đã tắnh diện tắch S của hình thang

vuông giới hạn bởi các đường thẳng :

y = 2x + 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5.

y = Ờ 2

x Ờ 1

y = 2

x + 1

S

S1

Các em hãy so sánh diện tắch hai

hình S và S1, cho nhận xét.

28 )

1 2

(

: viêt có

nên ta

28 2

30 )

1 2

(

: đó khi

trong

28 2

30 )

1 2

(

:

có

Ta

5

5 1 2

5

1

5 1 2

5

1

= +

=

=

−

= +

−

=

−

−

=

−

−

=

−

= +

= +

=

∫

∫

∫

dx x

S S

x x

dx x

x x

dx x

S

1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành :

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục , nhận giá trị không âm trên đoạn [a ; b]

y

A

B

Được biết cách tính diện tích hình thang cong y

= f(x) ; trục hoành và x = a , x = b

( ) ( ) 1

b

a

Trường hợp f (x) âm trên đoạn [a ; b] Thì - f(x) > 0

và diện tích hình thang cong aABb bằng diện tích hình thang cong

B’

A’

aA’B’b là hình đối xứng của hình thang đã cho qua trục hoành Do đó :

a

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b ( hình vẽ bên)

y

y = f(x)

( )

∫b

a

Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = x3 , trục

Giải :

Ta có x 3 < 0 trên đoạn [- 1 ; 0]

x 3 ≥ 0 trên đoạn [ 0 ; 2 ]

Áp dụng công thức có :

2 3

1

−

−

−

17 4

=

2 Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong :

Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên đoạn [a ; b] Gọi D là hình phẳng

giới hạn bởi đồ thị hai hàm số đó và các đường x = a ; x = b

y

y = f1(x)

y = f2(x)

D

Xét trường hợp f1(x) ≥ f2(x) với mọi x ∈ [a ; b]

Gọi S1 , S2 là diện tích hai hình thang cong giới hạn bởi trục hoành , x = a , x = b và các đường cong y = f1(x) , y = f2(x) tương ứng

Khi đó diện tích D sẽ là :

( ) ( )

a

phân Ta phải giải phương trình : f1(x) – f2(x) trên đoạn [a ; b] Giả sử có 2 nghiệm c

< d Khi đó f1(x) – f2(x) không đổi dấu trên các đoạn [a ; c] ; [c ; d] ; [d ; b] Ví dụ trên [a ; c] thì :

( ) ( ) ( ( ) ( ) )

Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = cos x ; y

Giải :

Đặt f1 (x) = cos x ; f2 (x) = sin x

Ta có : f1 (x) - f2 (x) = cosx - sin x = 0

4

⇔ = ⇒ ∈ x [ 0; π ] Vậy diện tích hình phẳng đã cho là :

0

π

/ 4

π

/ 4

π

π

2 2

=

Ví dụ 3 : Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong

y = x3 – x và y = x – x2

Giải :

Ta có : f1 (x) - f2 (x) = (x3 – x) – (x – x2 ) = 0 ⇔ x3 + x2 − 2 x = ⇔ = − 0 x1 2; x2 = 0; x3 = 1

Vậy diện tích hình phẳng đã cho là :

1

2

2

−

−

−

−

II - TÍNH THỂ TÍCH

Hoạt động 2

Nhắc lại công thức tính thể tích hình lăng trụ có diện tích đáy bằng B , đường cao h ?

V = B h

1 Thể tích của vật thể :

Cho một vật thể (Hình vẽ)

Cắt vật thể bởi hai mặt phẳng

(P) và (Q) vuông góc với trục

Ox lần lượt tại x = a và x = b (

a < b)

Một mặt phẳng tùy ý vuông

góc với Ox tại điểm x

( a ≤ x ≤ b) , cắt hình đã cho

theo thiết diện có diện tích

S(x)

x

S(x)

Giả sử S(x) liên tục trên

đoạn [a ; b]

Người ta đã chứng minh được : Thể tích V của phần vật thể trên giới hạn bởi hai mặt phẳng (P)

và (Q) được tính bởi công thức :

( )

∫b

a

Ví dụ 4 : Tính thể tích khối lăng trụ , biết diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h

Giải :

O

x

h

Chọn trục Ox song song đường cao của khối

lăng trụ , còn hai đáy nằm trong hai mặt phẳng

vuông góc với Ox tại x = 0 và x = h

Cho mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox cắt

lăng trụ theo thiết diện có diện tích không đổi

bằng B ( S(x) = B với 0 ≤ x ≤ h )

x

S(x) = B

Áp dụng công thức (5) có :

( )

0

h

2 Thể tích khối chóp và khối chóp cụt :

a) Cho khối chóp có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B

Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy tại điểm I

B

O

x

I

sao cho điểm O trùng với đỉnh của khối chóp và

hướng xác định bởi véc tơ OI uur

h

Lúc đó OI = h

Một mặt phẳng (α) vuông góc với Ox tại x

( 0 ≤ x ≤ h) cắt khối chóp theo thiết diện có

x

S(x)

Ta có :

( ) x22

h

=

Và thể tích V của khối chóp là :

2 2 0

.

h

x

h

= ∫

3 2

0

3

h

h

3

Bh

=

2 Thể tích khối chóp và khối chóp cụt :

b) Cho khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S , có diện tích đáy là B , B’ và đường cao h Chọn trục Ox vuông góc với mặt phẳng đáy lớn

(P) tại điểm I Mp đáy nhỏ (Q) tại I’

B

S ≡ O

I

Đặt đỉnh S trùng với O OI = b ; OI’ = a ( a < b)

h

Gọi V là thể tích khối chóp cụt , ta có :

Q

I’

B’

2 2

.

b

a

x

b

= ∫

( 3 3)

2

3

B

b

2

3

B

b

=

P

Vì :

2

2

b

= và h = b – a

3

h

III - THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

Bài toán :

Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ

thị hàm số y = f(x) , trục Ox và hai đường

thẳng x = a , x = b ( a < b) , quay xung quanh

trục Ox tạo thành một khối tròn xoay

x

Hãy tính thể tích V của nó

Giải :

Thiết diện của khối tròn xoay trên tạo bởi mặt

phẳng vuông góc với trục Ox tại x (a ≤ x ≤ b) là

hình tròn

O

y

y = f(x)

có bán kình : |f(x)|

Nên diện tích thiết diện là : S(x) = π f 2(x)

Vậy theo công thức (5) có :

( )

a

Ví dụ 5 : Cho hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = sin x , trục hoành và hai

hình này xung quanh trục Ox

Giải :

O

y

y = sinx

π

Áp dụng công thức (6) có :

2

0

sin

π

π

0

1 cos 2

π

π

0

1 sin 2

π

2

2

π

=

Ví dụ 6 : Tính thể tích hình cầu bán kính R

O

y

x

Giải :

Hình cầu bán kính R là khối tròn thu

được khi quay nửa hình tròn giới hạn

bởi đường y = R2 − x2

( - R ≤ x ≤ R ) , và đường thẳng y = 0

xung quanh trục Ox

R

R

−

( 2 2)

R

R

π

−

3 2

3

R

R

x

R x

π

−

3

4

=

Củng cố: Cho (C) : y = f(x) ; các em hãy viết công thức

tính diện tích các hình phẳng sau (không còn dấu trị

tuyệt đối)

f(x)dx [-f(x)]dx

f(x)dx [-f(x)]dx

S .

)]

( [

) (

c b

b 2

2 a

a 0

5 1 2 5

1

−

−

dx x f S

dx x f

S

Cho hai đường cong (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x); các

em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng

sau (không còn dấu trị tuyệt đối)

y =

f (x )

y =

y =

f (x )

)]

( )

( [ )]

( )

( [

)]

( )

(

[

∫

a

a b

a

dx x

g x

f x

f x

g S

dx x

g x

f S

THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

O

y

y = f(x)

( )

π ∫b 2 a