phương trình mũ và phương trình logarit

TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNGPHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT... I - PHƯƠNG TRÌNH MŨBài toán : Một người gửi tiền tiết kiệm với lãi suất 8,4 % năm và lãi hàng năm được nhập v

TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG ĐÀ NẴNG

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH

LOGARIT

I - PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Bài toán : Một người gửi tiền tiết kiệm với lãi suất 8,4 % năm và lãi hàng năm được nhập vào

vốn Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền ban đầu

Giải : Gọi số tiền gửi ban đầu là P Sau n năm , số tiền thu được là :

( 1 0, 084 ) n 1, 084 ( )n

n

P = P + = P

Để Pn = 2P ta phải có : ( 1, 084 )n = 2 ⇒ = n log1,084 2 ≈ 8, 59

Vì n ∈ N* nên chọn n = 9 (năm) :

Những bài toán như trên đưa đến giải các phương trình có chứa ẩn số ở số mũ của lũy thứa

Ta gọi đó là các phương trình mũ

x x

x

 

1 Phương trình mũ cơ bản :

Phương trình mũ cơ bản có dạng : ax = b ( a > 0 ; a ≠ 1)

Để giải phương trình trên ta sử dụng định nghĩa lôgarit :

• Với b > 0 , ta có ax = b ⇔ x = loga b

• Với b ≤ 0 , phương trình vô nghiệm

click

Minh họa bằng đồ thị :

Đồ thị :

0 log

a b

1 b

x

y y = a x ( a > 1) Đồ thị :

0 logab

1 b

x

y

y = a x ( 0<a <1)

y = b

y = b

Hoành độ giao điểm của đồ thị y = ax và y = b là nghiệm của phương trình : ax = b

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị

Trên đồ thị với b ≤ 0 thì 2 đồ thị không cắt nhau nên phương trình vô nghiệm

với b > 0 thì 2 đồ thị luôn cắt nhau taị một điểm inên phương trình có nghiệm duy nhất

Kết luận :

Phương trình a x = b ( a > 0 ; a ≠ 1)

Ví dụ 1 : Giải phương trình 22x−1 + 4x+1 = 5

Giải : Đưa vế trái về cùng cơ số 4 có : 1

2

4

9

log

9

x =

2 Cách giải một số phương trình mũ đơn giản :

Người ta thường dùng một số phương pháp sau :

a) Đưa về cùng cơ số :

Giải phương trình 62x - 3 = 1 bằng cách đưa về dạng aA(x) = aB(x) và giải : A(x) = B(x)

Có 62x - 1 = 1 = 60 ⇔ 2x - 1 = 0 ⇔ x = 1/2

Ví dụ 2 : Giải phương trình ( )5 7 2 1

1, 5

3

x

−  

=  ÷  

Giải : Đưa 2 vế về cùng cơ số :

  =  

    ⇔ 5 x − = − − ⇔ = 7 x 1 x 1

b) Đặt ẩn phụ :

Ví dụ 3 : Giải phương trình 9x − 4.3x − 45 = 0

Giải : Đặt t = 3x > 0 , ta có : t2 −4t −45 = 0 9

5

t t

=



⇔  = − ⇒Loại vì t > 03x = ⇔ =9 x 2

Giải phương trình 1 2

3

x + x = Bằng cách đặt ẩn phụ : t = 5x Học sinh giải tại lớp click

c) lôgarit hóa :

Ví dụ 4 : Giải phương trình 2

3 2x x = 1

Giải : Lấy lôgarit hai vế với cơ số 3 ( còn gọi là lôgarit hóa) , có

3

x x

(1 log 23 ) 0

2 3

0

1

log 3 log 2

x x

=







Ví dụ trắc nghiệm :

Số nghiệm của phương trình 22x2− 7x+ 5 = 1 Là :

click

II- PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit

2

log x = 4 ; log x − 2.log x + = 1 0

1 Phương trình lôgarit cơ bản :

log

4

x =

Theo định nghĩa lôgarit có :

1 4 4

x = = Vậy phương trình lôgarit cơ bản có dạng : loga x = b ( a > 0; a ≠ 1 )

a x = ⇔ = b x a

Minh họa bằng đồ thị :

Đồ thị :

0 1 ab

b

x

y y = logax ( a > 1) Đồ thị :

0 ab 1

b

x y

y = logax ( 0<a <1)

Hai đồ thị này luôn cắt nhau tại một điểm với mọi b thuộc R ⇒ Phương trình luôn có x = ab

click

2 Cách giải một số phương trình lôgarit đơn giản :

a) Đưa về cùng cơ số :

Giải phương trình log3 x + log9 x = 6 Hãy đưa các lôgarit ở vế trái về cùng cơ số

1 log log 6 log log 6

2

4

3

Ví dụ 5 : Giải phương trình : log3x + log9x + log27 x = 11

Giải : Đưa các số vế trái cùng cơ số 3 , ta có : 3 2 3

3 3

log x + log x +log x =11

log log log 11

3

log x 6 x 3 729

b) Đặt ẩn phụ :

Giải phương trình log22 x −3.log2 x − =2 0 Bằng cách đặt ẩn phụ t = log2 x Hs tự giải

Ví dụ 6 : Giải phương trình :

Giải :

1

Điều kiện của phương trình : x > 0 ; log x ≠ {5 ; - 1} Đặt t = log x có : 1 2

1

5 t +1 t =

1 t 2 5 t 5 t 1 t

3 log

= =



10 10

x x

 =

⇔ 

=



2 log x +log x − =2 0 Bằng cách đặt ẩn phụ t = log2 x

c) Mũ hóa :

Ví dụ 7 : Giải phương trình : log2 ( 5 2− x ) = −2 x

Giải : Điều kiện của phương trình : 5 – 2x > 0 ⇔ 0 < 2x < 5

Vậy có : 22 −x = −5 2x (Đay được gọi là phép mũ hóa )

2

4

5 2 2 5.2 4 0 2

x

5 4 0

4 2

x x

t

t

 = =

= =



0 2

x x

=



Ví dụ bằng trắc nghiệm :

Nghiệm của phương trình : 10 log 9 = 8x + 5 là :

A 0 B 1/2 C 5/8 D 7/4

III - Bài tập về nhà : Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 trang 84 – 85 sách giáo khoa GT12 - 2008 click