bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN1... Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng fx < gx fx  gx 1 Trong đó fx và gx là những biểu thức của x Ta gọi fx và gx lần lượt là vế trái

BÀI 2

I KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

1 Bất phương trình một ẩn

Cho một ví dụ về bất phương trình một ẩn, chỉ rõ vế trái, vế phải của bpt

3x > 3, Vế trái là 3x , vế phải là 3

- 2x  5 , Vế trái là – 2x , vế phải là 5

Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f(x) < g(x) (f(x)  g(x)) (1)

Trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x

Ta gọi f(x) và g(x) lần lượt là vế trái và vế phải của bpt (1) Số thực x0 sao cho f(x0) < g(x0) (f(x0) 

g(x0)) là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bpt (1)

Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bpt vô nghiệm

Chú ý: bpt (1) cũng có thể viết theo dạng f(x) > g(x) (f(x)  g(x))

Hđ2 : Cho bpt 2x  3

a) Trong các số - 2 ; ;  ; số nào là

nghiệm, số nào ko phải là nghiệm của bpt trên?2

1

Giải

a)số - 2 là nghiệm b) 2x  3  x  3/2



0 3/2///////////////

b) Giải bpt

và biểu diễn

tập nghiệm

trên trục số

2 Điều kiện của một bất phương trình

Ta gọi các điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x)

có nghĩa là điều kiện xác định (hay điều kiện) của bất phương trình (1)

Ví dụ: Điều kiện của bpt 3  x  x  1  x2

là 3 – x  0 và x + 1 0

Tìm điều

kiện của bpt

1 1

2 2







x

x x

ĐK: 3x – 2  0 và x – 1 > 0

3 Bất phương trình chứa tham số

Trong một bất phương trình , ngoài các chữ đóng vai trò là tham số còn có các chữ khác được xem nhu những hằng số được gọi là tham số

VD: (2m – 1)x + 3 < 0

x2 – mx + 1  0

Có thể được coi là những bpt ẩn x tham số m

II HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Ví dụ 1 Giải hệ bất phương trình















0 1

0

3

x

x

Giải: 3 – x  0  3  x

x + 1  0  x  -1

 -1 ////////////

 3///////////

Giao của hai tập hợp trên là đoạn - 1; 3

Vậy tập nghiệm của hệ là - 1; 3 hay – 1  x  3

Giải hệ bất

phương













0 1

0 2

3

x x

Giải 3x – 2  0  x  2/3

x – 1 > 0  x > 1

2/3



////////////

( 1 ////////////////////////////

Nghiệm của hệ là x > 1

III MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1 Bất phương trình tương đương

Hđ3:

Hai bất

phương trình

trong ví dụ

(1) có tương

đương hay

không ? Vì

sao?

Hai bất phương trình không tương đương vì

chúng có tập nghiệm

khác nhau

Hai bất phương trình tương đương là hai bất

phương trình có cùng tập nghiệm

2 Phép biến đổi tương đương

1

3 0

1

0

3





































x x

x x

x

1 1

3 /

2 0

1

0 2

3































x x

x x

x

3 Cộng (trừ)

Cộng (trừ) hai vế của bpt mà không làm thay đổi

điều kiện của bpt ta được một bpt tương đương

P(x) < Q(x)  P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)

Ví dụ 2. Giải bất phương trình

(x + 2)(2x – 1) – 2  x 2 + (x – 1)(x + 3)

Giải: (x + 2)(2x – 1) – 2  x2 + (x – 1)(x + 3)

 2x 2 + 4x – x – 2 – 2  x 2 + x 2 – x + 3x – 3

 2x 2 + 3x – 4  2x 2 + 2x – 3

 2x 2 + 3x – 4 – (2x 2 + 2x – 3)  0

 x – 1  0  x  1 Vậy tập nghiệm bpt là (- ;1]

4 Nhân (chia)

P(x) < Q(x)  P(x).f(x) < Q(x) f(x) nếu f(x) > 0, x P(x) < Q(x)  P(x).f(x) > Q(x) f(x) nếu f(x) < 0, x

Giải bpt

1 2

1

2

2 2

2













x

x

x x

x x

Giải:

Bpt  (x2 + x + 1)(x2 + 1) > (x2 + x)(x2 + 2)

x4 + x3 + 2x2 + x + 1 > x4 + x3 + 2x2 + 2x

 x4 + x3 + 2x2 + x + 1 – x4 – x3 – 2x2 – 2x > 0

 - x + 1 > 0  x < 1 Vậy nghiệm của bpt là x < 1

5 Bình phương

Bình phương hai vế của một bpt có hai vế không âm

mà không làm thay đổi điều kiện của nó ta được

một bpt tương đương

P(x) < Q(x)  P 2 (x) < Q 2 (x) nếu P(x)  0, Q(x)  0, x

Ví dụ:

Giải bất phương trình

3 2

2

2









x

Hai vế của bpt dương x, bình phương hai vế ta được

2

2

x

4 1

1 4

3 2

2

2





















x

x

x x

x x

Vậy nghiệm của bpt là x > 1/4

Ví dụ Giải bất phương trình

6

3 3

4 4

1 4

3 2











Giải: Điều kiện: 3 – x  0  x  3

Bpt 

2

3 3

2 4

1 2

3 4













3

1 0

3 1

0 2

3 3

2 4

1 2

3 4

5





























x x

x x

x x

Kết hợp với đk ta được nghiệm bpt là 1/3 < x  3