Phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit

Đặc biệt các phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit là một nội dung hay nhưng cũng khá khó ñối với học sinh và thường xuất hiện trong các ñề thi ñại học, thi học sinh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

PHYLABOUD INPANH

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số : 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2012

Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS.NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 1: TS Cao Văn Nuôi

Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Gia Định

Luận văn sẽ ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ toán học họp tại Đại học Đà Nẵng, vào ngày… tháng …… năm ……

Có thể tìm hiểu tại:

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn ñề tài:

Phương trình, bất phương trình là một trong những nội dung

cơ bản và quan trọng của chương trình toán bậc trung học phổ thông

Đặc biệt các phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số

lôgarit là một nội dung hay nhưng cũng khá khó ñối với học sinh và

thường xuất hiện trong các ñề thi ñại học, thi học sinh giỏi

Hiện nay, Nước cộng hòa Dân chủ Nhân dân (CHDCND)

Lào ñang ñặc biệt quan tâm phát triển nền giáo dục Trong chương

trình môn toán bậc trung học phổ thông của nước CHDCND Lào, nội

dung phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit ñược ñưa vào giảng

dạy từ lớp 10 Tuy nhiên các tài liệu phục vụ cho học tập và giảng

dạy về phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit

chưa nhiều Là một sinh viên Lào, với mục ñích tìm hiểu các phương

pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số

lôgarit và hệ thống một số lớp bài toán thuộc dạng này, tôi chọn ñề

tài luận văn thạc sĩ của mình là "phương trình, bất phương trình hàm

số mũ và hàm số lôgarit"

2 Mục ñích và nhiệm vụ nghiên cứu:

- Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số

mũ và hàm số lôgarit

- Hệ thống một số lớp bài toán về phương trình, bất phương

trình hàm số mũ và hàm số lôgarit

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

- Các phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số

lôgarit

- Các bài toán về phương trình, bất phương trình hàm số mũ và hàm số lôgarit thuộc chương trình phổ thông trung học

4 Phương pháp nghiên cứu:

- Thu thập, phân tích, khảo sát, tổng hợp các tài liệu, sách giáo

khoa, có liên quan ñến phương trình, bất phương trình hàm số mũ, hàm số lôgarit

- Trao ñổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn ñể thực hiện ñề tài

5 Cấu trúc của luận văn:

Nội dung của luận văn ñược chia thành 3 chương Chương 1 Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chương này nhắc lại một cách sơ lượt hàm số mũ, hàm số lôgarit cùng những tính chất của chúng Các chi tiết liên quan có thể xem trong các tài liệu

Chương2 Phương trình, bất phương trình hàm số mũ Chương này trình bài một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ cùng một số thí dụ minh họa

Chương3 Phương trình, bất phương trình hàm số lôgarit Chương này trình bài một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số lôgarit cùng một số thí dụ minh họa

CHƯƠNG 1 HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

Chương này nhắc lại một cách sơ lượt hàm số mũ, hàm số

lôgarit cùng những tính chất của chúng Các chi tiết liên quan có thể

xem trong các tài liệu [1], [4], [5] và [9]

1.1 Hàm số mũ

1.1.1 Định nghĩa

Hàm số xác ñịnh bởi công thức = x

y a , trong ñó a là một số

dương khác 1, ñược gọi là hàm số mũ cơ số a

Số 0< ≠a 1 gọi là cơ số của hàm số mũ

Miền xác ñịnh của hàm số mũ là toàn bộ trục số, tức là khoảng

(−∞ + ∞, )

1.1.2 Tính chất của hàm số mũ

a) Hàm số = x

y a liên tục tại mọi ñiểm x=x0 b) Miền giá trị của hàm số = x

y a là (0,+ ∞) c) Hàm số y=a x tăng khi a>1 và giảm khi 0< <a 1

1.1.3 Bảng biến thiên và ñồ thị của hàm số mũ

Bảng biến thiên của hàm số mũ

a>1 0< <a 1

+∞ +∞

1

Đồ thị của hàm số mũ Bảng biến thiên ở trên cho ta hình dạng tổng quát của ñồ thị hàm số mũ trong hai trường hợp a>1 và 0< <a 1

Đồ thị hàm số = x

y a với a>1 Đồ thị hàm số = x

y a với 0< <a 1

1.1.4 Mệnh ñề Cho , a b là hai số thực dương khác 1, và ,x y là những số thực

tùy ý Ta có a) x y = x y+

b) x = x y−

y

a

a a

c) ( )x y = xy

d) ( )x = x x

e)  

=

 

 

x

f) Nếu a>1, thì x> y ⇔ x > y

g) Nếu 0< <a 1, thì x> y ⇔ x < y

h) x = y

a a ⇔ x= y

i) Nếu 0< <b a, thì

x>0 ⇔ b x <a x

x<0 ⇔ x> x

1.2 Hàm số lôgarit

1.2.1 Định nghĩa

Cho số a>0 và a ≠1 Lôgarit cơ số a của số b>0 là một

số c mà lũy thừa của a với số mũ c thì bằng b Ký hiệu lôgarit cơ

số a của b là log a b

Vậy c=loga b ⇔ a c =b

1.2.2 Định nghĩa

Cho số a >0 và a ≠1 Ta ñã biết hàm số mũ = x

y a là một hàm số ñơn ñiệu xác ñịnh trên toàn bộ tập số thực, tức là khoảng

(−∞ + ∞, ) và có tập giá trị là (0,+ ∞) Do ñó nó có hàm số ngược, xác ñịnh trên khoảng (0,+ ∞) và có tập giá trị là (−∞ +∞, )

Để tìm công thức của hàm số ngược này ta xuất phát từ công thức của hàm số mũ = x

y a , rồi biểu thị x qua y Theo ñịnh nghĩa

của lôgarit, ta có

x=loga y

Thay thế các kí hiệu của x và y cho nhau, ta ñược hàm số

log

y x là hàm số ngược của hàm số mũ y=a x Hàm số ngược

này ñược gọi là hàm số lôgarit cơ số a Như vậy ta có ñịnh nghĩa sau

Cho số a >0, a ≠1, hàm số lôgarit theo cơ số a xác ñịnh với mọi giá trị dương của biến số x và cho bởi công thức

y=loga x

1.2.3 Tính chất của hàm số lôgarit

Căn cứ vào các tính chất của hàm số mũ = x

y a và từ chỗ hàm

số y =loga x là hàm số ngược của hàm số = x

y a , ta suy ra các tính chất sau ñây của hàm số lôgarit

a) Hàm số y=loga x (x >0,a≠1) là hàm số xác ñịnh và liên tục tại mọi ñiểm x0 >0, và khi x=1 thì y =0

b) Miền giá trị của hàm số y=loga x là (−∞ + ∞, )

c) Khi a>1 hàm số y =loga x là một hàm số tăng, còn khi

0< <a 1 hàm số y=loga x giảm

x x

1

>

y

y

1.2.4 Bảng biến thiên và ñồ thị của hàm số lôgarit

Bảng biến thiên của hàm số y=loga x

a>1 0< <a 1

log

Đồ thị của hàm số y=loga x

Bảng biến thiên ở trên cho ta hình dạng tổng quát của ñồ thị

hàm số lôgarit trong hai trườnghợp a>1 và 0< <a 1

1.2.5 Định nghĩa Lôgarit cơ số 10 của một số dương x ñược gọi

là lôgarit thập phân của x và ký hiệu là log x hoặc lg x

1.2.6 Số e và lôgarit tự nhiên

Ta biết số e là lim 1 1

→∞

+

x

x x , e≈2,718281

Lôgarit cơ số e của một số dương x ñược gọi là lôgarit tự nhiên ( hay lôgarit Nê – pe) của số x , và ký hiệu ln x

1.2.7 Tính chất của lôgarit

a) Một số công thức cơ bản Với 0< ≠a 1, ta có log 1a = 0, loga a = 1 log b =

a a b , b∀ ∈

loga b =

a b, ∀ >b 0 Với 0< ≠a 1, và ,b c >0, ta có loga( )bc = loga b+loga c log   log log

 

 

b

loga bα = αloga b

logb c = logb a

a c , b≠1, c≠1 Khi a >1 thì loga b>loga c ⇔ b >c

Khi 0< <a 1 thì loga b>loga c ⇔ b<c

loga b = loga c ⇔ b = c

b) Công thức ñổi cơ số

Với ,a b là 2 số dương khác 1, và c là một số dương, ta có

(loga b)(logb c) = loga c

(loga b)(logb a) =1

log α 1log

α

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

HÀM SỐ MŨ

Chương này trình bày một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số mũ cùng một số thí dụ minh họa

2.1 Phương pháp giải phương trình hàm số mũ

2.1.1 Phương pháp ñưa về cùng một cơ số

( ) ( )

0, 1







a a ⇔ f x( ) = g x( )

a) Quy trình của phương pháp Bước 1: Đặt ñiều kiện (nếu có) ñể phương trình ñược xác ñịnh Bước 2 : Biến ñổi các hàm số mũ có trong phương trình về cùng một cơ số

Bước 3 : Sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm số mũ ñể giải

b) Thí dụ minh họa: Giải phương trình sau

32 0, 25.128

Bước 1: Điều kiện của phương trình: x≠3,x ≠7

Bước 2 : Phương trình ⇔

5 5 7 17

2

−

⇔

( ) 5 125

3

5 5 7

+

−

+

− =

x x x

x

Bước 3 : Phương trình ⇔ 5( 5) 5 125

=

⇔ 5(x+5)(x−3) = 5(x+25)(x−7)

⇔ 16x−160 = 0

⇔ x = 10 thỏa ñiều kiện

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x =10

2.1.2 Phương pháp lôgarit hóa

( )







f x

a

a) Quy trình của phương pháp

Bước 1: Đặt ñiều kiện ( nếu có ) ñể phương trình ñược xác

ñịnh

Bước 2 : Biến ñổi phương trình về dạng f x( ) =

a b hoặc

( ) = ( )

a b Lấy lôgarit hai vế, tách ẩn số ra khỏi số mũ của hàm lũy

thừa

Bước 3 : Giải phương trình thu ñược

b) Thí dụ minh họa: Giải phương trình sau

2 x 3 x−1 5 x+1 = 40

Bước 1: Điều kiện của phương trình: x≥ 0

Bước 2 : Phương trình 2 1 3 5 5 40

3

2 3 5 3 40

5

log 30 log 24

x

⇔ x = log 2430

Bước 3 : Phương trình ⇔ x = log 24230 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=log 24302

2.1.3 Phương pháp ñặt ẩn phụ

Khi trong phương trình hàm số mũ có các số hạng, hoặc các biểu thức có quan hệ với nhau, chẳng hạn như: giống nhau, ñối nhau, lượng liên hiệp nhau, nghịch ñảo nhau thì người ta thường ñặt ẩn phụ ñể giải, và gọi là giải phương trình bằng phương pháp ñặt ẩn phụ

a) Quy trình của phương pháp Bước 1: Đặt ñiều kiện (nếu có) ñể phương trình ñược xác ñịnh Bước 2 : Biến ñổi phương trình ñể làm xuất hiện ẩn phụ Chọn

ẩn phụ, ñặt ñiều kiện cho ẩn phụ, biểu diễn phương trình qua ẩn phụ

Bước 3 : Giải phương trình theo ẩn phụ Thay giá trị của ẩn phụ vừa tìm ñược rồi giải phương trình theo ẩn chính ban ñầu b) Thí dụ minh họa: Giải phương trình sau

4x− 2.6x = 3.9x

Bước 1: Phương trình xác ñịnh với mọi x

Bước 2 : Chia 2 vế của phương trình cho 4x, ta ñược

1 2 6 3 9

2

Đặt 3

2

 

 

x

t , ñiều kiện t>0, phương trình trở thành

3t2+ − =2t 1 0

Bước 3 : Phương trình

= 1 loại 1

3

t t

−





=



3

2

log

x

Vậy phương trình cĩ nghiệm 3

2

1 log 3

 

 

2.2 Phương pháp giải bất phương trình hàm số mũ

Phương pháp giải bất phương trình hàm số mũ cũng tương tự

như giải phương trình hàm số mũ

2.2.1 Phương pháp đưa về cùng một cơ số

( ) ( )

1

>





≥

a

a a ⇔ f x( ) ≥ g x( )

( ) ( )

0 < < 1





≥

a

a a ⇔ f x( ) ≤ g x( )

a) Quy trình của phương pháp

Bước 1: Đặt điều kiện (nếu cĩ) để bất phương trình được xác

định

Bước 2 : Biến đổi các hàm số mũ cĩ trong bất phương trình về

cùng một cơ số

Bước 3 : Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ để giải

b) Thí dụ minh họa: Giải bất phương trình sau

2

1 2

1

2 2

−

Bước 1: Điều kiện của bất phương trình là x ≤ 0 hoặc 2

≥

x

Bước 2 : Bất phương trình ⇔ 2− x2−2x ≤ 2x−1 Bước 3 : Bất phương trình ⇔ − x2−2x ≤ −x 1 ⇔ x2−2x ≥ −1 x

2

2 2





⇔  − >





x

x

⇔ x ≥ 2 thỏa điều kiện Vậy nghiệm của bất phương trình là mọi x ≥ 2

2.2.2 Phương pháp lơgarit hĩa

( )

1 log

0

log

 >



<

⇔

< <



 >



f x

a a

a

a b

( )

( ) ( ) ( )

0 có nghĩa

log

log

f x

a

a

b

f x

 ≤









> >





> ⇔ 

>





 > < <



<





 a) Quy trình của phương pháp

Bước 1: Đặt điều kiện ( nếu cĩ ) để bất phương trình được xác

định

Bước 2 : Biến đổi bất phương trình về dạng f x( ) <

a b, hoặc

( ) >

f x

a b, hoặc f x( ) < g x( )

a b Lấy lơgarit hai vế, tách ẩn số ra khỏi

số mũ của hàm lũy thừa

Bước 3 : Giải bất phương trình thu được

b) Thí dụ minh họa: Giải bất phương trình sau

3x+ x 8 x < 72

Bước 1 : Bất phương trình xác định ∀ ≥x 0

Bước 2 : Lấy lơgarit cơ số 3 hai vế, ta được

log 33( )x+ x +log 83 x < log 723

( )2

3 3

Bước 3 : ( )2

2

3 3

x

⇒ 0 ≤ x < 1 ⇒ 0 ≤ x < 1 thỏa điều kiện Vậy nghiệm của bất phương trình là ∀ ∈x [0, 1)

2.2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ

Khi trong bất phương trình hàm số mũ cĩ các số hạng, hoặc các biểu thức cĩ quan hệ với nhau, chẳng hạn như: giống nhau, đối nhau, lượng liên hiệp nhau, nghịch đảo nhau thì người ta thường

đặt ẩn phụ để giải, và gọi là giải bất phương trình bằng phương pháp

ẩn phụ

a) Quy trình của phương pháp Bước 1: Đặt điều kiện (nếu cĩ) để bất phương trình được xác

định

Bước 2 : Biến đổi bất phương trình để làm xuất hiện ẩn phụ Chọn ẩn phụ, đặt điều kiện cho ẩn phụ, biểu diễn bất phương trình qua ẩn phụ

Bước 3 : Giải bất phương trình theo ẩn phụ Thay giá trị của ẩn phụ vừa tìm được rồi giải bất phương trình theo ẩn chính ban đầu

b) Thí dụ minh họa: Giải bất phương trình sau

32x−8 3x+ x+4−9 9 x+4 > 0 Bước 1: Điều kiện của bất phương trình x≥ −4

Bước 2 : Chia vế bất phương trình cho 9 x+4 =32 x+4

, ta

được

2( 4) 4

3 x− +x −8 3x− x+ − >9 0 Đặt =3x− x+4

t , điều kiện t >0, bất phương trình trở thành:

t2− − >8t 9 0

1 không thỏa điều kiện

9

t t

< −



>



Bước 3 : t=3x− x+4 > 9=32

2

2 0

− >





x

2

2 2

0

5

>



>

x x

x

x

⇔ x >5 thỏa điều kiện

Vậy nghiệm của bất phương trình là ∀ >x 5

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM

SỐ LƠGARIT

Chương này trình bài một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình hàm số lơgarit cùng một số thí dụ minh họa

3.1 Một số phương pháp giải phương trình hàm số lơgarit

3.1.1 Phương pháp đưa về cùng một cơ số

log

0

< ≠



=



< ≠





a

a

a) Quy trình của phương pháp Bước 1: Đặt điều kiện (nếu cĩ) để phương trình được xác định Bước 2 : Biến đổi các hàm số lơgarit cĩ trong phương trình về cùng một cơ số

Bước 3 : Sử dụng tính đơn điệu của hàm số lơgarit để giải

b) Thí dụ minh họa: Giải phương trình sau ( ) ( 1 )

2

log 4 4x+ = −x log 2x+ −3

Bước 1 : Điều kiện của phương trình

2 1 3 0 2 3

2

Bước 2 : Phương trình ( ) 1( )

1