Một số ứng dụng của định lý viét trong việc giải to án

Một số ứng dụng của định lý viét trong việc giải toán --- A.. Trong ch-ơng trình sách giáo khoa mới Toán lớp 9 THCS, học sinh đ-ợc làm quen với ph-ơng trình bậc hai: Công thức tính nghiệ

Một số ứng dụng của định lý viét trong việc giải toán

-

A Đặt vấn đề

1 lý do chọn đề tài

Trong ch-ơng trình sách giáo khoa mới Toán lớp 9 THCS, học sinh

đ-ợc làm quen với ph-ơng trình bậc hai: Công thức tính nghiệm của ph-ơng trình bậc hai, đặc biệt là định lý Viét và ứng dụng trong việc giải toán

Song qua việc giảng dạy Toán 9 tại tr-ờng T.H.C.S tôi nhận thấy các

em vận dụng hệ thức Viét vào giải toán ch-a thật linh hoạt, ch-a biết khai thác

và sử dụng hệ thức Viét vào giải nhiều loại bài toán, trong khi đó hệ thức Viét

có tính ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán

Đứng trước vấn đề đó, tôi đi sâu v¯o nghiên cứu đề t¯i: “ Một số ứng dụng của định lý Viét trong việc gi°i toán” với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững và sử dụng thành thạo định lý Viét, đồng thời làm tăng khả năng, năng lực học toán và kích thích hứng thú học tập của học sinh

2 đối t-ợng và phạm vi nghiên cứu

Trong đề tài này, tôi chỉ đ-a ra nghiên cứu một số ứng dụng của định lý Viét trong việc giải một số bài toán th-ờng gặp ở cấp T.H.C.S Do đó chỉ đề cập đến một số loại bài toán đó là:

a) ứng dụng của định lý Viét trong giải toán tìm điều kiện của tham số

để bài toán thoả mãn các yêu cầu đặt ra

b) ứng dụng của định lý trong giải bài toán lập ph-ơng trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của ph-ơng trình bậc hai một ẩn

c) ứng dụng của định lý Viét trong giải toán chứng minh

d) áp dụng định lý Viét giải ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình

e) Định lý Viét với bài toán cực trị

B nội dung

Định lý Viét:

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của ph-ơng trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) thì:

* Hệ quả: (tr-ờng hợp đặc biệt)

a) Nếu ph-ơng trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a + b + c = 0 thì ph-ơng

trình có một nghiệm là: x1 = 1 còn nghiệm kia là: x2 =

b) Nếu ph-ơng trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) có a - b + c = 0 thì ph-ơng

trình có một nghiệm là: x1 = - 1 còn nghiệm kia là: x2 =

* Nếu có hai số u và v thoả mãn điều kiện:

thì u, v là hai nghiệm của ph-ơng trình: x2 – Sx + P = 0

điều kiện để có hai số u, v là: S2 – 4P 0

Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho việc ứng dụng của định lý Viét trong giải một số dạng toán

a

c

x

x

a

b x

x

2

1

2

1

.

a c

a c

P v u

S v u

.

I ứng dụng của định lý viét trong giải toán tìm điều kiện của tham số để bài toán thoả mãn các yêu cầu đặt ra

1 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của ph-ơng trình

mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện 2 1

2 2

x

Bài giải:

Điều kiện để ph-ơng trình có hai nghiệm (phân biệt hoặc nghiệm kép):

m 0 ; ' ≥ 0

' = (m - 2)2 - m(m - 3) = - m + 4 ' 0 m 4

Với 0 m 4, theo định lý Viét, các nghiệm x1; x2 của ph-ơng trình có liên hệ:

x1 + x2 =

m

m 2 ) ( 2

; x1.x2 =

m

m 3

Do đó: 1 = 2

2 2

x = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 2

2

) 2 ( 4

m

m

-

m

m 3 ) ( 2

m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m

m2 - 10m + 16 = 0

m = 2 hoặc m = 8 Giá trị m = 8 không thoả mãn điều kiện 0 m 4

Vậy với m = 2 thì 2

2 2

Ví dụ 2: Cho ph-ơng trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0 Tìm m để

ph-ơng trình có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn

5

1

2 1

x x x x

Bài giải:

Ta phải có:

(3) (2) (1)

5

x x x

1 x 1

0 x x

0 3) 2m (m

2)) (m (

2 1

2 1

2 1

2 2 '

Δ

(1) ' = m2 - 4m + 4 - m2 - 2m + 3 = - 6m + 7 > 0 m <

6 7

(2) m2 + 2m - 3 0 (m - 1)(m + 3) 0 m 1; m - 3

5

2 1

2 1

2 1

x x x

x x

x x x

x x

 Tr-ờng hợp: x1 + x2 = 0 x1 = - x2 m = 2 không thoả mãn điều kiện (1)

 Tr-ờng hợp: 5 - x1.x2 = 0 x1.x2 = 5

Cho ta: m2 + 2m - 3 = 5 (m - 2)(m + 4) = 0

K)

Đ mãn (thoả

m

(loại) 2 m

Vậy với m = - 4 ph-ơng trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn

5

x x

1 x

2 1

x

Ví dụ 3: Cho ph-ơng trình: mx2

- 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số)

a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của ph-ơng trình thoả mãn

x1 + 4x2 = 3

b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m

Bài giải:

a) Ta phải có:

0 ) 4 ( )

1 ( ( ' 0

3 4

4

) 1 ( 2

2

2 1

2 1

2 1

m m m

m

x x

m

m x x

m

m x

x

Từ (1) và (3) tính đ-ợc:

m

m x m

m x

3

8 5

; 3

2

1 2

Thay vào (2) đ-ợc

m

m m

m

9

) 8 5 )(

2 (

2 2m2 - 17m + 8=0

Giải ph-ơng trình 2m2 - 17m + 8 = 0 đ-ợc m = 8; m =

2

1

thoả mãn điều kiện (4)

(1) (2) (3) (4)

Vậy với m = 8 hoặc m = thì các nghiệm của ph-ơng trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3

b) Theo hệ thức Viét:

x1 + x2 = 2 +

m

2

x1 + x2 = 1 -

m

4

(*)

Thay

m

2

= x1 + x2 - 2 vào (*) đ-ợc x1x2 = 1 - 2(x1 + x2 - 2)

Vậy x1.x2 = 5 - 2(x1 + x2)

Ví dụ 4: Với giá trị nào của m thì hai ph-ơng trình sau có ít nhất một

nghiệm chung:

Bài giải:

Gọi x0 là nghiệm chung nào đó của 2 ph-ơng trình khi đó ta có

0

2 0

2

0 2 0 2

x

Trừ theo từng vế hai ph-ơng trình ta đ-ợc (m - 2)x0 = m - 2

Nếu m = 2 cả hai ph-ơng trình là x2 + 2x + 2 = 0 vô nghiệm

Nếu m 2 thì x0 = 1 từ đó m = - 3

Với m = - 3: (1) là x2 + 2x – 3 = 0; có nghiệm x1 = 1 và x2 = - 3

Và (2) là x2 - 3x + 2 = 0; có nghiệp x3 = 1 và x4 = 2

Rõ ràng với m = - 3 thì hai ph-ơng trình có nghiệm chung x = 1

2 Bài tập:

Bài 1 : Cho ph-ơng trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1)

Tìm giá trị của tham số m để ph-ơng trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2

2 1

Bài 2: Cho ph-ơng trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0

a) Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm

b) Tìm m để ph-ơng trình có 2 nghiệm trái dấu Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?

c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của ph-ơng trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3 d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m

Bài 3:

a) Với giá trị nào m thì hai ph-ơng trình sau có ít nhật một nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó?

x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0 (1)

x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 (2) b) Tìm giá trị của m để nghiệm của ph-ơng trình (1) là nghiệm của ph-ơng trình (2) và ng-ợc lại

II ứng dụng của định lý viét trong bài toán lập ph-ơng trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của ph-ơng trình bậc hai một ẩn số:

1 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho x1 =

2

1 3

; x2 =

3 1 1

Lập ph-ơng trình bậc hai có nghiệm là: x1; x2

Ta có: x1 =

2

1 3

; x2 =

3 1

1

=

2

1 3 3

1

3 1 3 1

Nên x1.x2 =

2

1 3

3 1

1

=

2 1

x1 + x2 =

2

1 3

+

3 1

1

= 3

Vậy ph-ơng trình bậc hai có 2 nghiệm: x1; x2 là x2 - 3 x+

2

1

= 0

Hay 2x2 - 2 3 x + 1 = 0

Ví dụ 2: Cho ph-ơng trình: x2 + 5x - 1 = 0 (1)

Không giải ph-ơng trình (1), hãy lập một ph-ơng trình bậc hai có các nghiệm là luỹ thừa bậc bốn của các nghiệm ph-ơng trình (1)

Cách giải:

Gọi x1; x2 là các nghiệm của ph-ơng trình đã cho theo hệ thức viét, ta có:

x1 + x2 = -5; x1.x2 = - 1 Gọi y1; y2 là các nghiệm của ph-ơng trình phải lập, ta có:

y1 + y2 = 4 4

2

y1 y2 = 4 4

2

1 x

x

2

1 x

x = (x12+ x22)2 - 2x12.x22 = 729 – 2 = 727

4 4 2

1 x

x = (x1.x2)4 = (- 1)4 = 1 Vậy ph-ơng trình cần lập là: y2 - 727y + 1 = 0

Ví dụ 3: Tìm các hệ số p và q của ph-ơng trình: x2 + px + q = 0 sao cho

hai nghiệm x1; x2 của ph-ơng trình thoả mãn hệ:

35 x x

5 x x

3 2 3 1

2 1

Các giải:

Điều kiện = p2 - 4q 0 (*) ta có:

x1 + x2 = -p; x1.x2 = q Từ điều kiện:

35 x x

5 x x

3 2 3 1

35 x

x

x x

2 1

2 1

2 2 2 1 2 1

2

25

x x x x

35 x

x

5 x 4x x

x

2 1

2 1 2

1

2 1 2 1 2 2

2 5

2

x x x

25 p

2

4

Giải hệ này tìm đ-ợc: p = 1; q = - 6 và p = - 1; q = - 6 Cả hai cặp giá trị này đều thoả mãn (*)

2) Bài tập:

Bài 1: Lập ph-ơng trình bậc hai có 2 nghiệm là 3 + 2 và

2 3 1

Bài 2: Lập ph-ơng trình bậc hai thoả mãn điều kiện:

Có tích hai nghiệm: x1.x2 = 4 và

1

1

1

x

x

+

1

2

2

x

x

=

4

7

2 2

k k

Bài 3: Xác định có số m, n của ph-ơng trình: x2 + mx + n = 0

Sao cho các nghiệm của ph-ơng trình làm m và n

Iii ứng dụng của định lý viét trong giải toán chứng minh

1 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho a, b là nghiệm của ph-ơng trình: x2 + px + 1 = 0 và b, c là nghiệm của ph-ơng trình x2 + qx + 2 = 0

Chứng minh: (b - a)(b - c) = pq - 6

H-ớng dẫn học sinh giải Đây không phải là một bài toán chứng minh

đẳng thức thông th-ờng, mà đây là một đẳng thức thể hiện sự liên quan giữa các nghiệm của 2 ph-ơng trình và hệ số của các ph-ơng trình đó Vì vậy đòi hỏi chúng ta phải nắm vững định lý Viét và vận dụng định lý Viét vào trong quá trình biến đổi vế của đẳng thức, để suy ra hai vế bằng nhau

Cách giải:

a,b là nghiệm của ph-ơng trình: x2 + px + 1 = 0

b,c là nghiệm của ph-ơng trình: x2 + qx + 2 = 0 Theo định lý viét ta có:

1 a.b

p -b a

và

2 b.c

q -c b

Do đó: (b – a)(b – c) = b2 + ac - 3 (1)

pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + 3 Suy ra: pq - 6 = b2 + ac +3 – 6 = b2 + ac - 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra (b - a)(b - c) = pq - 6 (đpcm)

Vídụ 2: Cho các số a,b,c thoả mãn điều kiện:

a + b + c = - 2 (1); a2 + b2 + c2 = 2 (2)

Chứng mình rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn ; 0

3

4

khi biểu diễn trên trục số:

Cách giải:

Bình ph-ơng hai vế của (1) đ-ợc:

a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 4

Do (2) nên: ab + bc + ca = (4 - 2): 2 = 1

bc = 1 - a(b + c) = 1 - a(- 2 - a) = a2 + 2a + 1

Ta lại có: b + c = - (a + 2), do đó b, c là nghiệm của ph-ơng trình:

X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = 0 (*)

Để (*) có nghiệm thì ta phải có:

= (a+2)2 - 4(a2+2a+1) 0

a(3a + 4) 0 -

3

4

a 0

Chứng minh t-ơng tự ta đ-ợc: -

3

4

b 0; -

3

4

c 0

2 Bài tập:

Bài 1: Gọi a, b là hai nghiệm của ph-ơng trình bậc hai: x2 + px + 1 = 0 Gọi c, d là hai nghiệm của ph-ơng trình: y2 + qy + 1 = 0

Chứng minh hệ thức: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2

Bài 2: Chứng minh rằng khi viết số x = ( 3, 2 )200 d-ới dạng thập phân, ta đ-ợc chữ số liền tr-ớc dấu phẩy là 1, chữ số liền sau dấu phẩy là 9

iii áp dụng định lý viét giải ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình

1 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải ph-ơng trình:

1

5

x

x x

1

5

x x

H-ớng dẫn:

ĐKXĐ: {x R x - 1}

Đặt:

1 5 1

5

x

x x

x

x x

u

?

?

u u

Tính: u, v, rồi từ đó tính x

Bài giải:

ĐKXĐ: {x R x - 1}

Đặt:

1 5 1

5

.

x

x x

x

x x

u

(*)

1

5 1

5

1

5 1

5

x

x x

x

x x u

x

x x

x

x x u

6

5

u u

u, v là nghiệm của ph-ơng trình: x2 - 5x + 6 = 0

= 25 – 24 = 1

x1 =

2

1 5

= 3

x2 =

2

1 5

= 2

u = 3 thì v = 2 hoặc u = 2 thì v = 3

Nếu:

2

3

u

thì (*) trở thành: x2 - 2x + 3 = 0

' = 1 – 3 = - 2 < 0 Ph-ơng trình vô nghiệm:

Nếu:

3

2

u

thì (*) trở thành: x2 - 3x + 2 = 0

Suy ra: x1 = 1; x2 = 2

Vậy ph-ơng trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2

Ví dụ 2: Giải các hệ ph-ơng trình:

a)

31 xy

11 y x

b)

12 y 2 x 2 xy

7 yx y x

Bài giải:

a) x,y là nghiệm của ph-ơng trình: x2 - 11x +31 = 0

=(-11)2 - 4.1.31 = 121 – 124 = - 3 < 0 Ph-ơng trình vô nghiệm

Vậy hệ ph-ơng trình đã cho vô nghiệm

b) Đặt x + y = S và xy = P

Ta có hệ:

12 S.P

7 P S

Khi đó S và P là hai nghiệm của ph-ơng trình: t2 – 7t + 12 = 0

Giải ph-ơng trình này đ-ợc t = 4 và t = 3

+ Nếu S = 4 thì P = 3 khi đó x, y là nghiệm của ph-ơng trình:

u2 - 4u + 3 = 0

u = 1 và u = 3 Suy ra (x = 1; y = 3) và (x = 3; y = 1) + Nếu S = 3 thì P = 4 khi đó x, y là nghiệm của ph-ơng trình:

v2 – 3v + 4 = 0 Ph-ơng trình này vô nghiệm vì = 9 - 16 = - 7 < 0

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm số là:

(x = 1; y = 3) và (x = 3; y =1)

2 Bài tập:

Bài 1: Giải ph-ơng trình: x3 + 9x2 + 18 + 28 = 0

Bài2: Giải các hệ ph-ơng trình sau:

a)

4 y x

9 y x 2 2

b)

17 y x

3 y x 4 4

V Định lý viét với bài toán cực trị:

1 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của ph-ơng trình:

x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0

Tìm m để 22

2

1 x

x có giá trị nhỏ nhất

Bài giải:

Xét: = 4m2 - 4m + 1 - 4m + 8 = 4m2 - 8m + 9 = 4(m - 1)2 + 5 > 0

Nên ph-ơng trình đã cho có hai nghiệm với mọi m

Theo định lý Viét ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - 2

2 2 2

1 x

x = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2)

=4m2 - 6m + 5 = (2m -

2

3

)2 +

4

11

4 11

Dấu “=” x°y ra khi m =

4 3

Vậy Min(x12 + x22) =

4

11

khi m =

4 3

Ví dụ 2: Gọi x1; x2 là nghiệm của ph-ơng trình:

2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x1x2 - 2x1 - 2x2

Cách giải:

Để ph-ơng trình đã cho có nghiệm thì:

' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5) 0

- 5 m - 1 (*)

Khi đó theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = - m - 1

x1 .x2 =

2

3 4

2

m m

Do đó: A =

2

7 8

2

m m

Ta có: m2 + 8m + 7 = (m + 1)(m + 7) với điều kiện (*) thì:

(m + 1)(m + 7) 0

Suy ra: A =

2

7 8

2

m m

=

2

) 4 (

2 9

Dấu bằng xảy ra khi (m + 4)2 = 0 hay m = - 4

Vậy A đạt giá trị lớn nhất là:

2

9

khi m = - 4, giá trị này thoả mãn điều kiện (*)

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của

A=(x4 + 1) (y4 + 1), biết x, y 0; x + y = 10

Cách giải:

A = (x4 + 1)(y4 + 1) = x4 + y4 + y4x4 + 1

Ta có: x + y = 10 x2 + y2 = 10 - 2xy

x4 + y4 + 2y2x2 = 100 - 40xy + 4x2y2

x4 + y4 = 100 - 40xy + 2x2y2

Đặt : xy = t thì x4 + y4 = 100 - 40t + 2t2

Do đó A = 100 - 40t + 2t2 + t4 + 1 = t4 + 2t2 – 40t + 101

a) Tìm giá trị nhỏ nhất:

A = t4 - 8t2 + 16 + 10t2 - 40t + 40 + 45 = (t2 - 4)2 + 10(t - 2)2 + 45 45 Min(A) = 45 t = 2, khi đó xy = 2; x + y = 10 nên x và y là nghiệm của ph-ơng trình X2 - 10 X + 2 = 0

Tức là x =

2

2 10

; y =

2

2 10

hoặc x =

2

2 10

; y =

2

2 10

b) Tìm giá trị lớn nhất:

Ta có: 0 xy

2

2

y x

=

2

2

10

=

2

5

0 t

2

5

(1)

Viết A d-ới dạng: A = t(t3 + 2t - 40) + 101

Do (1) nên t3

8

125

; 2t 5 t3 + 2t - 40

8

125

+ 5 - 40 < 0 còn t 0

nên A 101

Max(A) = 101 khi và chỉ khi t = 0 tức là x = 0; y = 10 hoặc x = 10 ;

y = 0

2 Bài tập:

Bài 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của ph-ơng trình

x2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0

2 2

1 x

x có giá trị nhỏ nhất

Bài 2: Cho ph-ơng trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

A = x1x2 + 2x1 + 2x2

Bài 3: Cho ph-ơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số) Tìm m sao cho 2 nghiệm x1; x2 của ph-ơng trình thoả mãn 10x1x2 +x12 x22

đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó

C Kết luận

ứng dụng của định lý Viét trong việc giải toán là một vấn đề lớn, đòi hỏi ng-ời học phải có tính sáng tạo, có t- duy tốt và kỹ năng vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt Chính vì lẽ đó, trong quá trình giảng dạy, ng-ời giáo viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng từng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu bản chất và cách vận dụng Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú trong học tập, tôn trọng những suy nghĩ, ý kiến và sáng tạo của các em Cần th-ờng xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy chắc và kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic giữa các bài khác nhau

Nghiên cứu đề t¯i “ứng dụng của định lý Viét trong việc gi°i toán” không chỉ giúp cho học sinh yêu thích học bộ môn toán, mà còn là cơ sở giúp cho bản thân có thêm kinh nghiệm trong giảng dạy Mặc dù đã rất cố gắng khi thực hiện đề tài, song không thể tránh khỏi thiếu sót về cấu trúc, ngôn ngữ và

kiến thức khoa học Vì vậy, tôi mong sự quan tâm của các đồng chí, đồng nghiệp góp ý kiến chân thành để đề tài này hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Ngày 25 - 4 - 2006