tích phân và ứng dụng của tích phân

2 Chương 3: Các bài toán khác Chương này đề cập đến những ứng dụng tuyệt vời của tích phân trong các bài toán phức tạp như là tìm giới hạn, tìm tổng hay chứng minh bất đẳng thức.. Vì vậ

2

Chương 3: Các bài toán khác

Chương này đề cập đến những ứng dụng tuyệt vời của tích phân trong các bài toán phức tạp như là tìm giới hạn, tìm tổng hay chứng minh bất đẳng thức

CHƯƠNG 1 NGUYÊN HÀM

1.1 Định nghĩa nguyên hàm

a Giả sử hàm y f x  liên tục trên khoảng  a;b Khi đó hàm số yF x  được gọi là một nguyên hàm của hàm số y f x  khi và chỉ khi

F' x  f x ,  x  a b;

b Nếu yF x là một nguyên hàm của hàm số

 

y f x thì tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm

3

số yf x  là tập IF x c c, R và tập này còn được ký hiệu là: If x dx  F x c





2.1 Định nghĩa tích phân xác định

Giả sử hàm số y f x  xác định và bị chặn trên đoạn

 a b; Xét một phân hoạch  bất kì của đoạn  a b; , tức là chia đoạn  a b; thành n phần tùy ý bởi các điểm chia :

f 

    (là một số xác định) thì giới hạn này gọi là tích phân xác định của hàm số f x  trên đoạn

 a b; và kí hiệu là: b  

a

f x dx

 Khi đó hàm số y f x  được gọi là khả tích trên đoạn  a b;

2.2 Điều kiện khả tích

Cho hàm số y f x xác định trên  a b; Chia đoạn trên

 a b; thành n phần tùy ý bởi các điểm chia :

  , khi đó theo định nghĩa tích phân xác định thì

1

2 2

Tuy nhiên không phải bài toán nào ta cũng có thể

dễ dàng phân hoạch và chọn được x k Vì vậy ta có thể sử dụng cách tìm nguyên hàm của f x  sau đó dùng công thức Newton – Leipnitz

12

Dùng công thức Newton – Leipnitz nhanh hơn

nhiều Thể hiện ứng dụng ưu việt của công thức trong việc tính tích phân xác định

Như vậy để tính tích phân xác định ta thường tính nguyên hàm của hàm số đó (Chương 1) sau đó dùng

công thức Newton – Leipnitz để tính ra kết quả của

: :

13

+ Bước 2 Sử dụng công thức:

   

b a

S f x g x dx

 Chú ý Cần phải điền “đvdt” vào kết quả cuối

cùng trong các bài toán tính diện tích hình phẳng

14

còn 2 cận a, b được thay thế bởi   , lần lượt là

nghiệm của a  t ; b   t Khi đó:S    t ' t dt

S1

2 1

15

c Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

cong trong hệ tọa độ cực

 Công thức tính diện tích hình phẳng trong hệ

tọa độ Cực

Trong hệ tọa độ Cực, diện tích S của hình giới

hạn bởi các tia:      ,  và đường r  f   là

 

2

1 2

16

Công thức: 2  2 

x a

f b y

f a

V    f y  dy

 V y sinh bởi diện tích đường cong bậc 2

 , 0

+ Bước 1 Tách đường cong bậc hai f x y ,  0

f a

V    f y   f y  dy

 Chú ý Cần phải điền “đvtt” vào kết quả cuối

cùng trong các bài toán tính thể tích khối tròn xoay

b Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 2.5.1 ([2])

a Các công thức tính độ dài đường cong phẳng

 Độ dài của đường cong có phương trình y f x 

dx x





 Bất đẳng thức tích phân Cauchy – Schwarz

Cho hai hàm số f g, liên tục trên  a b; Khi đó ta có

C y

x



  nên tiếp tuyến  d tại M luôn nằm dưới đồ thị

 C Giả sử tiếp tuyến  d cắt đường thẳng

f(x)=1/x y=-1.3611x+2.3333 x(t)=1/2, y(t)=t x(t)=t, y(t)=2 x(t)=6/7, y(t)=t x(t)=3/2, y(t)=t

x y

A

Q F M P E

2 0

2 0

Nội dung luận văn “ Tích phân và ứng dụng” bao gồm

các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân xác định và một số ứng dụng của tích phân xác định Luận văn đã đạt được một số kết quả:

1 Luận văn đã phân dạng và trình bày phương pháp từng dạng tính nguyên hàm làm cơ sở quan trọng cho việc tính tích phân xác định bằng công thức Newton – Leipnitz

2 Luận văn cũng đưa ra một số ứng dụng của tích phân vào các bài toán thực tế và giải một số dạng toán phổ thông như tìm giới hạn, tính tổng, chứng minh bất đẳng thức

TÀI LIỆU THAM KHẢO

26

[1] Bộ giáo dục và đào tạo (2008), Sách giáo khoa,

sách bài tập giải tích lớp 12 ban cơ bản và ban nâng cao, Nhà xuất bản Giáo dục

[2] Võ Văn Giai – Võ Văn Thoại (2008), Tích phân xác

định và các ứng dụng, Nhà xuất bản Đại học Sư Phạm

[3] Trần Phương (2009), Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn Toán, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội

[4] Trần Phương (2006), Tuyển tập các chuyên đề và kỹ

thuật tính Tích phân, Nhà xuất bản Tri Thức

[5] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Tài liệu liệu chuyên toán

Giải tích 12, nhà xuất bản giáo dục Việt Nam

[6] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn

Hồ Quỳnh (2009), Toán học cao cấp (tập hai: Phép tính

giải tích một biến số), Nhà xuất bản Giáo dục