CHUYÊN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN1.. Phương pháp đổi biến số... Thể tích vật thể tròn xoay Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường... - Nếu h
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1 Kiến thức liên quan
1.1 Công thức nguyên hàm cơ bản
Nguyên hàm của hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng
dx x C= +
1 , 1 1
x
α
α
+
+
1
ax b
a
α α
α
+ +
+
∫
ln , x 0
dx
x C
+
∫
e dx e= +C
a
∫
ln
x
a
ln
x
a
α β
α β
α
+
∫ cosxdx=sinx C+
cos(ax b dx) sin(ax b) C
a
∫
sinxdx= −cosx C+
sin(ax b dx) cos(ax b) C
a
∫ 2
1
tan cos x dx= x C+
tan( ) cos (ax b)dx= a ax b+ +C
+
∫ 2
1
sin x dx= −cotx C+
sin (ax b)dx= −a cot ax b+ +C
+
∫
1.2 Công thức tích phân
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] thì
( ) ( ) ( ) ( )
b
b a a
f x dx F x= =F b −F a
∫
1.3 Phương pháp đổi biến số
Trang 21.3.1 Dạng 1 : Tính I =
[ ( ) ( )] '
b
a
f ϕ x ϕ x dx
∫
+ Đặt t = ϕ( )x ⇒dt =ϕ'( ).x dx
+ Đổi cận :
⇒
I =
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
b
a
b
f t dt F t
a
ϕ ϕ
ϕ ϕ
=
∫
1.3.2 Dạng 2 : Tính I =
( )
b
a
f x dx
∫
bằng cách đặt x = ϕ( )t
Dạng chứa
a −x
: Đặt x = asint, t
;
2 2
π π
(a>0)
1.4 Phương pháp tích phân từng phần
* Công thức tính :
( )
b a
f x dx= udv uv= − vdu
Đặt
=
=
⇒
=
=
) (
) (
ham nguyen
lay v
ham dao
lay dx
du dv
u
Ta thường gặp hai loại tích phân như sau:
* Loại 1:
( )
( ).sin ( )
( ).cos ( ) ( )
( )
b
a
b
a
b
f x
a
P x f x dx
P x e dx
∫
∫
∫
, trong đó P x( ) là đa thức bậc n
*Loại 2:
( ).ln ( ) ln ( )
b
a
P x f x dx ⇒ =u f x
∫
hoctoancapba.com 1.5 Tính chất tích phân
x a b
t ϕ( )a
ϕ( )b
Trang 3Tính chất 1:
( ) ( )
kf x dx k f x dx=
, k: hằng số
Tính chất 2:
[ ( ) ( )] ( ) ( )
f x ±g x dx= f x dx± g x dx
Tính chất 3:
f x dx = f x dx+ f x dx a c b< <
1.6 Diện tích hình phẳng
1.6.1 Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] khi đó diện tích hình phẳng giới
hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a và x = b là:
( )
b
a
S =∫ f x dx
(*)
Lưu ý:
( ) 0
f x =
vô nghiệm trên (a;b) thì
( ) ( )
S =∫ f x dx= ∫ f x dx
( ) 0
f x =
có 1 nghiệm c∈( ; )a b
thì
S =∫ f x dx= ∫ f x dx + ∫ f x dx
1.6.2 Dạng 2: Cho hai hàm số y = f1(x) và y = f2(x) liên tục trên [a; b] Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f1(x), f2(x) và hai đường thẳng x = a, x = b là:
1( ) 2( )
b
a
S =∫ f x − f x dx
(**)
Lưu ý: Khử dấu giá trị tuyệt đối của công thức (**) thực hiện tương tự đối với công thức (*).
1.7 Thể tích vật thể tròn xoay
Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
Trang 4y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là:
2( )
b
a
V =π∫ f x dx
Lưu ý: Diện tích, thể tích đều là những giá trị dương.
2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau
4 2
3
x
π
π
Lời giải
2
1/ A=∫ 2x e dx+ x =∫2xdx+∫e dx x x = +e x = − + − =1 0 e 1 e
ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
x
−
3 /C sinx cosx dx sinxdx cosxdx cosx sinx 2
4
4
x
−
Ví dụ 2 Tính các tích phân sau
ln 2
2 1
1 3 1
e
x
x
x x
x
+
Lời giải
Trang 5
6
1
1/ I =∫x x+3dx
ta được
2
3
I = t − t dt= t − t =
∫ 1
0
2 1
2 /
1 3 1
x
x
+
=
∫
ta được
t
x= − ⇒dx = tdt
• Đổi cậnx= ⇒ =0 t 1;x= ⇒ =1 t 2
• Khi đó
2
t t
1
1 2ln 1
3 /
ln 1
e
x
x
+
∫
1 1
1
e
x
=∫
ta được kết quảK1=2( e−1)
• Đặtln x t=
ta được
dx dt x
=
• Khi đó
( )
1
1
0
2 1
2 ln 1 2 ln 2 1
t
t
+
+
∫
Trang 6ln 2
0
1
4 /
2 x 1
e
+
∫
hoctoancap ba com
ln 2 1 0
L = ∫ xdx
ta được kết quả
2 1
ln 2 2
I =
ln 2 2 0
1
2 x 1
e
=
+
∫
x
e =t
ta được
x
e dx dt=
• Đổi cận x= ⇒ =0 t 1;x=ln 2⇒ =t 2
• Khi đó 2 ( ) ( ( ) ) 2
1
ln ln 2 1 ln 2 ln ln
dt
t t
+
∫
2
ln 2 ln
L L= +L = +
Ví dụ 3 Tính các tích phân sau
6
1 1/ 1 sin cos 2 / 3 / sinx sin
sin cos
π
π
Lời giải
2
3 0
1/I 1 sin x cosxdx
π
• Đổi cận
2
• Khi đó
3
3 1
t
I = −t dt = −t =
∫
Trang 76
1
2 /
sin cos
π
π
=∫
2
1 cot
sin
x
−
• Đổi cận
• Khi đó
3 2
3 /K sinx x sinxdx sin xdx xsinxdx
2 1
1 cos 2 1 sin
x
π
−
•
2
0 sin
π
=∫
•
•
0
π
* Chú ý: Ta thường đặt t là căn, mũ, mẫu.
- Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo luỹ thừa thì đặt t là phần bên trong dấu ngoặc nào có luỹ thừa cao nhất
- Nếu hàm chứa mẫu số thì đặt t là mẫu số
- Nếu hàm số chứa căn thức thì đặt t = căn thức
- Nếu tích phân chứa
dx x
thì đặt t =lnx
- Nếu tích phân chứa
x
e
thì đặt
x
t e=
Trang 8
- Nếu tích phân chứa
dx x
thì đặt t = x
- Nếu tích phân chứa
2
dx x
thì đặt
1
t x
=
- Nếu tích phân chứa cos xdx thì đặt t =sinx
- Nếu tích phân chứa sin xdx thì đặt t =cosx
- Nếu tích phân chứa
2 cos
dx x
thì đặt t =tanx
- Nếu tích phân chứa
2 sin
dx x
thì đặt t =cotx
Ví dụ 3 Tính các tích phân
a)
2 0 sin
π
=∫
1
e
b J =∫x xdx c K) =∫10xe dx x
Lời giải
a)
2
0
sin
π
=∫
2
0 cos cos 0 0 sinx 1
π
1
e
b J =∫x xdx
Trang 92
1 ln
2
v
=
=
1
1
∫
1
0
c K =∫xe dx
⇒
1
0
1
K =xe −∫e dx e e= − =
Ví dụ 4 Tính các tích phân sau
2
2
x x
Lời giải
1/ I x x dx x dx x dx
Tính
2 2
1
1 1
I =∫x dx= x =
2
1 1
1
Vậy
ln
Trang 10ln 4 ln 4 ln 4
2 /
ln 4
ln 4
0
3
J = ∫ e dx e= =
( )
ln 4
2 2
0
2 2
2
2
x
t e
t
+
∫
∫
Vậy
3
3 ln 2
J = +J J = +
2 2
2
1
1
3 /K x lnxdx
x
−
=∫
Đặt
2 2 2
1 1 2
1 ln
ln
=
∫
Ví dụ 5 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
a)
2
y=x
, trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=2
b)
2
y=x
, y= − +2x 3
và hai đường thẳng x =0, x=2
c)
y x= y x= +
Lời giải
a)
2
y=x
, trục hoành và hai đường thẳng x= 0, x=2
Trên [0; 2] ta có
2 0 0 [0;2]
Trang 11 Diện tích của hình phẳng đã cho:
2 2
0 0
S =∫ x dx= x =
b) Đặt
2
Ta có:
1 [0;2]
3 [0;2]
x
x
= ∈
Diện tích hình phẳng đã cho
2
2 0
| 2 3 |
S =∫ x + x− dx
= − + + − − − + = + =
c) Ta có:
2
x
x
= −
Diện tích hình phẳng
2
2
∫
Ví dụ 6 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình (D) quanh trục Ox biết (D)
giới hạn bởi
2
y= −x y=
Lời giải
Ta có:
2
1−x = ⇔ = ±0 x 1
Trang 12 Áp dụng công thức:
2( )
b
a
V =π∫ f x dx
Ta có:
1
2 2 1
(1 )
−
2x
1 2x
3 5
x
∫
π
Bài Tập tự luyện
Bài 1: Tính các tích phân sau
1
1
3
0
(x + +x 1)dx
∫
2
2 2 1
1 1
e
x x
∫
3
2
1 1
x+ dx
∫
4
2
3
(2sinx 3cosx x dx)
π
π
∫
5
1
0 (e x+x dx)
∫
6
1 3 0 (x +x x dx)
∫
7
2
1
( x+1)(x− x+1)dx
∫
8
2
3
1 (3sinx 2cosx )dx
x
π
π
∫
9
1
2 0
(e x+x +1)dx
∫
10
3
3
1
(x 1) dx
−
+
∫
11
2
1
e
dx x
∫
12
2
2 ( 3)
x x dx
−
−
∫
13
4
2
3
(x 4)dx
−
−
∫
14
2
1
1 1
dx
∫
15
2 2 3 1
2
dx x
−
∫
16
8
2 3 1
1 4
3
x
−
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau
Trang 131
2
3
sin xcos xdx
π
π
∫
2
6 0
1 4sin xcosxdx
π +
∫
3
1 2 0
1
x x + dx
∫
4
1
2
0
1
x −x dx
∫
5
3
x dx
x +
∫
6
1
2 2
0(1 3 )
x dx x
+
∫
7
2
sin
4
x
e cosxdx
π
π
∫
8
2
2 3 0
sin 2 (1 sin )x x dx
π
+
∫
9
1
0 (1 )
x −x dx
∫
12
6
2 0
cos
6 5sin sin
x
dx
π
∫
11
9
x dx
x−
∫
12
6
0
1 4sin cosx xdx
π
+
∫
13
2
1
2
0
x
e + xdx
∫
14 1
1 ln
e
x dx x
+
∫
15 1
sin(ln )
e
x dx x
∫
16
1
0
1
x x+ dx
∫
17
1
2 3 0
5
x x + dx
∫
18
8 2 3
1
1dx
x x +
∫
19
ln 5
ln 3 x 2 x 3
dx
e + e− −
∫
20
1
0
x
e dx−
∫
21
3 3 0
sin
x cos
x d x
π
∫
22
1
2
0
1 x dx−
∫
23
1
2 0
1
4−x dx
∫
24
1 2 0
1
1+x dx
∫
Bài 3: Tính các tích phân sau
1
2
2
0
cos
π
∫
2
1
0 sin
x
∫
3
2 0 (2x 1) osxc dx
π
−
∫
Trang 144
1
0
x
xe dx
∫
5 1
ln
e
x xdx
∫
6
2 2 0 (x 1)sin xdx
π +
∫
7
2
2
0
(x cos )sin xx dx
π
+
∫
8
2 2 0 sin 3x
x
π
∫
9
1
2 0
(x−2)e dx x
∫
10
1
2 0
ln(1 )
x +x dx
∫
11 1
(2 2)ln
e
∫
12
2 0 cos
x x dx
π
∫
13
2
0
(2x+7)ln(x+1)dx
∫
14
1
2 0
(x−2)e dx x
∫
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a)
y= − x +x −
, trục hoành, x = 0 và x = 2
b)
y x= + x= − x=
và trục hoành
c)
y x= − x y x=
d)
3 1
y x= −
và tiếp tuyến của nó tại điểm có tung độ bằng -2
e)
y x= − x y = x= x=
f)
3 sinx, y=0, x=0, x=
2
g) , Ox, 0, 3
x
y e= x= x=
Bài 5: Tính thể tích vật tròn xoay khi quay các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
quanh trục hoành:
a)
y x= − x y= x= x=
b) y=cos ,x y=0, x=0, x=π
Trang 15c)
tan , 0, 0,
4
y= x y= x= x=π
d)
2
y= −x y=
e)
1
e