Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học thông qua các bài tập về ứng dụng của đạo hàm

Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học thông qua các bài tập về ứng dụng của đạo hàm : \ Luận văn ThS.. Do đó, việc nghiên cứu đề tài: “ Rèn luyện tư duy sáng tạo cho

Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học thông qua các bài tập về ứng dụng của đạo hàm : \ Luận văn ThS Giáo dục học: 60 14 05 \ Nguyễn Thị Mai Hoa ; Nghd :

TS Nguyễn Thành Văn

1 Lí do chọn đề tài

Nhân loại đang bước vào thế kỷ XXI, thế kỷ tri thức, kỹ năng của con người được xem là yếu tố quyết định sự phát triển của xã hội Trong xã hội tương lai, nền giáo dục phải đào tạo ra những con người có trí tuệ, thông minh và sáng tạo Muốn có được điều này, ngay từ bây giờ nhà trường phổ thông phải trang bị đầy đủ cho học sinh hệ thống kiến thức cơ bản, hiện đại, phù hợp với thực tiễn Việt Nam và rèn luyện cho họ năng lực tư duy sáng tạo Thế nhưng, các công trình nghiên cứu về thực trạng giáo dục hiện nay cho thấy chất lượng nắm vững kiến thức của học sinh không cao, đặc biệt việc phát huy tính tích cực của học sinh, năng lực giải quyết vấn đề và năng lực tư duy sáng tạo không được chú ý rèn luyện đúng mức Từ thực tế đó, nhiệm vụ cấp thiết đặt ra là phải đổi mới phương pháp dạy học, sử dụng các phương pháp dạy học tích cực để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề

Trong chương trình toán trung học phổ thông, đạo hàm là một trong các công cụ hiện đại mà sử dụng nó có thể giải nhiều dạng bài tập khác nhau trong khi việc sử dụng các phương pháp khác có thể gặp khó khăn

Vì vậy, cần phải nghiên cứu một cách có hệ thống các ứng dụng của đạo hàm vào việc giải các bài toán, trên cơ sở đó rèn luyện tư duy logic, tư

duy sáng tạo cho học sinh Do đó, việc nghiên cứu đề tài: “ Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học thông qua các bài tập về ứng dụng của đạo hàm” là rất cần thiết

2 Lịch sử nghiên cứu

Việc nghiên cứu về vấn đề ứng dụng của đạo hàm từ trước đến nay

đã có nhiều công trình nghiên cứu và lý thuyết đạo hàm đã hoàn thiện

Các tài liệu tham khảo về ứng dụng của đạo hàm ở Việt Nam cũng có rất nhiều, tuy nhiên chưa có nhiều cuốn sách đề cập đến ứng dụng của đạo hàm một cách có hệ thống

3 Mục tiêu nghiên cứu

- Nghiên cứu các ứng dụng của đạo hàm vào toán phổ thông

- Phân loại, xây dựng hệ thống các bài tập về ứng dụng của đạo hàm

và đưa ra phương pháp chung cho mỗi loại đó

- Trên cơ sở đó rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học thông qua các bài tập về ứng dụng của đạo hàm

4 Vấn đề nghiên cứu

- Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh là thế nào?

- Sử dụng các bài tập về ứng dụng của đạo hàm như thế nào để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học?

5 Giả thuyết khoa học

Thông qua hệ thống các bài tập về ứng dụng của đạo hàm giúp cho học sinh xây dựng khả năng tự học, tự nghiên cứu và lòng say mê toán học, qua đó rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

6 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu hoạt động tư duy của học sinh trong quá trình giải bài tập về ứng dụng của đạo hàm, từ đó hướng dẫn học sinh xây dựng tiến trình luận giải, làm cơ sở cho việc tìm kiếm lời giải một cách có hiệu quả

- Phân loại và xây dựng hệ thống bài tập về ứng dụng của đạo hàm

và đưa ra phương pháp chung cho mỗi loại đó

- Thực nghiệm sư phạm để đánh giá hiệu quả của hệ thống bài tập về ứng dụng của đạo hàm đã được phân loại và xây dựng để phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình tìm kiếm lời giải Đối chiếu kết quả thực nghiệm với kết quả điều tra ban đầu, rút ra kết luận về khả năng áp dụng hệ thống bài tập đã đề xuất

7 Phương pháp nghiên cứu

7.1 Nghiên cứu lí luận

- Nghiên cứu lí luận về tư duy, rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông

- Nghiên cứu tác dụng và cách sử dụng các bài tập về ứng dụng của đạo hàm trong dạy học toán học

7.2 Điều tra, quan sát

- Dự giờ, tổng kết kinh nghiệm việc dạy chủ đề này

- Điều tra thực trạng nhận thức và năng lực tư duy sáng tạo của học sinh phổ thông trung học trong quá trình giải các bài tập về ứng dụng của đạo hàm

- Tình hình sử dụng các bài tập về ứng dụng của đạo hàm trong dạy học toán học của giáo viên trung học phổ thông hiện nay

7.3 Thử nghiệm sư phạm

- Dạy thử nghiệm sư phạm để đánh giá hiệu quả của cách phân loại

và xây dưng hệ thống bài tập về ứng dụng của đạo hàm và phương pháp chung của mỗi loại đó

- Dạy thử nghiệm sư phạm một số nội dung trong luận văn tại một số lớp ở trường THPT nhằm bước đầu đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của đề tài

8 Những đóng góp của luận văn

- Xây dựng và phân loại hệ thống bài tập về ứng dụng của đạo hàm nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông

- Kết quả thực nghiệm sư phạm cho thấy đề tài có tính khả thi và hiệu quả

- Kết quả của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo bổ ích thiết thực cho đồng nghiệp, sinh viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo, phụ lục, luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông trung học thông qua các bài tập về ứng dụng của đạo hàm

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Còn theo tác giả Nguyễn Xuân Trường (Đại học Sư Phạm Hà Nội) thì "tư duy là hành động trí tuệ nhằm thu thập và xử lí thông tin về thế giới quanh ta và thế giới trong ta Chúng ta tư duy để hiểu, làm chủ tự nhiên, xã hội và chính mình"

1.1.2 Tầm quan trọng của việc phát triển tư duy

Lý luận dạy học hiện đại đặc biệt chú trọng đến việc phát triển tư duy

cho học sinh thông qua việc điều khiển tối ưu quá trình dạy học, còn các

thao tác tư duy cơ bản là công cụ của nhận thức, đáng tiếc rằng điều này cho đến nay vẫn chưa được thực hiện rộng rãi và có hiệu quả Vẫn biết sự tích lũy kiến thức trong quá trình dạy học đóng vai trò không nhỏ, song không phải quyết định hoàn toàn Con người có thể quên đi nhiều sự việc

cụ thể mà dựa vào đó những nét tính cách của anh ta được hoàn thiện Nhưng nếu những nét tính cách này đạt đến mức cao thì con người có thể giải quyết được mọi vấn đề phức tạp nhất, điều đó nghĩa là anh ta đã đạt đến một trình độ tư duy cao

1.1.3 Những đặc điểm của tư duy

- Quá trình tư duy nhất thiết phải sử dụng ngôn ngữ là phương tiện: Giữa tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ không thể chia cắt, tư duy và

ngôn ngữ phát triển trong sự thống nhất với nhau Tư duy dựa vào ngôn ngữ nói chung và khái niệm nói riêng Mỗi khái niệm lại được biểu thị bằng một hay một tập hợp từ

+ Tư duy phản ánh khái quát:

+ Tư duy phản ánh gián tiếp:

+ Tư duy không tách rời quá trình nhận thức cảm tính:

1.1.4 Những phẩm chất của tư duy

1.1.5 Các thao tác tư duy

Việc hình thành và vận dụng các khái niệm, cũng như việc thiết lập các mối quan hệ giữa chúng được thực hiện trong quá trình sử dụng các thao tác tư duy như: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa, cụ thể hóa kết hợp với các phương pháp hình thành phán đoán mới là quy nạp, diễn dịch, suy diễn và loại suy

1.1.6 Vấn đề phát triển năng lực tư duy

- Việc phát triển tư duy cho học sinh trước hết là giúp học sinh thông hiểu kiến thức một cách sâu sắc, không máy móc, biết cách vận dụng kiến thức vào bài tập, từ đó mà kiến thức học sinh thu nhận được trở nên vững chắc và sinh động Chỉ thực sự lĩnh hội được tri thức khi tư duy tích cực của bản thân học sinh được phát triển và nhờ sự hướng dẫn của giáo viên các em biết phân tích, khái quát tài liệu có nội dung cụ thể và rút ra những kết luận cần thiết

- Sự phát triển tư duy diễn ra trong quá trình tiếp thu kiến thức và vận dụng tri thức, khi tư duy phát triển sẽ tạo ra một kĩ năng và thói quen làm việc có suy nghĩ, có phương pháp, chuẩn bị tiềm lực lâu dài cho học sinh trong hoạt động sáng tạo sau này

- Muốn phát triển năng lực tư duy, phải xây dựng nội dung dạy học sao cho nó không phải "thích nghi" với trình độ phát triển có sẵn của học

sinh mà đòi hỏi phải có trình độ phát triển cao hơn, có phương thức hoạt động trí tuệ phức tạp hơn Nếu học sinh thực sự nắm được nội dung đó, thì đây là chỉ tiêu rõ nhất về trình độ phát triển năng lực tư duy của học sinh

1.1.7 Dấu hiệu đánh giá tư duy phát triển

a) Có khả năng tự lực chuyển tải tri thức và kĩ năng sang một tình huống mới Trong quá trình học tập, học sinh đều phải giải quyết những vấn đề đòi hỏi phải liên tưởng đến những kiến thức đã học trước đó Nếu học sinh độc lập chuyển tải tri thức vào tình huống mới thì chứng tỏ đã có biểu hiện tư duy phát triển

b) Tái hiện kiến thức và thiết lập những mối quan hệ bản chất một cách nhanh chóng

c) Có khả năng phát hiện cái chung và cái đặc biệt giữa các bài toán d) Có năng lực áp dụng kiến thức để giải quyết tốt bài toán thực tế: Định hướng nhanh, biết phân tích suy đoán và vận dụng các thao tác tư duy để tìm cách tối ưu và tổ chức thực hiện có hiệu quả

1.2 Tư duy toán học

1.2.1 Tư duy khoa học tự nhiên

1.2.2 Tư duy toán học

1.3 Tư duy sáng tạo

1.3.1 Tư duy sáng tạo là gì?

Tư duy sáng tạo là chủ đề của một lĩnh vực nghiên cứu còn mới Tư duy sáng tạo nhằm tìm ra các phương án, biện pháp thích hợp để kích hoạt khả năng sáng tạo, và để đào sâu khả năng tư duy của một cá nhân hay một tập thể cộng đồng làm việc chung về một vấn đề hay một lĩnh vực

1.3.2 Quan hệ giữa các bài tập ứng dụng của đạo hàm và việc rèn luyện

tư duy sáng tạo cho học sinh

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH

PHỔ THÔNG TRUNG HỌC THÔNG QUA CÁC BÀI TẬP

VỀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 2.1 Một số kiến thức cơ bản về đạo hàm

2.1.1 Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm

2.1.2 Định nghĩa đạo hàm của hàm số trên một khoảng

2.1.3 Các quy tắc tính đạo hàm

2.1.4 Bảng các đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

2.1.5 Đạo hàm cấp cao

2.2 Ứng dụng đạo hàm vào chứng minh đẳng thức

Ta biết rằng hàm số hằng y=ccó đạo hàm trên R và y'= 0 Đảo lại, ta

có định lí sau:

Định lí 1 Nếu hàm số y= f (x)có đạo hàm trong khoảng (a, b) và f ' x( ) = 0

" xÎ( b a, ) thì hàm sốy= f (x)không đổi trong khoảng (a, b)

Từ đó, sử dụng đạo hàm để chứng minh đẳng thức ta làm như sau: Giả sử cần chứng minh hàm số y= f (x)là hàm hằng trên tập D, D có thể là

một đoạn, khoảng, nửa đoạn hay nửa khoảng

Bước 1: Tính f ' x( ), rồi chứng minh f ' x( ) = 0, "xÎD

A = cos2x– msin2x + 3cos2x + 1 không phụ thuộcx

Ví dụ 3 Tìm a, b để phương trình sau nghiệm đúng với mọix

a(cosx–1) + 2

b – cos(ax+ 2

b ) = –1

Bài tập 1 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x

3

2 ( cos ) 3

2 ( [cos cos2 + 2 + p + 2 - p =

x x

b x

a

b) 2asinx– asin3x+ b sin5x = sin5x

c)

a bx

Nếu a £ b , chứng minh f (x) nghịch biến trên D

Nếu a ³ b , chứng minh f (x) đồng biến trên D

Cách 2 thực chất là một trường hợp riêng của cách 1

Ví dụ 4 Chứng minh rằng nếu 0< x thì ta có: sinx< x

x

- < cosx < 1–

24 2

4 2

! 7

! 5

! 3

3 4 7

5 3

+ +

-n

x x

ø

ö ç

è

æ + +

÷ ø

ö ç

è

æ +

b

b a

a

+ + 2 2

a c

b

+ + 2 2

b a

c

3 3

z

y x

n m

x

z y

n m

y

x

z y

a

÷ ø

ö ç

b a b

0 a a

a a

a

÷ ø

ö ç

b a b

a

,nếu 0 < a < 1

Nhận xét: Dựa vào bất đẳng thức vừa được chứng minh ở ví dụ 12 ta có

thể xây dựng những bất đẳng thức mới như sau:

a a

÷ ø

ö ç

è

³ + +

3 3

c b a c

b a

0 a

a

a a

a a

÷ ø

ö ç

è

£ + +

3 3

c b a c

b a

0 a

è

æ

-

x y

y x

b a

ö ç

è

æ +

(c- 1 )x a+1 £ (cy-x)y a

" x,y > 0

2.4.Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm sốy= f (x)liên tục trên tập D, với D có thể là một đoạn, khoảng,

nửa đoạn hay nửa khoảng

Giả sử cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f (x)trên

tập D, ta lập bảng biến thiên của hàm số y= f (x)trên tập D, dựa vào bảng

biến thiên để kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 15 Với a,b,c thỏa mãn điều kiện 1£a £ b £ c £ 4

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Ví dụ 16 Cho tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = (1+cos2A)(1+cos2B)(1+cos2C)

Ví dụ 17 Cho a ,b ,c ³ 0; ab+bc+ca= 1 (1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

P =

b a

ab

+

+ 1

+

c b

bc

+

+ 1

+

a c

ca

+

+ 1

Bài tập 1 Cho x , y là hai số thực thỏa mãn x2+ y2 = 2

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P = 2 (x3+y3) - 3xy

Bài tập 2 Giả sử x,y,zlà các số thực dương thỏa mãn điều kiện

1

= +

+yz zx

xy Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của biểu thức

vz uy

x + + bằng 2t , trong đó t là nghiệm của phương trình:

uv x v

u

x3 + + + 2 +

) 1 (

Bài tập 3 Cho x , y là các số thực thay đổi

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

) 1

(x- + y + 2 2

) 1 ( +x +y + y- 2

2.5 Ứng dụng đạo hàm vào giải phương trình, bất phương trình

ö ç è

æ x x

= 2 (1)

Ví dụ 19 Giải phương trình: log2 [ 3log2(3 x – 1) – 1] = x

Ví dụ 20 Giải và biện luận theo tham số a phương trình:

Ví dụ 24 Tìma,b để bất phương trình sau nghiệm đúng " x

cos 4x+acos 2x+bsin 2x³ - 1

Bài tập 1 Giải phương trình: log2 x

3 + =

Bài tập 5 Giải phương trình: xlog23 +5log2x =2x2

Bài tập 6 Giải bất phương trình: x x x

4 2 5

3 + >

Bài tập 7 Giải bất phương trình: x x x x

6 3 11 4

3 + + ³

Bài tập 8 Giải phương trình: log 11x log 11x x log 11x

6.34

ì

+

= +

+

= +

x y

y x

y x

3 2 2

3 2 2

Ví dụ 26 Giải hệ phương trình:

ï î

ï í ì

= + - +

+

-= + - +

+

-= + - +

+

-x z

z z

z

z y

y y

y

y x

x x

x

) 1 ln(

3 3

) 1 ln(

3 3

) 1 ln(

3 3

2 3

2 3

2 3

Ví dụ 27 Giải hệ phương trình:

ï î

ï í

ì

= + -

= + -

= +

-0 25 60

36

0 25 60

36

0 25 60

36

2 2

2 2

2 2

x z

x z

z y

z y

y x

y x

Bài toán: Giải hệ phương trình:

ï î

ï í

) (

) (

x f z

z f y

y f x

Nếu f (t)đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì suy ra x= y=z

Thay x= y=zvào hệ rồi giải phương trình x= f (x)

ì

+

= +

+

= +

x y

y x

3 2

3 2

log 1 3 log

log 1 3 log

Bài tập 2 Giải hệ phương trình:

ï î

ï í ì

+ +

= +

+ +

= +

+ +

= +

x x x z

z z z y

y y y x

2 3

2 3

2 3

1 2

1 2

1 2

Ví dụ 28 Giải hệ bất phương trình:

ïî

ï í

ì

>

+ + -

<

-0 9 5 3 3 1

0 log

log

2 3

2 2 2

2

x x x

x x

Ví dụ 29 Giải hệ bất phương trình:

ïî

ï í

ì

-³

+ -

£ -

+ -

x

x x

x

x x

3 3

3 4 3

2 cos

< tanb- tana <

b

a b

2 cos

b m

Ví dụ 35 Chứng minh rằng phương trình:

acosx+bcos 2x+ccos 3x= 0

có nghiệm với mọi a ,,b c

Nhận xét: Phương trình

0 ) ( cos

) ( cos )

( sin

) ( sin )

y a1sin f1(x) +a2sin f2(x) + +a nsin f n(x) +b1cosg1(x) + +b mcosg m(x) tuần

hoàn với chu kỳ T=kp(kÎN)

2.7.4 Ứng dụng định lí Lagrange vào giải phương trình

Ví dụ 38 Giải phương trình: 4log 3x +2log 3x =2x

Ví dụ 39 Giải phương trình: 3cosx - 2cosx = cosx

CHƯƠNG 3 THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM

3.1 Mục đích và nhiệm vụ thử nghiệm

3.1.1 Mục đích của thử nghiệm

Thử nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm định tính khả thi và tính hiệu quả của đề tài

3.1.2 Nhiệm vụ của thử nghiệm

- Biên soạn tài liệu và dạy thử nghiệm nội dung: “Rèn luyện tư duy sáng tạo của học sinh trung học phổ thông thông qua các bài tập về ứng dụng của đạo hàm”

- Đánh giá kết quả thử nghiệm

3.2 Phương pháp thử nghiệm

Dùng phương pháp thử nghiệm đối chứng, dạy thử nghiệm theo hướng rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua các bài tập về ứng dụng của đạo hàm ở một số lớp 12 trường THPT Kiến An, THPT Ngô Quyền, Thành phố Hải Phòng

3.3 Nội dung thử nghiệm sư phạm

3.3.1 Chọn nội dung thử nghiệm

Dạy thử nghiệm các tiết học về ứng dụng của đạo hàm theo cách phân loại có hệ thống như trong luận văn nhằm rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh và theo phương pháp khác tại trường THPT ở Hải Phòng ( Nội dung “ Ứng dụng đạo hàm vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số”, Nội dung “ Ứng dụng đạo hàm vào giải hệ phương trình, hệ bất phương trình”)