Một số bài toán Tổ hợp Xác suất (có đáp án)

Câu 1. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 học sinh: 1) Thành một hàng dọc. 2) Vào một bàn tròn và không có sự phân biệt giữa các ghế. Câu 8. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng, 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong 4 viên bi lấy ra không có đủ 3 màu? Câu 10. Cho đa giác đều , nội tiếp trong đường tròn . Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n đỉnh , tìm n.

Trang 1

Hướng tư duy một số bài toán

Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp

Nhắc lại công thức

1) Hoán vị P n n! 1.2.3  n;

2) Tổ hợp

 ! 

k n

n C

k n k



 ;

3) Chỉnh hợp

 ! !

k n

n A

n k



 ;

Câu 1 Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 học sinh:

1) Thành một hàng dọc

2) Vào một bàn tròn và không có sự phân biệt giữa các ghế

Hướng dẫn

1) Mỗi các xếp 5 học sinh này thành một hàng là một hoán vị của 5 phần tử

Do đó, số cách sắp xếp là 5! 120 cách

2) Do không có sự phân biệt giữa 5 vị trí trên bàn tròn, nên nếu xoay bàn theo một góc bất kì thì thu được hoán vị giống với cách xếp ban đầu Nói cách khác, do có 5 người, mỗi hoán vị sẽ có lặp lại 5 lần

Cách 1

Trang 2

 Cố định 1 người vào vị trí bất kì để cố định bàn tròn lại Khi đó, sắp xếp 4 người còn lại có 4! 24 cách

Cách 2

 Xếp 5 người quanh bàn có tất cả 5! 120 cách

 Nhưng do mỗi hoán vị bị lặp 5 lần khi ta xoay bàn tròn đủ một vòng, nên số

hoán vị khác nhau thực tế là 120 24

5  cách

Câu 2 Với 6 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số gồm 7 chữ số trong đó chữ

số 6 có mặt hai lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần

Hướng dẫn

Nhận xét: Số cần lập có 2 chữ số 6 và 5 chữ số khác, như vậy sử dụng vừa hết 6 chữ số đã cho

1) Cách 1 Số cần lập có dạng a a1 2 a 7

 Do yêu cầu có 2 số 6, ta chọn 2 vị trí cho 2 số 6 này trước, có 2

7

C cách

(Khi đó còn lại vừa đúng 5 số, không cần chọn nữa)

 Sắp xếp 5 số còn lại có 5! cách

Như vậy, tổng cộng lập được 2

7.5! 2520

2) Cách 2 Số cần lập có dạng a a1 2 a 7

 Sắp xếp 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 vào 5 trong 7 vị trí trên, có 5

7

A cách

 2 vị trí còn lại là 2 chữ số 6, vì giống nhau nên chỉ có 1 cách

Như vậy, tổng cộng lập được 5

7.1 2520

Câu 3 Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số; mỗi số gồm 5 chữ số

đôi một khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 5

Hướng dẫn

Nhận xét: Khác với bài trước, ta không sử dụng hết 7 chữ số đã cho; và các số đã cho bao gồm số 0 nên sẽ có những dãy số bắt đầu bằng 0 cần phải loại đi

Số cần lập có dạng abcde a, 0

1) Cách 1: Chọn vị trí số 5 trước – Làm ngược

 Xét tất cả các dãy số lập được (bao gồm cả các dãy bắt đầu bằng số 0)

 Do yêu cầu phải có số 5, chọn vị trí cho số 5 trước, có 5 cách

 Chọn 4 số từ 6 số còn lại và sắp xếp chúng, có 4

6

A cách

Như vậy, lập được tất cả 4

6

5A dãy số



Trang 3

 Chọn vị trí cho số 5, có 4 cách

 Chọn 3 số từ 5 số còn lại và sắp xếp chúng, có 3

5

A cách

Như vậy, có tất cả 3

5

4A dãy bắt đầu bằng số 0

Suy ra, số các số thỏa mãn đề bài là 5A64 4A53 1560 số

2) Cách 2: Chọn vị trí số 5 trước – Làm xuôi

 TH1: Số 5 ở vị trí đầu tiên

 Chọn vị trí số 5, có 1 cách (vị trí đầu tiên)

 Chọn 4 số trong 6 số còn lại và sắp xếp chúng vào 4 vị trí bcde, có A cách 64

Như vậy, lập được 4 4

6 6

1.A  A số

 TH2: Số 5 không ở vị trí đầu

 Chọn vị trí cho số 5, có 4 cách (b, c, d hoặc e)

 Khi đó, cần chọn số a trước (để đảm bảo a0), có 5 cách (do a0, a5)

 Chọn 3 số trong 5 số còn lại và sắp xếp chúng vào 3 vị trí còn lại, có 3

5

A cách

Như vậy, lập được 3

5

4.5.A số

Tổng cộng, ta lập được A64 4.5.A53 1560 số thỏa mãn đề bài

3) Cách 3: Chọn 4 số khác số 5 trước

 Xét tất cả các dãy số lập được (bao gồm các các dãy bắt đầu bằng 0)

 Chọn 4 số khác số 5 và sắp xếp chúng, có 4

6

A cách

 Khi đó, có 5 vị trí trống; xếp số 5 vào 1 trong 5 vị trí này, có 5 cách

6

5.A dãy số như vậy

 Xét các dãy số bắt đầu bằng số 0 có dạng 0bcde

 Chọn 3 số khác số 5 từ 5 số còn lại (1, 2, 3, 4, 6), có 3

5

C cách

 Xếp 3 số trên vào 3 trong 4 vị trí phía sau số 0, có 3

4

A cách

 Xếp số 5 vào vị trí còn lại, có 1 cách

Như vậy, có tất cả 3 3

5 4.1

C A dãy số bắt đầu bằng số 0

Lưu ý: Cũng có thể hiểu quá trình này như sau:

o Chọn và sắp xếp 3 số khác 0 và 5 từ 7 số ban đầu, có 3

5

A cách

o Khi đó tạo ra 4 vị trí trống, số 5 được xếp vào 1 trong 4 vị trí, có 4 cách

o Xếp số 0 phía trước 4 số đó, có 1 cách

Như vậy, có 3

5

4A 240 dãy số như vậy

Trang 4

Suy ra, số các số thỏa mãn để bài là 5.A64 C A53 43.1 1560 số

4) Cách 4: Làm ngược – Xét các số không bao gồm số 5

 Xét tất cả các số gồm 5 chữ số khác nhau

 Số các dãy số (bao gồm các các dãy bắt đầu bằng 0) lập được là 5

7

A

 Trong đó có 4

6

A dãy bắt đầu bằng số 0 (bằng số cách chọn và sắp xếp 4 số

khác nhau từ 6 số còn lại vào 4 vị trí sau số 0)

Như vậy, lập được tất cả 5 4

7 6 2160

A A  số

 Xét các số không có số 5

Tương tự lập luận trên, lập được 5 4

6 5 600

A A  số

Suy ra, lập được tất cả 2160 600 1560 số thỏa mãn đề bài

Câu 4 Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 5 chữ số đôi

một khác nhau

Hướng dẫn

Số cần lập có dạng abcde a, 0,e0; 2; 4;6

Nhận xét: Điều kiện của số a a0 và số e e0; 2; 4,;6  phụ thuộc lẫn nhau (nếu

2; 4; 6

a thì e có 3 cách chọn, nếu a1;3;5 thì e có 4 cách chọn và ngược lại, e0 thì

a có 6 cách chọn, e2; 4;6 thì a có 5 cách chọn)

1) Cách 1: Làm xuôi – Chia trường hợp theo số e

 TH 1: e0

 Chọn e có 1 cách e0

 Chọn số a, có 6 cách a1, 2,3, 4,5, 6 

 Chọn 3 số khác nhau từ 5 số còn lại và sắp xếp chúng, có 3

5

A cách

Như vậy, lập được 3 3

1.6.A 6.A số như vậy

 TH 2: e2; 4;6

 Chọn số e, có 3 cách ( e2, e4 hoặc e6)

 Chọn số a có 5 cách (a khác số e và a 0)

5

A cách

5

3.5.A số như vậy

Tổng cộng lập được 6.A53 3.5.A53 1260 số thỏa mãn đề bài

2) Cách 2: Làm xuôi – Chia trường hợp theo số a

Trang 5

 TH 1: a2; 4;6

 Chọn số a, có 3 cách (a 2, a 4 hoặc a6)

 Khi đó, chọn số e chỉ còn 3 cách ( e chẵn và khác số a)

5

A cách

5

3.3.A trong trường hợp này

 TH 2: a1;3;5

 Chọn số a, có 3 cách (a1, a3 hoặc a5)

 Khi đó, chọn số e có 4 cách (e0; 2; 4;6)

5

A cách

5

3.4.A số trong trường hợp này

Tổng cộng lập được 3.3.A53 3.4.A53 1260 số thỏa mãn đề bài

3) Cách 3: Làm ngược – Tìm số các số lẻ lập được

Nhận xét: Điều kiện của số cho số e trong trường hợp này là e1;3;5.Khi đó, nếu chọn số e trước thì sẽ không ảnh hưởng đến số a (nhưng nếu chọn a trước thì số e vẫn

bị ảnh hưởng)

 Xét tất cả các số lập được gồm 5 chữ số khác nhau abcde a, 0,

 Chọn a có 6 cách (a0)

6

A cách

Như vậy, lập được tất cả 4

6

6A số

(Lưu ý: Cũng có thể tính bằng 5 4

7 6 2160

A A  : Tất cả các dãy gồm 5 số khác nhau, trừ đi số dãy bắt đầu bằng số 0)

 Xét các số lẻ lập được

 Chọn số e có 3 cách (e1, e3 hoặc e5)

 Chọn số a khi đó có 5 cách (a0 và a khác số e)

5

A cách

5

3.5.A số lẻ

Suy ra, số các số chẵn lập được là 6A64 3.5.A53 1260 số

Câu 5 Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kĩ sư Để lập một tổ công tác cần chọn một kĩ

sư làm tổ trưởng, một công nhân làm tổ phó và năm công nhân làm tổ viên Hỏi có bao nhiêu cách thành lập tổ công tác?

Hướng dẫn

Trang 6

Nhận xét: Bài toán gồm 3 bước: Chọn 1 tổ trưởng; chọn 1 tổ phó và chọn 5 tổ viên Trong

đó, riêng tổ trưởng được chọn từ 3 kĩ sư, hoàn toàn riêng biệt với 6 người còn lại nên thứ tự của bước này không ảnh hưởng phép tính 1 tổ trưởng và 5 tổ viên đều được chọn từ 10 công nhân nên 2 bước này có ảnh hưởng đến nhau

1) Cách 1: Chọn tổ phó trước, tổ viên sau

 Chọn tổ trưởng từ 3 kĩ sư, có 3 cách

 Chọn tổ phó tử 10 công nhân, có 10 cách

 Chọn 5 tổ viên từ 9 công nhân còn lại, có 5

9

C cách

9 3.10.C 3780 cách thành lập tổ công tác

2) Cách 2: Chọn tổ viên trước, tổ phó sau

 Chọn tổ trưởng từ 3 kĩ sư, có 3 cách

 Chọn 5 tổ viên từ 10 công nhân, có 5

10

C cách

 Chọn tổ phó từ 5 công nhân còn lại, có 5 cách

10

3.C 53780 cách thành lập tổ công tác

3) Một số hướng tương tự (nhưng thường không ai làm :D )

 Chọn tổ phó, tổ viên rồi chọn tổ trưởng, phép tính là 5

9

10.C 33780 cách

 Chọn tổ phó, tổ trưởng rồi chọn tổ viên, phép tính là 10.3.C95 3780 cách

 Chọn tổ viên, tổ trưởng rồi chọn tổ phó, phép tính là 5

10.5.3 3780

 Chọn tổ viên, tổ phó rồi chọn tổ trưởng, phép tính là 5

10.3.5 3780

4) Hướng tư duy ngược (chắc cũng không ai làm :D)

Nhận xét: Số cách chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng bằng số cách chọn 2 kĩ sư còn lại (không làm tổ trưởng); và thay vì chọn tổ phó và tổ viên trước, ta có thể chọn 4 công nhân còn lại (4 người cuối cùng không tham gia vào tổ công tác)

Ví dụ

 Chọn 2 kĩ sư không tham gia vào tổ công tác, có C cách (thì dĩ nhiên người 32 còn lại là tổ trưởng)

 Chọn tổ phó từ 10 công nhân, có 10 cách

 Chọn 4 công nhân không tham gia công tác từ 9 công nhân còn lại, có C 94 cách (5 người còn lại dĩ nhiên chính là các tổ viên tham gia công tác)

Như vậy, có tất cả 2 4

3.10 9 3780

Tương tự với cách tính phổ biến phía trên, ta cũng có thể đổi thứ tự các bước trên, dẫn đến các phép tính khác nhau và đều đi đến kết quả cuối cùng là 3780 cách

Trang 7

Câu 6 Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và bốn chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5

Hỏi có bao nhiêu số như vậy, nếu:

1) Năm chữ số 1 xếp kề nhau

2) Các chữ số 1 được xếp tùy ý

Hướng dẫn

1) Năm chữ số 1 được xếp kề nhau

 Sắp xếp 4 chữ số 2, 3, 4, 5 tùy ý, có 4! cách

 Khi đó có 5 chỗ trống Do 5 số 1 xếp kề nhau (coi như 1 số) nên chúng được xếp vào 1 trong 5 chỗ trống đó, có 5 cách

Như vậy, lập được 4!.5 120 số

Nhận xét: Cách hiểu khác

 Coi 5 số 1 là 1 số (do đứng liền nhau) Như vậy ta có tất cả 5 chữ số Số cách lập là hoán vị của 5 số này, bằng 5! 120 số

 Xem như ta có 9 vị trí 123456789 để xếp 9 số trên Chọn 5 vị trí kề nhau cho

5 số 1, có 9 5 1  5 cách (là các dãy vị trí

12345, 23456, 34567, 45678, 56789) Hoán vị 4 chữ số 2, 3, 4, 5 vào 4 vị tí còn lại, có 4! cách Nên số cách là 5.4! 120

2) Năm chữ số 1 được xếp tùy ý

a) Cách 1: Quy tắc nhân

 Xếp 5 chữ số 1 trước Do 5 số giống nhau nên chỉ có 1 cách

 Khi đó, có 6 chỗ trống, xếp số 2 vào 1 trong 6 vị trí đó, có 6 cách

Như vậy, lập được 1.6.7.8.9 3024 số

b) Cách 2: Hoán vị

 Sắp xếp cả 9 chữ số một cách tùy ý, có 9! cách

 Tuy nhiên, nếu như chỉ hoán vị 5 số 1 thì sẽ tạo được số không đổi Nói cách khác, mỗi số lập được bị lặp 5!

Do đó, thực tế chỉ lập được 9! 3024

5! số

c) Cách 3: Chính hợp – Tổ hợp – Xếp 5 số 1 trước

 Coi như có trước 9 vị trí để xếp 9 chữ số trên

 Chọn 5 trong 9 vị trí trên để xếp 5 số 1, không phân biệt thứ tự, có 5

9

C cách

Trang 8

 Hoán vị 4 chữ số 2, 3, 4, 5 vào 4 vị trí còn lại có 4! cách

9.4! 3024

d) Cách 4: Chính hợp – Tổ hợp – Xếp 5 số 1 sau

 Coi như có trước 9 vị trí để xếp 9 chữ số trên

 Chọn 4 vị trí để xếp 4 chữ số 2, 3, 4, 5; có phân biệt thứ tự, có A cách 94

 5 vị trí còn lại là 5 số 1, có 1 cách

9.1 3024

Câu 7 Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp Hỏi có bao nhiêu cách cử 3

người đi dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất một cán

bộ lớp

Hướng dẫn

1) Cách 1: Làm xuôi

Để trong 3 người, có ít nhất 1 người là cán bộ lớp, ta có 2 TH: 1 cán bộ lớp và 2 học

sinh khác hoặc 2 cán bộ lớp và 1 học sinh khác (chỉ có 2 cán bộ lớp nên không có TH

cả 3 đều là cán bộ lớp)

 TH 1 Có 1 cán bộ lớp và 2 học sinh khác

 Chọn 1 cán bộ lớp, có 1

2

C cách

 Chọn thêm 2 học sinh từ 18 học sinh khác, có 2

18

C cách

 Như vậy, trường hợp này có 1 2

2 18

C C cách

 TH 2 Có 2 cán bộ lớp và 1 học sinh khác

Tương tự TH 1, trường hợp này có 2 1

2 18

C C cách

Như vậy, tổng cộng có 1 2 2 1

2 18 2 18 324

C C C C  cách chọn

Lưu ý: Trong cả 2 TH, bước chọn cán bộ lớp và chọn học sinh khác hoàn toàn độc lập, nên thực hiện bước nào trước cũng được

2) Cách 2: Làm ngược

Số cách chọn thỏa mãn đề bài bằng tổng số cách chọn 3 học sinh khác nhau, trừ đi số cách chọn 3 học sinh mà không có cán bộ lớp

 Tổng số cách chọn 3 học sinh khác nhau là C 203

 Trong đó, số trường hợp chọn mà không có cán bộ lớp là 3

18

C (cả 3 học sinh

đều nằm trong nhóm 18 học sinh khác)

Như vậy, số cách chọn thỏa mãn yêu cầu là 3 3

20 18 324

C C  cách

Trang 9

Câu 8 Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng, 6 viên bi vàng Người ta chọn ra 4 viên bi

từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong 4 viên bi lấy ra không có đủ 3 màu?

Hướng dẫn

1) Cách 1 Làm ngược

Số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bằng số cách chọn 4 viên khác nhau trừ đi số cách chọn sao cho có đủ 3 màu

 Số cách chọn 4 viên khác nhau từ tổng số 15 viên bi là 4

15

C cách

 Ta tìm số cách chọn 4 viên sao cho có đủ 3 màu

Lưu ý: Cách làm sai thường gặp

 Để có đủ 3 màu, chọn mỗi mãu 1 viên; viên thứ 4 thì chọn tự do trong tất cả

số bi còn lại

 Như vậy, chọn 1 viên đỏ có 4 cách; 1 viên trắng có 5 cách; 1 viên vàng có 6 cách Viên cuối cùng chọn tùy ý trong 12 viên còn lại, có 12 cách

 Do đó, tổng số có 4.5.6.12 1440 cách chọn 4 viên có đủ 3 màu

Tuy nhiên, để ý một chút sẽ thấy ngay, con số 1440 này lớn hơn cả tổng số cách chọn

là C154 1365 cách Rõ ràng đây là một lập luận sai!

Để 4 viên bi có đủ 3 màu, ta có 3 khả năng:

 TH 1: 1 viên đỏ, 1 viên trắng, 2 viên vàng Số cách là 1 1 2

4 5 6

C C C

4 5 6

C C C

4 5 6

C C C

Vậy tổng số cách chọn có đủ 3 màu là C C C41 15 62 C C C41 52 61 C C C42 51 61 720

Vậy số cách chọn mà không có đủ 3 màu là C154 720645

2) Cách 2 Làm xuôi: Tính 2 TH: 4 viên cùng màu và 4 viên có đúng 2 màu

Nhận xét: Số viên bi mỗi màu (4, 5 và 6) đều bằng hoặc lớn hơn số viên bi cần chọn (4 viên) Do đó ta sẽ có cả 3 khả năng mà 4 viên bi cùng 1 màu

a) 4 viên bi cùng 1 màu: Có 3 khả năng

 4 viên đều màu đỏ, có 4

4

C cách

 4 viên màu trắng, có C cách 54

 4 viên màu vàng, có C cách 64

Như vậy, tổng số cách chọn 4 viên cùng 1 màu là 4 4 4

4 5 6 21

C C C  cách b) 4 viên bi gồm đúng 2 màu

 TH 1 Gồm đỏ và trắng (phải có cả 2, không được chỉ 1 trong 2 màu)

Trang 10

 Tổng số cách chọn 4 viên từ 4 viên đỏ và 5 viên trắng, có 4

9

C cách

 Tuy nhiên trong số này gồm 4

4

C trường hợp 4 viên đỏ và C viên trắng không 54

thỏa mãn

Như vậy, số cách chọn 4 viên gồm bi đỏ và trắng là 4 4 4

9 4 5 120

C C C 

 TH 2 Gồm trắng và vàng (phải có cả 2, không được chỉ 1 trong 2 màu)

 Tương tự lập luận ở TH 1, số cách là 4 4 4

11 5 6 310

C C C 

 TH 3 Gồm vàng và đỏ (phải có cả 2, không được chỉ 1 trong 2 màu)

 Tương tự lập luận ở TH 1, số cách là 4 4 4

10 4 6 194

C C C  Như vậy, tổng ssoo cách chọn 4 viên bi có đúng 2 màu là

120 310 194  624 Vậy tổng số cách chọn 4 viên bi không có đủ 3 màu là 21 624 645

Câu 9 Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác nhau đôi một được thành lập bằng cách dùng 7

chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 sao cho 2 chữ số chẵn không nằm liền nhau

Hướng dẫn

1) Cách 1: Làm xuôi

 Sắp xếp 5 chữ số lẻ một cách tùy ý, có 5! cách

 Khi đó, tạo ra 6 vị trí trống Để 2 số lẻ không nằm liền nhau, ta cần xếp chúng (có thứ tự) vào 2 trong 6 vị trí trên, có 2

6

A cách

Như vậy, ta lập được 2

6

5!.A 3600 số

2) Cách 2: Làm ngược

Số cách xếp thỏa mãn đề bài bằng số cách xếp 7 chữ số tùy ý, trừ đi số cách xếp sao cho 2 chữ số chẵn kề nhau

a) Số cách xếp 7 chữ số đã cho tùy ý là 7!

b) Ta tìm số cách xếp sao cho 2 chữ số chẵn kề nhau

 Cách 1

 Xếp 5 chữ số lẻ trước tùy ý, có 5!

 Khi đó, có 6 chỗ trống Để 2 chữ số chẵn kề nhau, ta xếp cả 2 số vào 1 trong 6 vị trí trên, có 6 cách

 Do 2 số chẵn khác nhau, hoán vị 2 số chẵn có 2! cách

Vậy số cách xếp để 2 số chẵn kề nhau là 5!.6.2! 1440

 Cách 2

 Xếp 2 chữ số chẵn kề nhau trước, có 2! cách

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	708,78 KB