Phương pháp chi tiết giải một số hệ phương trình không mẫu mực

Tài liệu phân tích chi tiết hướng giải một số hệ phương trình không mẫu mựcGiúp các em học sinh lớp 10 và ôn thi trung học phổ thông quốc gia tự tin khi đi giải hệ phương trình. Nó cũng là tài liệu giúp các GV trong quá trình giảng dạy

Một số kỹ thuật trong phương pháp biến đổi tương đương để giải hệ phương trình được tác giả phân loại như sau:

1 Loại 1: Nhân chéo đưa về phương trình hệ quả (việc nhân chéo

thường đưa về phương trình đẳng cấp)

VD1 : Giải hệ phương trình:

2 ( − ) = 3 (1)( + ) = 10 (2)

HD: Chúng ta nhận thấy vế trái của phương trình (1) và (2) đều chứa

các số hạng bậc 3 và vế phải đều chứa các số hạng bậc 1 vì vậy nếu nhân chéo hai phương trình trên và rút gọn, ta sẽ được phương trình đồng bậc 4 (đẳng cấp) Từ suy nghĩ này ta có cách giải quyết

hệ phương trình như sau: Nhân chéo hai phương trình trong hệ ta được:

TH1: = 0, thay vào hệ ta suy ra = 0

TH2: ≠ 0, chia cả hai vế của phương trình (3) cho ta được:

√135

Tuy nhiên không phải hệ phương trình nào cũng có thể nhân chéo được ngay mà đôi khi chúng ta phải thực hiện qua một vài phép biến đổi để đưa những số hạng đồng bậc về cùng một vế của phương trình Đôi khi việc đó đơn giản chỉ là chuyển vế - đổi dấu

− 8 + 12 = 0 Giải phương trình rồi thử lại vào hệ

VD5 : Giải hệ phương trình:

+ 4 − − 16 = 0 (1)

= 5 + 4 (2)HD: Ta biến đổi đưa hệ phương trình về dạng:

− = 16 − 4 (1)

− 5 = 4 (2)Nhân chéo hai phương trình trong hệ đưa về phương trình đồng bậc

(7 − 4 )(3 + ) = 0 Giải phương trình rồi thử lại vào hệ

ĐS: (0; 2); (0; −2); (1; −3); (−1; 3)

KL: Đối với loại 1 thì học sinh cần tinh ý và khéo léo thực hiện các bước biến đổi sao cho gọn gàng và đặc biệt cần nhớ: Một là nhất thiết sau khi nhân chéo thì phải đưa về phương trình đẳng cấp; hai là phương pháp này chỉ đưa về phương trình hệ quả, học sinh cần kiểm tra lại bằng cách thay nghiệm vào hệ ban đầu

2 Loại 2: Phương pháp Rút Thế Trong hệ có 1 phương trình mà ta có

thể rút được ẩn này theo ẩn kia sau đó đưa phương trình còn lại trở thành phương trình với 1 biến Đây là phương pháp truyền thống mà

có lẽ chúng ta cũng thường xuyên nghĩ tới khi gặp một bài hệ phương trình

VD1: Giải hệ phương trình:

+ + 1 = (2)

Trong VD này nếu để ý ở phương trình một sẽ thấy biểu thức + 1 xuất hiện nhiều vì vậy ta sẽ nghĩ tới việc rút được biểu thức này ở phương trình (2) Với lối tư duy đó ta có thể giải quyết bài toán trên như sau:

HD: Dễ thấy = 0 không phải là nghiệm của hệ phương trình

Với ≠ 0 từ (2) ⟹ + 1 = thay vào (1) và nhân khai triển ta được phương trình bậc 4 với biến Dùng giản đồ Hoocne ta được

= 0 ( ạ )

= 1

= −2 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) là (1; −1), (−2; − )

Từ đó suy ra , là nghiệm của phương trình − 2 + 1 = 0

Đến đây ta có thể tìm ra nghiệm của hệ là (1;1)

Đôi khi việc rút thế trở lên rất cồng kềnh (VD4), dễ làm chúng ta nản chí

mà bỏ đi nghĩ cách khác Khổ một nỗi cách khác cũng chưa nghĩ ra, thôi thì đâm lao thì phải theo lao

( + 2)(2 + − 4 + 1) = 0 ĐS: (−2; −1); (1; 2); ( −√ ); √

√ ); ( −√ ); √

√ )

VD7: Giải hệ phương trình:

( + + 1)( + + 1) = 3 (1)(1 − )(1 − ) = 6 (2)

( + ) = 7 (1)

2 + 1+ = 3 (2)

HD: Tìm điều kiện của hệ rồi từ pt(2) ⇒ = 1 − 3 thế vào pt(1)

- Kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử

- Có thể sử dụng máy tính Casio để dự đoán

Bản thân tác giả không khuyến khích cách sử dụng máy tính Casio để

dự đoán mà mong muốn học sinh dựa vào những phép biến đổi tương đương để nhìn ra nhân tử từ đó tự rút ra những kinh nghiệm phân tích cho chính bản thân mình

Trước khi đi tới các ví dụ khó chúng ta cùng tham khảo 3 ví dụ đơn giản sau:

HD: Điều kiện ≠ 0

TH1: = thay vào PT(2) ta được = ±1 từ đó suy ra y

√ Vậy hệ phương trình có 4 cặp nghiệm

(1; 1), (−1; −1), −√3; −

√ , √3;

√

Thực tế trong 3 ví dụ trên chúng ta đều có thể dễ dàng phân tích một

phương trình thành tích các nhân tử Tuy nhiên nếu các nhân tử phức tạp hơn ta cần thêm 1 kỹ năng nhỏ sau để có thể phán đoán được nhân tử cần phân tích

VD4: Giải hệ phương trình:

+ = 2 (2)

HD: Để ý thấy rằng phương trình (2) ta không thể biến đổi gì thêm vậy

ta sẽ tập trung vào phương trình (1) Ta có thể thử đơn giản như sau:

Đến đây ta nhận thấy + = 2 và dự đoán rằng phương trình có nhân

tử + − 2 Để chắc chắn hơn ta tiếp tục

Từ những phân tích trên ta có thể giải bài toán như sau:

Phương trình (1) phân tích được thành

(1; 1); (−1; −1)

Chú ý rằng cách làm trên chỉ là dự đoán chủ quan nên nó có thể đúng, có thể sai, tuy nhiên trong trường hợp không thể nhìn ra nhân tử bằng các cách biến đổi thông thường thì ta cũng nên thử phương án này

Từ kết quả trên ta có thể dự đoán = , = − , = nhưng rõ ràng

để có được 1dự đoán tốt hơn thì chúng ta nên thử thêm vài trường hợp nữa (Có thể kết hợp sử dụng máy Casio để tính toán nhanh hơn)

VD6: Giải hệ phương trình:

2+ = 1 (1)+ = − (2)

Từ (2) và (3) ta dễ dàng tìm được nghiệm của hệ là

ta nghiệm của là 1 + √2 hoặc 1 − √2 Vậy khả năng phương trình luôn có nghiệm = 1 + √2 ; = 1 − √2 Đến đây sử dụng định lý đảo

về dấu của tam thức bậc 2 ta dự đoán phương trình có nhân tử là + 2 − 1 Vậy ta rút ra cách giải như sau:

0; 1 + √2 ; √2; 1 − √2 ; − √2; 1 − √2 ;

1 − √2; 10√2 − 9 ; 1 − √2; − 10√2 − 9 VD:

Dễ thấy cặp ( , ) = (0,5) không phải là nghiệm của phương trình Ở mỗi nhóm thực hiện phép nhân liên hợp ta được:

+ 5 − 2 ( − 1) = 4 + 10 (1)

− 6√2 + 5 + 18 = (2)

HD: pt(1) có thể phân tích được thành (2 − )(2 + + 5) = 0 Suy ra = 2 rồi thay vào pt(2): ( − 2) + (√2 + 5 − 3) = 0

Dễ thấy = = 0 không phải nghiệm của hệ

Bình phương 2 vế của phương trình (1) rồi phân tích được thành:

Suy ra = rồi thay vào phương trình (2)

ĐS: (1; 1)

4 Loại 4: Một phương trình trong hệ có thể coi 1 ẩn là tham số ẩn

kia là biến Chúng ta thường nghĩ tới phương án này nếu việc làm trên đưa về 1 phương trình bậc 2 mà ta có thể giải bằng cách tính ∆

VD1: Giải hệ phương trình:

= (5 + 4)(4 − ) (1)

HD: Đưa PT (2) về dạng: − 2(2 + 4) − 5 + 16 + 16 = 0 (∗) Như vậy phương trình (∗) là một phương trình bậc 2 với biến , ta coi

là tham số

Phương trình (∗) có ∆ = 9

Từ đó giải hệ ta được 3 nghiệm (0; 4), (4; 0), − ; 0

Điểm mấu chốt để sử dụng được phương pháp này là ∆ phải phân tích

ra nghiệm sẽ rất lẻ và sẽ rất khó khăn để đi tiếp

Giải hệ được nghiệm (−2; 1), ;

Đối với những bài toán cần sự tinh tế hơn thì chúng ta thậm chí có thể coi một biểu thức là biến, dưới đây là VD như vậy:

(4 − 1) + 1 = 2 + 2 + 1 (1)

2 − 5 − 2 − 1 = 0 (2)

HD: Coi PT (1) là phương trình bậc 2 với biến √ + 1 với là tham số

Từ đó giải hệ ta được nghiệm (0; 1)

Nếu = −4 thay vào hệ …(Vô lý)

Nếu ≠ −4 thì pt(∗) là phương trình bậc 2 theo biến với ∆ = ( − 11) từ đó đi tới đáp số: (3; 1), (√49; √7),

5 Loại 5: Phương pháp cộng đại số

5.1 Thông thường phép cộng đại số mà chúng ta hay gặp là cộng hoặc trừ tương ứng vế với vế của hai phương trình trong hệ rồi phân tích thành hằng đẳng thức hoặc phân tích thành tích

VD1: Giải hệ phương trình:

⎩

⎨

⎧

1

2 = 2( − ) (1)1

2

1

+ 42 ) 2 = 4 (1)

+ 42 √ = 2 (2) HD: ĐK: > 0, > 0 Hệ phương trình đã cho tương đương với:

1

√2

= 3 1

√2

+ 42 Lấy 2 phương trình và nhân vế với vế

HD : Lấy pt (1) trừ tương ứng pt (2) làm xuất hiện nhân tử chung (x-y)

9

ĐS : 4 + 2√3; 12 + 6√3

5.2 Trong trường hợp khó hơn thì ta phải nhân 1 số vào phương trình có bậc thấp hơn rồi cộng (trừ) tương ứng với phương trình còn lại để đưa về các dạng sau:

biến)

chứa tích xy)

 …

Thường thì chúng ta sẽ để ý tới hằng đẳng thức để biết được cần

nhân vào phương trình nào và là bao nhiêu Điều này được tác giả

trình bày và hướng dẫn trong 6 ví dụ sau:

Giả sử là số ta cần nhân vào phương trình (2), khi đó ta có:

8 − = 63

Sau đó cộng tương ứng hai vế của hai phương trình trong hệ, ta được:

VD6: Giải hệ phương trình:

2 + 3 = 5 (1)+ 6 = 7 (2)

HD: Lấy 4.pt(1) + pt(2) ta được: (2 + ) = 27

Trong các trường hợp khó hơn ta sẽ nhân vào phương trình có bậc thấp hơn sau đó sử dụng thêm kỹ thuật đồng nhất hệ số để có thể đưa phương trình sau khi cộng đại số về phương trình mà ta mong muốn

VD7: Giải hệ phương trình:

6 + 2 + 280 = 0 (1)

HD: Đối với hệ phương trình này ta việc cộng đại số theo tư tưởng

ghép hằng đẳng thức giống như trong các ví dụ trên là rất khó khăn và thậm chí là không làm được Do phương trình thứ nhất của hệ có chứa bậc cao nhất nên ta sẽ nhân vào phương trình thứ hai rồi cộng với phương trình thứ nhất ta được:

Mặt khác ta có thể nhẩm được một nghiệm của hệ là ( ; ) = (1; −5) từ

đó ta sẽ đi tìm các số , , , sao cho phương trình (3) có thể phân tích được thành:

Đến đây ta đồng nhất hệ số với phương trình (3) ta được:

Vậy ta có thể giải quyết bài toán trên như sau:

Nhân 6 vào phương trình (2) rồi cộng với phương trình (1) ta đưa về:

⟺ ( + 5)[6( + 1) + 2( + 5) ] = 0

⟺ = −5

= −5

Ta dễ dàng giải được nghiệm của hệ: (−1; −5); (1; −5)

VD8: Giải hệ phương trình: (tương tự VD7)

ĐS: −3 − 2√2; 1 + √2 ; −3 + 2√2; 1 − √2 ; −3 + √5; √ ;

C.Kết luận

1 Kết quả đạt được

Sáng kiến này đã đạt được một số kết quả sau :

 Hệ thống một số phương pháp biến đổi tương đương trong việc giải hệ phương trình, đặc biệt là các hệ phương trình không mẫu mực Từ đó giúp học sinh có định hướng tốt khi giải một hệ phương trình

 Mặc dù sáng kiến mới chỉ được tác giả áp dụng trong 1 năm đối với lớp

có đa số là học sinh trung bình, khá nhưng tác giả đã nhận thấy tính tích cực của nó rất nhiều Các em không còn bối rối khi giải hệ phương trình và luôn có được định hướng tốt trong các bài tập mà tác giả đưa

ra

2 Bài học kinh nghiệm

 Qua thực tế giảng dạy chúng tôi thấy rằng vấn đề nào dù khó mà giáo viên quan tâm và truyền thụ cho học sinh bằng lòng say mê và nhiệt tình của mình thì sẽ cuốn hút các em vào con đường nghiên cứu

 Với mỗi hệ phương trình không mẫu mực thường có khá nhiều cách giải khác nhau, do đó khi giảng dạy giáo viên cần phát huy tính sáng tạo của học sinh Giáo viên nên hướng dẫn các em hướng đến những cách giải linh hoạt tùy vào đặc tính riêng của từng hệ Luôn chủ động giúp đỡ nếu học sinh có những phương án mà chính các em nghĩ ra

 Nếu mức độ tư duy của học sinh còn hạn chế thì khi giảng dạy nội dung này giáo viên cần hết sức bình tĩnh, từng bước dẫn các em phân tích đặc điểm riêng của từng hệ phương trình

3 Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm

Với sáng kiến kinh nghiệm này hy vọng góp thêm một tài liệu cho quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp ; giúp các em học sinh có thêm những kinh nghiệm cho loại toán này, từ đó tự tin hơn khi gặp những dạng bài trên

4 Đề xuất kiến nghị và khả năng áp dụng

Sáng kiến kinh nghiệm này có thể triển khai như một chuyên đề để bồi dưỡng học sinh giỏi ; cũng như dùng để giảng dạy cho các em học sinh ôn tập thi vào cấp 3,học sinh lớp 10 và học sinh ôn thi kì thi THPT Quốc gia nhằm giúp các em học sinh có thể vượt qua trở ngại tâm lí từ trước tới nay cho loại bài toán này

Tác giả mong muốn sáng kiến kinh nghiệm này được công nhận và có thể được sử dụng rộng rãi trên địa bàn tỉnh Hưng Yên

5 Lời cam đoan của tác giả

Đây là sáng kiến kinh nghiệm của tôi trực tiếp thực hiện, không sao chép nội dung của người khác

Họ tên, chữ ký của tác giả

Đỗ Trung Hiếu

Tài liệu tham khảo

1 Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ

2 Một số chuyên trang toán học trên mạng internet

3 Đề thi đại học qua các năm