MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài Trong chương trình hình học lớp 10 có một số bài toán về elip khiến giáo viên và học sinh lúng túng trong việc tìm hướng giải như các bài toán về sự vị trí 1
Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 1
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÉP CO TRONG MẶT PHẲNG VÀ ỨNG DỤNG
Người thực hiện: Lê Ngọc Phương Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2017
Trang 2MỤC LỤC
Phần 1 MỞ ĐẦU
1.5 Những điểm mới của sáng kiến
kinh nghiệm
3
Phần 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp
dụng sáng kiến kinh nghiệm
7
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Phần 3 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
TÀI LIỆU THAM KHẢO 16
DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP
CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Phần 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài
Trong chương trình hình học lớp 10 có một số bài toán về elip khiến giáo viên và học sinh lúng túng trong việc tìm hướng giải như các bài toán về sự vị trí
1 12
Trang 3tương đối giữa điểm, đường thẳng và elíp hay các các bài toàn về cực trị của elip…
Trong quá trình giảng dạy tôi phát hiện ra có một cách giải quyết nhẹ nhàng các bài toán trên đó là sử dụng “Phép co trong mặt phẳng” Vì vậy tôi đã đưa ra
sáng kiến kinh nghiệm với tiêu đề “Phép co trong mặt phẳng và ứng dụng”
nhằm giúp thầy cô và học sinh giải quyết một số bài toán liên quan đến elip đồng thời xây dựng cho học sinh có những suy nghĩ mở rộng hơn, sáng tạo hơn đối với ứng dụng của phép co trong mặt phẳng
1.2 Mục đích nghiên cứu
Với mục đích thứ nhất là rèn luyện khả năng sáng tạo Toán học, trước mỗi bài tập tôi thường cho học sinh tìm nhiều cách giải, đồng thời người thầy giáo, cô giáo cũng phải gợi ý và cung cấp cho học sinh nhiều cách giải Trên cơ sở đó học sinh tự tìm ra cách giải hợp lý nhất Phát hiện ra được cách giải tương tự và khái quát phương pháp đường lối chung Trên cơ sở đó với mỗi bài toán cụ thể các em
có thể khái quát hoá thành bài toán tổng quát và xây dựng các bài toán tương tự
Thứ hai đó là mong muốn bổ sung phương pháp bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi trước đến nay Xây dựng một phương pháp mới đó là rèn luyện khả năng sáng tạo Toán cho học sinh sao cho mọi lúc mọi nơi các em có thể tự phát huy năng lực độc lập sáng tạo của mình
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán về sự vị trí tương đối giữa điểm, đường thẳng và elíp; các các bài toán về cực trị của elip…
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
+ Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài
+ Phương pháp quan sát (hoạt động dạy - học của giáo viên và HS)
+ Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn ) + Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và HS thông qua trao đổi trực tiếp)
+ Phương pháp thực nghiệm
Trang 41.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
Dù lĩnh vực được đề cập đến trong SKKN tương đối hẹp Nhưng cở sở lý
luận và phương pháp sử dụng “Phép co” để giải quyết những bài toán khó về elip
trong đề tài đã nêu có thể nói chưa xuất hiện trong bất cứ tài liệu bồi dưỡng và luyện học sinh giỏi nào Nó tạo ra sự kích thích và hấp dẫn tính sáng tạo của cả giáo viên và học sinh
Phần 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí thuyết
Việc SGK đề cập đến mối liên hệ giữa đường elip và đường tròn qua phép
co về trục hoành theo một hệ số cho trước, khiến ta có thể chuyển việc việc giải
3
Trang 5quyết các bài toán về elip sang việc giải quyết các bài toán về đường tròn dựa trên
cơ sở của phương pháp “Phép co trong mặt phẳng”
Dựa vào SGK & Sách bài tập Hình học 10 Nâng cao, tác giả đã xây dựng một hệ thống lý thuyết về phép co trong mặt phẳng nhằm phục vụ cho nhu cầu giải toán của các học sinh khá giỏi Để chuẩn bị cho phần cơ sở lý thuyết, tác giả
đã nghiên cứu kỹ lý thuyết về phép co (trang 101, 102 – SGK Hình học 10 nâng cao; trang 113 – Sách bài tập Hình học 10 nâng cao) Sau đó tác giả tiến hành phân loại các bài toán về elip trong các đề luyện thi đại học, lựa chọn các bài toán
có thể giải bằng phép co để làm ví dụ minh họa cho bài viết Cụ thể như sau:
2.1.1 Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho một đường thẳng cố định và một số k dương Gọi
H là hình chiếu vuông góc của M lên , phép đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng thành điểm M’ sao cho HM ' k HM
được gọi là phép co về trục theo hệ số k (h
1)
2.1.2 Một số tính chất của phép co
a Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ta có:
+ Phép co về trục Ox theo hệ số k biến điểm Mx M;y M thành điểm
'; '
' x M y M
M M
M M
ky y
x x
' '
Chứng minh: Ta có H(x M; 0 ) nên
HM k
H M H
M
H M H
M
y y k y y
x x k x x
'
'
M M
M M
ky y
x x
' '
+ Phép co về trục Oy theo hệ số k biến điểm Mx M;y M thành điểm
'; '
' x M y M
M M
M M
y y
kx x
' '
Chứng minh: Ta có H( 0 ;y M) nên
HM k
H M H
M
H M H
M
y y k y y
x x k x x
'
'
M M
M M
y y
kx x
' '
b Phép co biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng
M' M
H
Hình 1
Trang 6B'
A'
B
A
Δ
C≡C'
Chứng minh: Cho 3 điểm A,B,C thẳng hàng, ta chọn hệ trục Oxy sao cho trục
Ox
Gọi Ax1; y1, Bx2; y2, Cx3; y3 và phép co về trục theo hệ số k biến 3 điểm A,B,C thành 3 điểm A' ,B' ,C', ta có A'x1;ky1, B'x2;ky2,
3; 3
' x ky
C , suy ra ABx2 x1;y2 y1; AC x3 x1 ;y3 y1 và
'
'B x2 x1 k y2 y1
A A'C' x3 x1 ;ky3 y1 Nếu 3 điểm A,B,C nằm trên
đường thẳng d vuông góc với trục hoành thì dễ thấy 3 điểm A' ,B' ,C' cũng thuộc
góc với Ox, khi đó vì AB và AC cùng phương nên
1 3
1 2 1 3
1 2
y y
y y x x
x x
3 1
1 2 1
3
1 2
y y k
y y k x x
x x
,
từ đó suy ra A ' B' và A 'C' cùng phương hay 3 điểm A' ,B' ,C' thẳng hàng
Tương tự, ta chứng minh được tính chất sau đây:
c Giả sử AB và CD là 2 đoạn thẳng song song và phép co về trục theo hệ số k biến đoạn AB thành đoạn A’B’, biến đoạn CD thành đoạn C’D’ thì
' ' //
' 'B C D
A và C A D B CD AB
' '
' '
d Nếu phép co về trục theo hệ số k biến
ABC
thành A'B'C' thì SA' C' kSABC
Chứng minh: Ta xét các trường hợp sau
- Nếu BC thuộc thì BB' ,CC' (h
2), do đó:
ABC
kS BC kAH C
B H A
S
2
1 ' ' ' 2
1
C'
A'
trong đó H là chân đường cao từ A xuống trục
- Nếu C và AB// thì AB A ' B' dễ
thấy SA' C' kSABC (h 3)
5
H
A' A
Δ
C≡C' B≡B'
B' A'
B A
Δ C≡C'
Hình 2
Hình 3
Trang 7- Nếu C , AB không song song với và cùng phía với thì ta gọi I AB , khi đó SA' C' SA'IC SB'IC
= k SAIC SBIC =kSABC (h 4)
- Nếu C , AB không song song với và
khác phía với thì ta gọi I AB , khi đó
S A IC S B IC k S AIC S BIC
S A'B'C' ' '
= kSABC (h 5)
- Nếu ABC bất kỳ, chọn trên
trục điểm C1 và tịnh tiến ABC
theo vectơ CC1 ta có A1B1C1=
ABC
AC C
A BC C
B
AB
B
A1 1// , 1 1// , 1 1// do đó
tam giác A1B1C1 lại thuộc một trong
các trường hợp trên, ta cũng suy ra
ABC
kS
SA' C' (h 6)
f Phép co về trục Ox theo hệ số 1
a
b
biến đường tròn C :x2 y2 a2 thành elip
2
2
2
b
y
a
x
E và ngược lại phép co về trục
Ox theo hệ số 1
b
a
biến elip
2
2
2
b
y
a
x
C :x2 y2 a2 (h 7)
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp
dụng sáng kiến kinh nghiệm
Hình 4
I
B'
A'
B
A
Δ
C≡C'
Hình 5
A 1
B 1
C 1
B
A
Δ
C
Hình 6
y
F1 F2
Hình 7
.
M M’
Trang 8Trước khi tiến hành dạy về phép co cho học sinh, tác giả cho học sinh lớp 10C1 và 10C3 làm bài kiểm tra 45 phút trong giờ tự chọn với đề kiểm tra như sau:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip 1
4 9 :
2 2
y
x
3
6 2
; 3
3
5 2
; 3
2
sao cho diện tích tam giác lớn nhất.
2 Từ Md:xy 4 0 vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB đến E , A và B là tiếp điểm Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.
Kết quả thu được là 100% học sinh không làm được bài!
2.3 Các giải pháp thực hiện
Nguyên nhân của thực trạng nêu trên là với những bài toán khó học sinh thiếu công cụ để giải toán và thiếu sự định hướng trong tư duy để sáng tạo những cách làm mới
Để giải quyết vấn đề đó, trong một số tiết tự chọn ở lớp 10C1, tác giả đã tiến hành dạy về phép co với các nội dung sau:
Bài toán 1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip 1
4
2
y
x
điểm thay đổi trên đường thẳng y 2 Từ M kẻ đến E hai tiếp tuyến Gọi các
tiếp điểm là T 1 , T 2 Tìm vị trí của M để đường tròn tâm M tiếp xúc với đường thẳng T 1 T 2 có bán kính nhỏ nhất
Giải:
Phép co về trục hoành theo hệ số k 2 biến 1
4
2
y
x
E thành đường tròn
: 2 2 4
y
x
C , biến đường thẳng d:y 2 thành đường thẳng d' :y 4 Gọi
; 4 '
M và T1', T2' là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M' đến đường tròn C ta có tứ giác M'T1'OT2' nội tiếp trong đường tròn C1 có đường kính là ' 2 16
m O
; 2 2
m
4
16 2
2 :
2 2 2
1
y m x
1 x y mx y
C , khi đó tọa độ của T1', T2' là nghiệm của hệ
7
Trang 90 4 4 4
0 4
2
y mx y
x
y mx
y
x
do đó ta có phương trình của T1' T2' là
0 4
Bán kính đường tròn tâm M' tiếp xúc với đường thẳng T1'T2' là
16
4 16
16
12 '
'
;'
2
2 2
m
m m
m T
T M d R
Dấu “=” xảy ra khi m 0, suy ra M'0 ; 4, từ đó suy ra M0 ; 2
Bài toán 2 Trong mặt phẳng Oxy cho elip 1
3 4 :
2 2
y
x
E và đường thẳng
0 12
4
3
d Từ điểm M bất kì trên d kẻ tới (E) các tiếp tuyến MA, MB Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua 1 điểm cố định.
Giải: Ta chọn phép co về trục Ox theo hệ số 23, khi đó elip 1
3 4 :
2 2
y
x E
trở thành đường tròn : 2 2 4
y x
C còn đường thẳng d: 3x 4y 12 0 biến thành đường thẳng d' : 3x 2 3y 12 0 Giả sử phép co biến các điểm M, A, B lần lượt
thành M' ,A' ,B' thì M'a;bd' và A',B' là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ
từ M' đến C Có tứ giác OA'M'B' nội tiếp trong đường tròn C' đường kính '
2
; 2
b a
I , bán kính
2 2
2
2 b a OM
r Suy ra
4 2
2 :
2 2 2 2
x
Hai tiếp điểm A', B' chính là giao của C và C', do đó tọa độ của A', B'
0
4
2 2
2 2
by ax by
ax y x
y x
Tọa độ của A', B' thỏa mãn phương trình axby 4 nên :axby 4 là đường thẳng đi qua A', B' Mặt khác,
; '
' a b d
3
3 2 4 0
12 3 2
3
3 2 4
, khi b thay đổi, luôn đi qua điểm cố định
3
3 2
; 1 '
Bây giờ ta lại xét phép co về trục Ox theo hệ số
2
3 biến điểm
3
3 2
; 1 '
H
thành H1 ; 1AB Vậy đường thẳng AB luôn đi qua điểm cố định H1 ; 1
Trang 10Bài toán 3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng
0 3
4
2
y
x
E Tìm điểm M E sao cho khoảng cách từ M
đến d nhỏ nhất
Giải: Phép co về trục hoành theo hệ số k 2 biến elip 1
4
2
y
x
đường tròn : 2 2 4
y x
C , biến đường thẳng d:xy 3 0 thành d' : 2xy 6 0 Gọi d' và đi qua O thì phương trình của là x 2 y 0 Khi đó tọa độ giao điểm của và : 2 2 4
y x
C là nghiệm của hệ
5
25
4 4
0 6 2
2 2
y
x y
x
y x
hoặc
5
25
4
y
x
Do đó
5
2
; 5
4
; 5
2
; 5
4
2
M
Ta có
5
6 2 5
6 5
2 5
4 2 '
;
d M
5
6 2 5
6 5
2 5
4 2 '
;
d M
5
2
; 5
4
1
M là điểm thuộc đường tròn : 2 2 4
y x
C sao cho khoảng cách
từ M1 đến d' nhỏ nhất, từ đó suy ra điểm
5
1
; 5
4
M là điểm cần tìm
Bài toán 4 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp
trong elip : 2 1
2 2
2
b
y a
x
E a b Tìm diện tích lớn nhất của tam giác ABC.
Giải: Ta chọn phép co về trục Ox theo hệ số 1
b
a
, khi đó elip
2
2
2
b
y
a
x
E trở thành đường tròn C :x2 y2 a2 Phép co nói trên biến tam giác
ABC thành tam giác A'B'C' nội tiếp trong đường tròn C :x2 y2 a2
Ta có
4
3 3 3 4
3 3
4
3 3
4
' '
ab a
b a S
a S
b
a a
SA C ABC ABC
9
Trang 11suy ra SABC lớn nhất bằng
4
3
3ab
Bài toán 5 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, tìm tọa độ điểm M thuộc
3 4
:
2 2
y
x
E để tiếp tuyến với E tại M tạo với các trục tọa độ tam giác có
diện tích nhỏ nhất
Giải: Phép co về trục hoành theo hệ số 23 biến elip 1
3 4 :
2 2
y
x
đường tròn : 2 2 4
y x
C , biến tiếp tuyến của E tại điểm M thành tiếp tuyến của C tại điểm M' Giả sử M'a;b, phương trình tiếp tuyến d của đường tròn
C tại M là: 0 2 2 0
a b y b ax by a b x
2 2
a
b a A Ox
b
b a B
Oy
d
2 2
;
2
16 2
1
2
1
2 2
2 2 2
b a OB OA
2 2
b a b
a
b a
Do đó diện tích tam giác OAB nhỏ nhất khi
2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2
Vậy
3
6
; 2
; 3
6
; 2
; 3
6
; 2
; 3
6
; 2
M
Bài toán 6 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip 1
4 9 :
2 2
y
x
2 điểm A 3 ; 0 và
3
2 4
; 1
B thuộc E Tìm tọa độ điểm M E sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất
Giải: Phép co về trục hoành theo hệ số
2
3
k biến 1
4 9 :
2 2
y
x
đường tròn : 2 2 9
y x
C , biến các điểm A 3 ; 0 và
3
2 4
; 1
B thuộc elip E
thành các điểm A' 3 ; 0 và B'1 ; 2 2 nằm trên đường tròn C Ta có diện tích tam giác MAB lớn nhất khi và chỉ khi diện tích tam giác M'A'B' lớn nhất với
'
M là điểm tương ứng với M trong phép co nói trên Vì A ' B' không đổi nên diện tích tam giác M'A'B' lớn nhất khi M'OA'B', ta có phương trình A ' B':
Trang 120 2 3
2
2x y và M ' O: 2x 2y 0 do đó tọa độ của M' là nghiệm của hệ
6 3 6 3 9
0
2
2
2
2
y x y x y
x
y
x
+ với
6
3
y
x
6
2 3 6 2 3 2 ' '
;
M d
+ với
6
3
y
x
6
2 3 6 2 3 2 '
'
;
M d
Theo trên, với điểm M' 3 ; 6 thì diện tích tam giác M'A'B' lớn nhất, từ đó
3
6 2
; 3
M là điểm cần tìm
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Trong quá trình dạy về phép co đối với học sinh lớp 10C1, tác giả thấy học sinh rất hứng thú, các bài toán tuy khó nhưng khi sử dụng phép co thì mọi chuyện
đã trở nên dễ dàng hơn Để kiểm nghiệm chính xác, tác giả cho đề kiểm tra 45 phút ở lớp 10C1 và 10C3, trong đó lớp là lớp 10C1 thực nghiệm đề tài này, còn lớp 10C3 là lớp đối chứng Đề kiểm tra như sau:
Câu 1.(4 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M1 ; 1 Lập
4 9 :
2 2
y
x
sao cho MM 1 MM2.
Câu 2.(6 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng
0 2
2
4 9 :
2 2
y
x
sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất
Sau khi chấm bài tác giả thu được kết quả như sau
11
Trang 13(50 học sinh)
Lớp đối chứng
Các bài điểm 9 – 10 có cách giải phổ biến như sau:
Câu 1 Phép co về trục hoành theo hệ số
2
3
4 9 :
2 2
y
x
tròn : 2 2 9
y x
C , biến điểm M1 ; 1 thành điểm
2
3
; 1 '
biến các điểm M1 và M2 thành M' 1 và M' 2 Dễ thấy
2
3
; 1 '
của M ' M1 ' 2 khi và chỉ khi d' đi qua C
2
3
; 1 '
2
3
; 1 '
2
3 2
3 1
x
d cần lập là 4x 9y 13 0
Câu 2 Phép co về trục hoành theo hệ số
2
3
4 9 :
2 2
y
x
tròn : 2 2 9
y x
C , biến đường thẳng d:x 2y 2 0 thành d' : 3x 4y 6 0 và
biến điểm M, A, B thành các điểm M' ,A' ,B' Khi đó S M A B S MAB
2
3
' ' ' Xét đường thẳng đi qua O và vuông góc với d', có phương trình: 4x 3y 0, dễ thấy diện tích tam giác M'A'B' lớn nhất thì M' suy ra M' C từ đó tìm được tọa độ của M', tính khoảng cách từ M' đến d' ta có điểm M' sao cho diện tích tam giác M'A'B' lớn nhất, từ đó tìm được điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán
Kết quả kiểm tra của 2 lớp thực nghiệm và đối chứng cho thấy, ở lớp 10C1
đa số học sinh hiểu bài, vận dụng tốt phép co vào việc giải bài tập; học sinh thấy hứng thú vì tính tự nhiên và gần gũi nhưng đạt hiệu quả bất ngờ của phương pháp này Còn ở lớp 10C3, mặc dù đã hoàn thành các kiến thức về đường elip nhưng khi gặp các dạng toán nêu trên, học sinh không biết phải giải như thế nào
Trao đổi phương pháp “Sử dụng phép co” với các đồng nghiệp tác giả
cũng nhận được các phản hồi tích cực Mặc dù kết quả này không áp dụng được cho nhiều bài toán, tuy nhiên với những hiệu quả mà nó mang lại trong từng bài