Chuong IIIBai1Nguyen Ham

Bài toán vật lý• Ta đã biết bài toán chất điểm chuyển động thẳng có phương trình s=ft với ft là hàm số có đạo hàm • Khi đó vận tốc tại thời điểm t là vt=f’t • Trong thực tế có khi ta gặp

Kiểm tra bài cũ

• Câu 1: Phát biểu định lý Lagzăng?

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [ a ; b ]

và có đạo hàm trên khoảng ( a; b) thì tồn tại 1

điểm c thuộc khoảng (a;b) sao cho

f(b) – f(a) = f’ (c)( b – a)

• Câu 2: Cho hàm số f(x) = 2x.

Tìm hàm số F (x) sao cho F’ (x) = 2x

Bài toán vật lý

• Ta đã biết bài toán chất điểm chuyển động thẳng có phương trình s=f(t) với f(t) là

hàm số có đạo hàm

• Khi đó vận tốc tại thời điểm t là v(t)=f’(t)

• Trong thực tế có khi ta gặp bài toán

ngược là biết vận tốc v(t) tìm phương trình chuyển động s=f(t)

Từ đó ta c ó bài toán : Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b), tìm hàm số F(x) sao cho trên

Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là những

hàm số nào

a F(x) = x 2

b F(x) = x 2 + 3

c F(x) = x2 - 4

d Tất cả các hàm số trên

Hãy chọn phương án đúng

Nhận xột

• Mọi hàm số dạng F(x)=x2+C (C là hằng

số tựy ý) đều là nguyờn hàm của hàm số f(x)=2x Trờn R

• Mọi hàm số G(x)=tgx+C (C là hằng số tỳy ý) đều là nguyờn hàm của hàm số

2 trên c ỏc khoảng xác định.

1 ( )

os

g x

c x

=

Tổng quỏt ta cú định lý

Định lý

• Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên

khoảng (a;b) thì:

*Với mọi hằng số C, F(x) +C cũng là một nguyên

hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó.

*Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) đều có thể viết dưới dạng F(x)+C với C là một hằng số.

Chứng minh bổ đề

Xét phần tử cố định x 0 ∈(a;b).

Với mọi x ∈(a;b),

+ nếu x=x 0 thì F(x)=F(x 0 ),

+ nếu x≠x 0 thì theo định lí Lagrăng

tồn tại một số c nằm giữa x o và x sao cho

F(x)-F(x 0 )=F’(c)(x-x 0 )

Vì c ∈(a;b) nên F’(c)=0 Vậy ta có

F(x)-F(x 0 )=0 hay F(x)=F(x 0 )

Vậy với mọi x ∈(a;b) ta có F(x)=F(x 0 ) Do đó F(x) là một hàm số không đổi trên khoảng (a;b)

Chứng minh định lí

1 Theo giả thiết F(x) là một nguyờn hàm của

hàm số f(x) trờn khoảng (a;b)

Vì vậy ( F(x) + C ) ’ = F ’ (x) + 0 = f(x)

2 Giả sử G(x) cũng là một nguyờn hàm của

hàm số f(x) trờn khoảng (a;b) tức là G’(x)=f(x) với mọi x∈(a;b) Khi đú

(G(x)-F(x))’=G’(x)-F’(x)=f(x)-f(x)=0

Theo bổ đề thỡ G(x)-F(x)

là hàm số khụng đổi trờn (a;b)

Vậy ∀x∈(a;b) ta cú G(x)-F(x)=C, với C là một hằng số bất kỳ, hay G(x)=F(x)+C

F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) thì {F(x)+C ,C∈ R} là họ các nguyên hàm của f(x) trên khoảng đó

Qua bài học ta đã biết

- Định nghĩa nguyên hàm từ đó biết cách chứng minh 1 hàm số là nguyên hàm của 1 hàm số cho trước

- Tìm họ các nguyên hàm bằng cách tìm

1 nguyên hàm rồi cộng thêm hằng số C

Bµi tËp 1

Chứng minh với 0 < a ≠ 1

x

a dx =

x

a

C

Hàm số là nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

1 ( ) os 2

F x = c  π − x

( )

1 sin 2

3

f x =  x − π 

( )

2

1 sin 2

2 3

f x = −  π − x

( ) 3

1 sin 2

f x =  π − x

( )

3

f x = π − x 

a

b

c

d.

2 Xác định a để hàm số là

một nguyên hàm của hàm số

trên

( ) ax 5 1

F x

x

+

=

−

( )

( ) 2

1 5

f x

x

=

−

{ }

\ 5

R

3 Cho và

Xác định a, b để F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên

2 1

x

f x

x

+

=

+ F x ax b x ( ) ( = + ) 2 1 +

1

; 2

4 Xác định a, b, c sao cho hàm số

Hàm số là một nguyên

hàm của hàm số nào sau đây?

1 ( )

2

F x

x

=

( )

1

( )

2

1 2

f x

x x

=

a

b

c 3 ( )

1 4

x x

= −

d 4 ( )

1 4

x x

=

Bài tập

Hướng dẫn:

F(x)=x2+C

Mà F(1)=3 ⇒ 1+C=3⇒C=2

Vậy F(x)=x2+2