Một vài ứng dụng của thống kê Bose - Einstein biến dạng

Tại sao lại phải dùng phương pháp xác suất thống kê mà không thể dùng phương pháp giải các phương trình Lagrange hoặc các phương trình chính tắc Hamilton trong bài toán cổ điển, phương t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THỊ HÀ

MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA THỐNG KÊ

BOSE – EINSTEIN BIẾN DẠNG

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh - người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn

Xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Vật lí, đặc biệt

là các thayfam cô trong tổ Vật lí lí thuyết, phòng sau Đại học – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu

Xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, đồng nghiệp,… đã luôn động viên, giúp đỡ tôi để luận văn được hoàn thành

Hà Nội, tháng 7 năm 2013

Tác giả

Trần Thị Hà

Tôi xin cam đoan và chịu trách nhiệm trước Hội đồng khoa học: Luận văn này là kết quả nghiên cứu trung thực của cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Luận văn không sao chép kết quả của bất

kỳ công trình khoa học nào dưới bất kỳ hình thức nào Mọi trích dẫn làm căn

cứ khoa học đều đã được ghi chú đầy đủ, trung thực

Hà Nội, tháng 7 năm 2013

Tác giả

Trần Thị Hà

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: XÂY DỰNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ BOSE-EINSTEIN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LÍ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ 5

1.1 Phương pháp Các Ô Boltzman 5

1.1.1 Phương pháp Các Ô Boltzman 5

1.1.2 Xây dựng phân bố thống kê Bose – Einstein bằng phương pháp Các ô Boltzmann 6

1.2 Phương pháp Gibbs 8

1.2.1 Phương pháp Gibbs 8

1.2.2 Xây dựng phân bố thống kê Bose – Einstein bằng phương pháp Gibbs 10

1.3 Phương pháp lí thuyết trường lượng tử 11

1.3.1 Hệ các dao động tử boson 11

1.3.2 Xây dựng phân bố thống kê Bose-Einstein bằng phương pháp lí thuyết trường lượng tử 14

1.4 Kết luận chương 1 15

Chương 2: ÁP DỤNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ BOSE-EINSTEIN VÀO HỆ LƯỢNG TỬ 16

2.1 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính 16

2.2 Lý thuyết Einstein về nhiệt dung của vật rắn 20

2.3 Áp dụng phân bố thống kê Bose-Einstein nghiên cứu bức xạ cân bằng 24

2.4 Áp dụng phân bố thống kê Bose - Einstein nghiên cứu hiÖn t-îng ng-ng tô Bose - Einstein 25

2.5 Kết luận chương 2 31

EINSTEIN BIẾN DẠNG 32

3.1 Cơ sở toán học của hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng 32

3.2 Dao động tử [q]- boson và thống kê Bose-Einstein biến dạng -q 33

3.3 Dao động tử {q}- Boson 35

3.4 Xác định phổ năng lượng của dao động tử điều hòa biến dạng q 36

3.5 Chứng minh dao động tử biến dạng q mô tả dao động tử phi điều hòa tuyến tính 37

3.6 Tổng trạng thái, nội năng và nhiệt dung của hệ dao động tử phi điều hòa tuyến tính 38

3.7 Áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng –q nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose – Einstein 40

3.8 Kết luận chương 3 44

KẾT LUẬN 46

TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vật lí thống kê là ngành vật lí nghiên cứu hệ nhiều hạt Tùy thuộc vào loại mô hình vật chất mà người ta thường tách vật lí thống kê làm hai phần: Vật lí thống kê cổ điển và vật lí thống kê lượng tử Vật lí thống kê lượng tử tổng quát và chặt chẽ hơn vật lí thống kê cổ điển vì các kết quả của vật lí thống kê lượng tử đã bao gồm các kết quả của vật lí thống kê cổ điển như là trường hợp riêng Nhiệm vụ của vật lí thống kê lượng tử là nghiên cứu các tính chất của hệ nhiều hạt vi mô tuân theo các quy luật của cơ học lượng tử Vật chất tồn tại dưới hai dạng là chất và trường: các chất bao gồm một số rất lớn các nguyên tử, phân tử Lượng tử của các trường là các hạt cơ bản, chẳng hạn lượng tử của trường điện từ là các photon,…Từ đó có thể thấy đối tượng nghiên cứu của vật lí thống kê là rất rộng

Nhiệt động lực học cũng nghiên cứu các quy luật chuyển động nhiệt trong hệ nhiều hạt, nhiệt động lực học khảo sát các hiện tượng theo quan điểm

về sự biến đổi năng lượng trong các hiện tượng đó Cơ sở của nhiệt động học

là những định luật tự nhiên tổng quát mà người ta gọi là các nguyên lí của nhiệt động lực học Các nguyên lí này là sự tổng quát hóa kinh nghiệm lâu đời của nhân loại và đó được thực nghiệm xác nhận Vật lí thống kê nghiên cứu mối liên hệ giữa các đặc tính vĩ mô của hệ với các tính chất và các định luật chuyển động của các hạt vi mô tạo nên hệ Vật lí thống kê xuất phát từ các tính chất và cấu trúc vi mô của các hạt tạo nên hệ để rút ra những tính chất của hệ nhiều hạt bằng phương pháp xác suất thống kê Tại sao lại phải dùng phương pháp xác suất thống kê mà không thể dùng phương pháp giải các phương trình Lagrange hoặc các phương trình chính tắc Hamilton trong bài toán cổ điển, phương trình Schrodinger đối với hệ nhiều hạt lượng tử Câu trả

lời là bởi vì trong các hệ nhiều hạt tồn tại một quy luật khách quan là hệ quả của tính chất số đông đó là quy luật tính thống kê, chứ không phải vì hệ nhiều hạt có số bậc tự do rất lớn Ở đây có quy luật lượng đổi - chất đổi: Khi số bậc

tự do tăng lên quá lớn - lượng đổi, thì tính chất của các quy luật cũng thay đổi

Để tìm các định luật phân bố thống kê lượng tử, người ta đã dùng các phương pháp cơ bản sau: Phương pháp các ô Boltzmann, phương pháp Gibbs, phương pháp lí thuyết trường lượng tử Về mặt lịch sử phương pháp các ô Boltzmann ra đời sớm nhất nhưng phương pháp Gibbs có nhiều ưu điểm và được coi là phương pháp cơ bản của vật lí thống kê Ngày nay lí thuyết trường lượng tử là cơ sở để giải thích bản chất của các hạt vi mô về cấu trúc và các tính chất của nó Lí thuyết trường lượng tử đã mở ra con đường để nhận biết các quá trình vật lí xảy ra trong thế giới hạt vi mô, lí thuyết trường lượng tử đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của vật lí Đặc biệt trong việc nghiên cứu hệ nhiều hạt và xây dựng các định luật phân bố thống kê lượng tử Các phương pháp này bổ sung cho nhau để làm rõ được bản chất vật lí của các quá trình vật lí trong hệ nhiều hạt

Việc áp dụng các thống kê lượng tử nghiên cứu tính chất của các hệ lượng tử đã giải quyết được rất nhiều vấn đề mà các thống kê cổ điển không thể giải thích đầy đủ được như nhiệt dung của vật rắn, các tính chất của khí

electron, nhiệt dung của khớ electron trong kim loại và hiện tượng ngưng tụ Bose-Eintein,

Cỏc tớnh toỏn lớ thuyết được xõy dựng đối với mụ hỡnh lý tưởng, do đú vẫn cú những sai khỏc giữa kết quả lớ thuyết và thực nghiệm thu được Khi đú người ta thường dựng cỏc phương phỏp gần đỳng để giải quyết Nhúm lượng

tử mà cấu trỳc nú là đại số biến dạng phự hợp với nhiều mụ hỡnh của vật lớ, là một phương phỏp gần đỳng của lớ thuyết trường lượng tử

Nhúm lượng tử và đại số biến dạng được khảo sỏt thuận lợi trong hỡnh thức luận dao động tử điều hoà biến dạng Trong những năm gần đõy việc nghiờn cứu nhúm lượng tử và đại số biến dạng được kớch thớch thờm bởi sự quan tõm ngày càng nhiều đến cỏc hạt tuõn theo cỏc thống kờ khỏc với thống

kờ Bose - Einstein và thống kờ Fermi - Dirac như thống kờ para Bose, para – Fermi, thống kờ vụ hạn, cỏc thống kờ biến dạng , với tư cỏch là cỏc thống kờ

mở rộng Cho đến nay cỏch mở rộng đỏng chỳ ý nhất là trong khuụn khổ của đại số biến dạng

Với mong muốn hiểu biết đầy đủ hơn về thế giới các hạt vi mô, và hệ

các hạt đồng nhất boson, em đã chọn đề tài “ Một vài ứng dụng của thống

kờ Bose –Einstein biến dạng”

Mục đớch của đề tài là xõy dựng cỏc thống kờ lượng tử biến dạng bằng phương phỏp lớ thuyết trường lượng tử và ỏp dụng cỏc thống kờ đú vào nghiờn cứu một số hiện tượng vật lớ

Nội dung chớnh của đề tài gồm ba chương: Chương 1 trỡnh bày một cỏch hệ thống cỏc phương phỏp xõy dựng phõn bố thống kờ lượng tử, trong chương 2 chỳng tụi đó ỏp dụng phõn bố thống kờ Bose-Einstein nghiờn cứu một số hiện tượng vật lớ Việc ỏp dụng phương phỏp lớ thuyết trường lượng tử

để xõy dựng phõn bố thống kờ Bose-Einstein biến dạng và ỏp dụng phõn bố thống kờ Bose-Einstein biến dạng để nghiờn cứu một số hiện tượng vật lớ

nhằm mở rộng phạm vi phù hợp của kết quả lý thuyết và thức nghiệm được trình bày trong chương 3

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

- Xây dựng thống kê Bose-Einstein bằng các phương pháp Cac ô

Boltzmann, phương pháp Gibbs và phương pháp lí thuyết trường lượng tử

- Áp dụng thống kê Bose –Einstein vào các hệ lượng tử

- Xây dựng và áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng q vào các

- Phương pháp vật lí thống kê và các phương pháp giải tích khác

- Phương pháp lí thuyết trường lượng tử, phương pháp nhóm lượng tử

Chương 1 XÂY DỰNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ BOSE-EINSTEIN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LÍ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

Theo nguyên lí Boltzmann thì entrôpi của trạng thái vĩ mô của hệ tỉ lệ với logarít nêpe của xác suất nhiệt động W, cũng chính là logarít nêpe của số các trạng thái vi mô khả hữu của hệ

S=k ln W, ( 1.1 ) với k là hằng số Boltzmann

Entropi định nghĩa như vậy không những chứng tỏ entrôpi có bản chất đặc biệt thống kê, không thể có một dụng cụ đo trực tiếp entrôpi, mà còn phù hợp với định lý Nerst ( nguyên lí thứ ba của nhiệt động lực học) cho rằng: đường đẳng nhiệt T = 0 trùng với đường đoạn nhiệt S = 0 Thật vậy, khi nhiệt

độ hạ thấp dần xuống, hệ sẽ chiếm các mức năng lượng ngày càng thấp Khi T=0, hệ chỉ nằm trong trạng thái lượng tử có năng lượng thấp nhất do đó W=1

và S=k ln W=k ln1 0=

Theo quan niệm lượng tử, một trạng thái vi mô của hệ trong không gian pha tương ứng với không phải một điểm pha mà là một thể tích cực tiểu nào đó của không gian pha Đối với một hệ gồm N hạt thể tích cực tiểu

như vậy của không gian pha là bằng Gmin =h3N Do đó đối với một hệ lượng tử gồm N hạt, một thể tích bất kỳ Γ của không gian pha sẽ chứa

lần và trong thể tích Γcủa không gian pha sẽ chỉ có chứa 3N

h N!

G

trạng thái Hơn nữa các trạng thái lượng tử có thể khác biệt nhau ở sự định hướng của spin của các hạt (có 2s+1 định hướng khác nhau) thế mà spin lại không tham gia gì vào trong không gian pha, cho nên số các trạng thái lượng tử sẽ tăng lên (2s+1) lần Như vậy một thể tích Γ của không gian pha sẽ chứa tất cả là

Xét hệ các hạt Boson mà trạng thái được diễn tả bằng hàm sóng đối xứng và không tuân theo nguyên lý Pauli Bằng cách tách ra một miền không gian pha có zi ô pha ta hãy tìm số các chuyển vị của ni hạt theo các ô đó, phù hợp với các tính chất của hạt Boson Bài toán quy về tìm sự phân bố niyếu tố không phân biệt trong các ô, đồng thời trong mỗi ô số hạt là không hạn chế,

tức là ta tìm số các phương pháp mà nhờ đó nihạt không phân biệt có thể xếp đặt trong zi ô có đánh số, chú ý rằng số hạt trong mỗi ô là tuỳ ý Các phép tính tổ hợp, đi đến kết quả số các phương pháp đó là bằng

i i i

i i i

e

-a-be -a-b e

-a - b +

-å

mô giống nhau và ở trạng thái vi mô khả hữu khác nhau Đồng thời phải bảo đảm rằng mỗi một hệ trong tập hợp thống kê sớm hay muộn sẽ đi qua mọi giai đoạn biến đổi dành cho các hệ tương tự khác Như vậy, tập hợp thống kê cũng có thể coi như là tập hợp các trạng thái vi mô khả dĩ tương ứng với cùng một trạng thái vĩ mô đang xét của hệ [1]

Phương pháp Gibbs thừa nhận giả thuyết chuẩn Ecgodic như sau: Trị trung bình theo thời gian của một đại lượng bằng trị trung bình theo tập hợp thống kê

Như vậy, theo phương pháp này, một vấn đề đặt ra là làm sao tìm được trị trung bình theo tập hợp thống kê, muốn vậy ta phải tìm được mật độ xác suất pha hay hàm phân bố thống kê của hệ

Áp dụng phương pháp Gibbs đối với các hệ lượng tử, chú ý đến các đặc tính của hạt vi mô và của hệ lượng tử, phân bố chính tắc lượng tử đối với hệ đẳng nhiệt cho chúng ta xác suất để hệ nằm ở trạng thái có năng lượng Eklà

k K

E

W =expìY - ü,

Trong đó y và q có ý nghĩa của năng lượng tự do và nhiệt độ thống kê

Khi có sự suy biến, nghĩa là cùng một mức năng lượng ứng với nhiều hàm sóng khác nhau hay là nhiều trạng thái vật lí khác nhau thì

(1.14) Nghĩa là

ln Z

W = -q

(1.15) Dựa vào các hệ thức (1.14) , (1.15), ta được

= xuất hiện là vì ta kể đến khả năng

xuất hiện các trạng thái vật lí mới khi hoán vị (về tọa độ) các hạt Đối với hệ các hạt đồng nhất boson và fermion tức là hệ được mô tả bằng hàm sóng đối

xứng và phản đối xứng thì các phép hoán vị đều không đi đến một trạng thái vật lí mới nào, bởi vì khi đó hàm sóng của hệ sẽ chỉ hoặc không đổi dấu hoặc đổi dấu, nghĩa là diễn tả cùng một trạng thái lượng tử Do đó đối với hệ các hạt đồng nhất boson và fermion ta có

Toán tử số hạt µN biểu diễn theo các toán tử sinh, hủy boson a ,a$ $ và +

tuân theo các hệ thức giao hoán:

là véctơ trạng thái riêng của toán tử số dao động tửNˆ , thỏa mãn phương trình

Và được xác định bằng cách tác động liên tiếp toán tử sinh dao động tử

lên trạng thái chân không

1ˆ

Tác dụng của các toán tử sinh hạt a$ , hủy hạt a$ lên các véctơ cơ sở của +

không gian Fock là

Với m, n nhận các giá trị: 0, 1, 2,…Từ (1.27) chúng ta tìm được biểu

diễn ma trận của toán tử a$ có dạng: +

b = , m là thế hoá học, Hµ là Hamiltonian Thông thường

khi chọn gốc năng lượng ở giá trị Eo 1

Z=Tr eæç -b -m ö÷

è ø (1.33)

Thay Fˆ º =Nˆ a aˆ ˆ+ vào các công thức (1.32), (1.33), chúng ta thu được

số hạt trung bình có cùng mức năng lượng e là

là phương pháp lí thuyết trường lượng tử để xây dựng phân bố thống kê Einstein Đây là cơ sở để chúng tôi nghiên cứu các vấn đề ở chương tiếp theo

Bose-Chương 2

ÁP DỤNG PHÂN BỐ THỐNG KÊ BOSE-EINSTEIN

VÀO HỆ LƯỢNG TỬ

2.1 Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính

Dao động tử điều hòa một chiều là chuyển động của một chất điểm có khối lượng m dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f = -kx dọc theo một đường thẳng nào đó

Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa có thể tìm được bằng phương pháp đại số, sử dụng các hệ thức giao hoán chính tắc và biểu thức của Hamiltonian [2], [3], [4]

2

2 x

Khi đó ta biểu diễn Hˆ theo ˆa và ˆa+như sau:

(aaˆ ˆ a a ˆ ˆ)2

+ +

w

-ww

h

hh

Dễ dàng chứng minh được các toán tử ˆavà ˆa+ thỏa mãn hệ thức giao hoán

ˆ ˆa,a+ 1

é ù =

(2.7) Thật vậy

+ éëN,aˆ ˆù =û Naˆ ˆ -aNˆˆ =a aaˆ ˆ ˆ+ -aa aˆ ˆ ˆ+ =(a aˆ ˆ+ -aaˆ ˆ+)aˆ = - = -1aˆ a,ˆ

Suy ra

Naˆ ˆ =a N 1 ,ˆ( ˆ - )

(2.11) + éëN,aˆ ˆ+ù =û Naˆ ˆ+ -a Nˆ+ˆ =a aaˆ ˆ ˆ+ + -a a aˆ ˆ ˆ+ + =aˆ+(aaˆ ˆ+ -a aˆ ˆ+ )=aˆ+

hay

Naˆ ˆ+ =aˆ+(N 1 ˆ + ) (2.12)

Ký hiệu n là véc tơ riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n, khi

đó ta có phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử Nˆ

Các kết quả tính toán cho chúng ta các kết luận sau:

Kết luận 1:Các trị riêng của toán tử Nˆ là các số không âm

Kết luận 2: Nếu n là một véc tơ trạng thái riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n, thì ˆa np cũng là một véc tơ trạng thái riêng của toán tử Nˆ

có thể nhận các giá trị gián đoạn

+ Đặc điểm 2: Các mức năng lượng cách đều nhau, hiệu giữa các mức năng lượng liền kề nhau là hằng số D = wE h

+ Đặc điểm 3: Năng lượng thấp nhất của dao động tử điều hòa tuyến tính ứng với n=0, được gọi là năng lượng “không” Mức “không” của năng lượng là E0 0

2

w

=h > Năng lượng ''không'' tương ứng với dao động “không”

mà ta không thể trừ bỏ được bằng cách hạ nhiệt độ chẳng hạn Nói khác đi, do

có xuất hiện năng lượng “không” nên dao động tử lượng tử không thể ở trong

trạng thái nghỉ, ở nhiệt độ không tuyệt đối phần lớn các hệ nằm ở mức năng lượng thấp nhất(mức cơ bản), nhưng khi đó các nguyên tử vẫn thực hiện dao động Nănglượng “không” của dao động đã quan sát được khi cho ánh sáng tán xạ trên tinh thể nằm ở nhiệt độ gần độ không tuyệt đối

+ Đặc điểm 4: Các mức năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính không suy biến, hay bậc suy biến của các mức năng lượng g=1

Từ biểu thức về phổ năng lượng của dao động tử điều hòa, ta thấy trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng h Khái niệm hạt ở đây thực chất đó chỉ là w

các giả hạt còn gọi là các “chuẩn hạt”

Và ta thiết lập được các công thức sau:

ba chiều có cùng một tần số

Biết phổ năng lượng của dao động tử và nhiệt độ T của hệ, chúng ta có thể tính được năng lượng trung bình Trước hết, chúng ta tính tổng thống kê Z

của dao động tử theo công thức:

n

kT n

e -

=

=-

Từ đó, ta có biểu thức tổng thống kê Z:

2kT kT

e

1 e

w - w -

=-