Phân bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q với trạng thái ngưng tụ của vật liệu siêu dẫn

Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi đã dùngphơng pháp lý thuyết trờng lợng tử để xây dựng phân bốthống kê Bose - Einstein biến dạng q và áp dụng phân bốthống kê Bose - Einstein biến dạng

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau

đại học, Ban chủ nhiệm và thầy cô giáo khoa Vật lý trờng Đại học S phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện và giúp đỡ tôi

trong suốt thời gian học tập và làm luận văn Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Lu Thị Kim Thanh đã tận tình hớng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, những ngời

đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn Mặc dù tôi đã rất cố gắng, song bản luận văn này không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Rất mong nhận

đợc sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn

Tháng 11 năm

2011 Tác giả

đỗ thị thắm

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứutrong luận văn này là trung thực và không trùng lập với các

đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ choviệc thực hiện luận văn này đã đợc cảm ơn và thông tintrích dẫn trong luận văn đã đợc chỉ rõ nguồn gốc

Tác giả

đỗ thị thắm

Môc lôc

Tran

g Lời cảm ơn 1

Lời cam đoan 2

Mục lục 3

Më ®Çu 4

Néi dung 6

Chương 1: Ph©n bè thèng kª Bose – Einstein và nhiệt độ ngưng tụ 6 1.1 Thèng kª Bose – Einstein 6

1.2 Thè ng kª Bose – Einstein theo lý thuyÕt trường lượng tử 9 1.2.1 Biể u diễn số hạt của dao động tử điều hßa tuyÕn tÝnh 9 1.2.2.To¸n tử sinh hạt và hủy hạt Boson

17 1.2.3 Thèng kª Bose - Einstein theo lý thuyÕt trường lượng tử 19 1.3 Nhiệt độ ngưng tụ Bose – Einstein

21 Chương 2: Ph©n bè thèng kª Bose – Einstein biến dạng q và nhiệt độ ngưng tụ 29

2.1 Lý thuyÕt q - số

29 2.2 Thèng kª Bose – Einstein biÕn dạng q

33 2.3 ¸p dụng thèng kª Bose – Einstein biến dạng q nghiªn cứu hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein 35

đặc biệt đó là trạng thái ngng tụ Bose - Einstein Kể từ

đó tiên đoán của Einstein đã đợc ứng dụng giải thích cáchiện tợng vật lý nh hiện tợng siêu dẫn, siêu chảy và đã thuhút đợc nhiều nhà vật lý quan tâm Từ thực nghiệm cácnhà vật lý đã tìm đợc nhiệt độ chuyển pha của một sốvật liệu siêu dẫn Năm 2001 ba nhà vật lý ngời Mỹ đã bằngthực nghiệm tạo ra trạng thái ngng tụ với kim loại kiềm, cả banhà vật lý đã đợc trao giải Nobel Phát minh này đã mở ra cáccông nghệ mới cho khoa học

Từ trớc đến nay, các kết quả nghiên cứu bằng lý thuyết

để tính nhiệt

độ ngng tụ đều dùng phân bố thống kê Bose - Einstein.Thống kê này là áp dụng cho hệ khí lý tởng nên khi ta ápdụng cho hệ khí thực thì có sự sai khác giữa lý thuyết vàthực nghiệm Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi đã dùngphơng pháp lý thuyết trờng lợng tử để xây dựng phân bốthống kê Bose - Einstein biến dạng q và áp dụng phân bốthống kê Bose - Einstein biến dạng q này để tìm nhiệt độngng tụ cho các vật liệu siêu dẫn Dới sự hớng dẫn của cô giáoPGS- TS - Lu Thị Kim Thanh, chúng tôi đã thực hiện luận văn

“Phân bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q với trạngthái ngng tụ của vật liệu siêu dẫn”.

2 Mục đích nghiên cứu

- Xây dựng hàm phân bố Bose - Einstein trong trờng hợp biến dạng

- Nghiên cứu trạng thái ngng tụ Bose - Einstein, tìm đợcgiá trị của nhiệt độ ngng tụ Bose - Einstein đối với vật liệusiêu dẫn cụ thể và so sánh với kết quả chính tắc.

3.Nhiệm vụ nghiên cứu

- Xây dựng thống kê Bose - Einstein bằng phơng pháp lý thuyết trờng lợng tử

- áp dụng thống kê Bose - Einstein biến dạng q nghiên cứu trạng thái ngng tụ Bose - Einstein

- Tính nhiêt độ ngng tụ của vật liệu siêu dẫn kẽm

4.Đối tợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

- Các hạt có Spin nguyên - các hạt Boson và vật liệu siêu dẫn

5.Phơng pháp nghiên cứu

- Phơng pháp của lý thuyết trờng lợng tử

- Phơng pháp giải tích toán học

- Phơng pháp tính số bằng phần mềm Mathematica 7.0.6.Những đóng góp mới của đề tài

Đề tài sau khi hoàn thành sẽ:

- Xây dựng đợc lý thuyết hàm phân bố thống kê Bose - Einstein trong trờng hợp biến dạng q

- Tính đợc nhiệt độ ngng tụ Bose - Einstein phụ thuộc vào thông số biến dạng q và so sánh với kết quả chính tắc

II Nội dung Chơng 1

Phân bố Thống kê Bose – Einstein và nhiệt độ ngng tụ

Trong chơng 1, chúng tôi trình bày việc xây dựngphân bố thống kê Bose – Einstein bằng hai phơng phápGibbs và lý thuyết trờng lợng tử áp dụng phân bố thống kêBose - Einstein để nghiên cứu về nhiệt độ ngng tụ Bose –Einstein

1.1 Thống kê Bose – Einstein

Để xây dựng phân bố thống kê Bose - Einstein này

đồng nghĩa với việc ta cần tìm công thức tính số hạt trungbình trong mỗi trạng thái lợng tử đơn hạt

Để tính đợc số hạt trung bình đó thì ta cần tìm đợc xác suất trạng thái của cả hệ với điều kiện

Ta có thể xét hệ điện tử nằm trong những điều kiệncân bằng nhiệt động với số điện tử có thể thay đổi (thoátqua mặt phân cách ra ngoài hoặc từ ngoài vào), miễn là số

điện tử trung bình bằng N ở đây thì ta sẽ sử dụng phân

bố chình tắc lớn hay phân bố Gibbs suy rộng để tính

Theo phân bố Gibbs suy rộng, ta có xác suất của trạng thái N , N k là

trạng thái của hệ với số hạt tổng cộng của hệ là N

trong đó có N k

thái k là:

hạt ở trạng

N k 

1

Dao động tử điều hòa một chiều là chuyển động của một chất điểm có

khối lợng m dới tác dụng của lực chuẩn

k



viết rằng Aˆ.

Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian của dao động tử

điều hòa một chiều [1], [6]:

Hamiltonian theo aˆ vµ aˆnh sau:

pˆ m

2 i

qˆ  2m

m  2 m 

Ta đặt Nˆ 

aˆaˆ

Khi đó ta có các hệ thức giao hoán sau:

+ Nˆ , aˆ Nˆaˆ aˆNˆ aˆ

aˆaˆ aˆaˆaˆ aˆaˆ

aˆaˆaˆ 1.aˆ aˆ

Suy ra Nˆaˆ aˆ

+ Nˆ , aˆNˆaˆaˆNˆ aˆaˆaˆaˆaˆaˆ

aˆaˆaˆaˆaˆ aˆ .1 aˆ

Suy ra Nˆaˆaˆ





n n

n aˆ  aˆ n

n n

Ký hiệu n là véc tơ riêng của

toán tử Nˆ trình hàm riêng, trị riêng

khi đó là:

ứng với trị riêng n thì phơng

Vậy các trị riêng của

còng lµ vÐc

t¬ tr¹ng th¸i

cñ

a to¸

trÞriªng n 2, n 3,

ứng với trịriêng n 2, n 3

Vậy nếu nlà một véc tơ riêng của

toán tử Nˆ

ứng với trị riêng n thì

aˆ p n cũng là một véc tơ riêng của

không

âm n 1, n 2, n 3, cũng là trị

riêng của toán tử

Nˆ Vì chuỗi này giảm

dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất Khi đó:

Do aˆ

nmin 0 thì đó là véc tơ trạng thái ứng với trị

riêng nmin 1 nmin

Từ (1.25) và (1.26) ta thấy trị riêng nhỏ nhất

cógiá trị bằng 0 Véc tơ trạng thái ứng với trị riêng

hiệu

là 0 Véc tơ trạng thái này thỏa mãn

Ta có thể rút ra các định

lý sau:

+ Các trị riêng của toán tử

Nˆ là các số không âm

+ Nếu n là một véc tơ riêng của

ứng với trị riêng

n p (nếu chúng khác 0)

+ Trị riêng nhỏ nhất của toán tử Nˆ

tơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ

nhất của Nˆ

là nmin có giá trị bằng 0.Véc

đợc ký hiệu là 0 Véctơ

trạng thái này thỏa mãn điều

aˆ2 0 tỷ lệ với véc tơ riêng 2 của

toán tử Nˆ

ứng với trị riêng

1 lµ vÐc t¬ riªng cña Hˆ øng víi trÞ

riªng

E 

 1

n lµ vÐc t¬ riªng cña Hˆ øng víi trÞ riªng E n 1 

+ Tr¹ng th¸i 1 lµ tr¹ng th¸i chøa 1 lîng tö

+ Tr¹ng th¸i 2 lµ tr¹ng th¸i chøa 2 lîng tö

n n

Nˆ

Nếu ta tởng tợng rằng lợng tử năng lợng là một hạt thì toán tử Nˆ

sẽ là toán tử số

hạt, aˆ sẽ là toán tử hủy

sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó

Coi n lµ thùc nªn

n Suy ra

n 1

1 n!

1.2.2.Toán tử sinh hạt và hủy hạt Boson

Boson, đặt tên theo nhà vật lý ngời ấn Độ SatyendraNath Bose, là một trong hai loại hạt cơ bản trong tự nhiên (loạihạt kia là Fermion) Chúng là hạt duy nhất tuân theo thống kêBose - Einstein, nghĩa là chúng có thể nằm cùng một trạngthái lợng tử (không tuân thủ nguyên lý Pauli) Theo lýthuyết thống kê spin, chúng có spin lấy giá trị nguyên

Theo trên thì ta đã tìm đợc các hệ thức giao hoán củatoán tử sinh hạt và toán tử hủy hạt là:

Më réng c¸c hÖ thøc nµy cho hÖ nhiÒu h¹t ë nhiÒu tr¹ng th¸i kh¸c nhau nh sau:

Ta ®i t×m biÓu diÔn ma trËn cña c¸c to¸n

, hñy Boson aˆ



k l

l k





1.2.3.Thống kê Bose – Einstein theo lý thuyết trờng lợng tử

Ta xuất phát từ biểu thức tính giá trị trung bình của

(1.31)

Với: 

 1

k T

trong đó: k : Là hằng số Boltzman

T: Là nhiệt độ của hệH: Là Hamiltonian của hệ

  

Z    Hˆ

 Nˆ 

n e n

n =

      n

n n



1.3 Nhiệt độ ngng tụ Bose Einstein.

Ngng tụ Bose - Einstein hay ngng tụ Bose là hiện tợngchuyển pha của các hạt Boson, trong đó một lợng lớn các hạtBoson cùng tồn tại trên một trạng thái lợng tử, khi nhiệt độ nhỏhơn một nhiệt độ chuyển pha

Đối với mô hình khí lý tởng (không có tơng tác giữa cácBoson), khi ở nhiệt độ đạt đến không tuyệt đối (0 kelvin)tất cả các hạt Boson có thể cùng tồn tại trên một trạng thái l-ợng tử với năng lợng thấp nhất Đó chính là ngng tụ Boson -Einstein Bằng lý thuyết ngời ta đã chứng minh rằng tồn tạinhiệt độ ngng tụ Tc mà khi nhiệt độ của hệ T < Tc thì hệ ởtrạng thái BEC

2

2

Đối với hệ khí Boson có tơng tác (mô hình khí thực),ngời ta đã chứng minh một cách lý thuyết là tồn tại nhiệt

độ chuyển pha, mà khí Boson có thể ngng tụ Những tiến

bộ trong kỹ thuật làm lạnh và giam nguyên tử đã cho phépthực nghiệm quan sát đợc hiện tợng ngng tụ Boson -Einstein trong hệ khí liti, kali và natri

ở nhiệt độ thấp khí Boson có tính chất khác hẳn khíFecmi, vì các hạt Boson không chịu sự chi phối của nguyên

lý cấm Paoli nên ở nhiệt độ không

tuyệt đối tất cả các hạt đều có

bản củatất cả chất khí là trạng thái có năng lợng E = 0

Khí Boson tuân theo quy luật phân bố thống kê Bose

- Einstein, vì vậy số hạt trong khoảng năng lợng dlà :

(1.38)Theo gi¶ thiÕt De Broglie ta cã hÖ thøc gi÷a xung lîng

Khi nhiệt độ giảm thì tăng, và đến nhiệt độ Tc nào đó sẽ đạt giá trị

Thay giá trị của I = 2, 31516 2,

x

 0 nhỏ hơn tổng số hạt của chất khí Vậy thì số hạt còn lại có năng

lợng là bao nhiêu? Vì năng lợng của mỗi hạt không thể âm nên hiển nhiên là số hạt còn lại có năng lợng 0 Số hạt đó

nằm trong trạng thái có năng lợng thấp đợc xác định bởicông thức (1.47), nghĩa là các hạt đó nằm ở một pha khác

mà ngời ta gọi là pha ngng tụ Bose- Einstein đây là một trạngthái đặc biệt của vật chất mà Einstein đã dự đoán có thểxảy ra

Khi T = 0K thì tất cả các hạt đều có

đợc nhiệt độ ngng tụ Tc chứng tỏ rằng ở nhiệt độ đó tất cả các chất đều ở trạng thái rắn hoặc trạng thái lỏng, nghĩa

Thành phần bình thờng mà ta có thể xem nh một chấtkhí Boson còn cha ngng tụ, và thành phần siêu lỏng mà ta

có thể xem nh một chất khí Boson ngng tụ ở mức ‘‘ không’’

2

Các hạt nằm ở mức ‘‘ không’’ của thành phần siêu lỏng của Heli không thể có đóng góp gì vào trong nhiệt dung và không thể truyền năng lợng trong

chuyển động tơng đối Nói khác đi, trong thành

phần siêu lỏng xuất hiện lực nội ma sát (độ nhớt)

He4 không có

Nh vậy việc di chuyển Heli từ trạng thái lỏng về trạng thái siêu lỏng (chuyển pha loại 2) có thể xem nh là sự xác nhận lý thuyết về sự ngng tụ

của khí Boson Tuy nhiên với

3 lỏng thì không có thành phần siêu

lỏng ở nhiệt độ thấp, bởi vì số nucleon trong hạt nhân là

lẻ, nó có Spin bán nguyên và do đó nó tuân theo thống kê Fecmi - Dirac

Dựa vào (1.45) ta thấy là nhiệt độ chuyển pha Tc phụ thuộc vào nồng độ hạt (N/V)

2

2

Kết luận chơng 1:

Nh vậy, trong chơng 1 bằng hai phơng pháp Gibbs và

lý thuyết trờng lợng tử chúng tôi đã trình bày việc xâydựng hàm phân bố thống kê Bose - Einstein áp dụng vàtính đợc nhiệt độ ngng tụ Bose - Einstein:

V

.

Với q là một tham số, nếu x là một toán tử cũng có

định nghĩa giống nh biểu thức (2.1) Chúng ta chú ý rằngq-số là bất biến với phép biến đổi q→ q-1, có thể xảy ra haitrờng hợp:

e ix

sin    x 

q q1 e i 

e i

sin 

Trong c¶ hai trêng hîp th× trong giíi h¹n q→1 (hoÆc

sin

 

 0 sin  x

lµ giai thõa chuÈn.

tháa m·n c¸c hÖ thøc giao

§iÒu kiÖn liªn hîp Hamitic

Ta tính đợc biểu thức ma trận của các toán

không gian Fock đợc xác định bởi sự tác động liên tiếp

2.2 Thống kê Bose - Einstein biến dạng q.

Biểu thức tính giá trị trung bình của đại lợng vật lý F tơng ứng với

T: Là nhiệt độ của hệ

H: Là Hamiltonian của hệ,

Hˆ Nˆ

: Là năng lợng của một dao động tử

Z Tr eHˆ

 Nˆ     Hˆ

 Nˆ 

n e n

Víi khÝ Boson tu©n theo quy luËt ph©n bè Bose

l-lµ hµm ph©n bè Bose Einstein:

dN  là số các mức năng lợng trong khoảng từ

đến d.Các hạt Boson chứa trong thể tích V có thể xem nh các sóng đứng De

Số hạt dn

  trong khoảng năng lợng từ đến 

d phải là một sốdơng, vì vậy thế hóa học phải thỏa

1

2.

.e kT

âm) và cuối cùng đạt tới giá trị cực đại bằng 0 ( 0

max 0 ) ở nhiệt độ Tc nào đó Ta hãy xác địnhnhiệt độ Tc bằng cách

Từ biểu thức (2.24) ta biến đổi và thu đợc :

phụ thuộc vào thông số biến dạng q thông

2

Kết luận chơng 2:

Trong chơng 2 chúng ta đã tìm hiểu về lý thuyết q

-số, đây là cơ sở toán học trong việc mở rộng phân bốthống kê Bose - Einstein thành phân bố thống kê Bose -Einstein biến dạng q

đợc trình bày ở chơng sau

Chơng 3

tính số nhiệt độ ngng tụ của vật liệu siêu dẫn zn Khi áp dụng thống kê Bose - Einsteinvào khí Bose thì ta đã tìm đợc

nhiệt độ ngng

2 2

V

thông số biến dạng q Trong chơng 3 chúng tôi đã áp dụng tính số để tìm giá trị tơng ứng với những giá trị tham số biến dạng của q khác nhau

3.1 Tính số theo nhiệt độ ngng tụ Bose Einstein thông thờng

Từ kết quả đã tính đợc ở chơng 1 thì ta có nhiệt độ ngng tụ Bose - Einstein là:

n

là nồng độ hạt:

Theo kết quả của chơng 2 thì ta đã tính đợc nhiêt

độ Tc phụ thuộc theo thông số biến dạng q là:

Giá trị của nhiệt độ ngng tụ Tc của vật liệu siêu dẫn

t-ơng ứng với một số giá trị bất kỳ của q (0 < q < 1) đợc biểudiễn trong bảng thống kê dới đây nh sau:

ở đây ta thấy rằng với mỗi giá trị của q thì ta sẽ thu

đợc giá trị của nhiệt độ ngng tụ là khác nhau

Thông qua bảng số liệu tính đợc ở trên ta thấy rằng ứngvới giá trị của thông số biến dạng q =1 thì ta đã tính đợc giá trị của nhiệt độ ngng tụ khi

đó là Tc = 0.87K Ta thấy rằng số liệu này cũng chính là số liệu của nhiệt độ ngng tụ khi ta áp dụng thống kê Bose - Einstein không biến dạng

Kết luận chơng 3:

Trong chơng 3, chúng tôi đã áp dụng phân bố thống kêBose - Einstein biến dạng q nghiên cứu hiện tợng ngng tụBose - Einstein cho hệ các nguyên tử Kẽm và thu đợc biểuthức của Tc

ở đây, chúng tôi cũng đã dùng phơng pháp giải tích

và dùng phần mềm Mathematica 7.0 để tính số nhiệt độngng tụ Tc

Từ kết quả thu đợc khi tính cho vật liệu siêu dẫn Kẽmthì chúng tôi

đợc đó sẽ có một kết quả trùng với kết quả của thực nghiệm