PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

Để giải các bài toán trong lý thuyết đàn hồi người ta thường sử dụng hệ các phương trình cân bằng, phương trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng - chuyển vị.. Trên cơ sở đó vậ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

ĐÀO THỊ BÍCH THẢO

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội- Năm 2014

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

ĐÀO THỊ BÍCH THẢO

PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

Mã số: 60440107

Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS VŨ ĐỖ LONG

Hà Nội- Năm 2014

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và thường xuyên động viên để tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo Bộ môn Cơ học, Trường đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN và các thầy, cô trong Khoa Toán – Cơ – Tin học đã quan tâm, giúp đỡ và tạọ điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tác giả học tập và nghiên cứu tại Khoa

Tác giả xin cảm ơn các nhà khoa học, các thầy cô giáo trong seminar Cơ học vật rắn biến dạng đã có những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện luận văn

Tác giả xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ Phòng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình nghiên cứu của tác giả

Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và các bạn bè thân thiết của tác giả, những người đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả

Đào Thị Bích Thảo

MỤC LỤC

TỔNG QUAN 1

Chương 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 3

1.1 Một số khái niệm cơ bản 3

1.2 Phép biến đổi tọa độ 5

1.2.1 Hệ tọa độ Đề các 5

1.2.2 Hệ tọa độ cong 8

1.2.3 Phép biến đổi tọa độ 9

1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide Error! Bookmark not defined 1.3 Thành phần vật lý của tenxơ Error! Bookmark not defined 1.3.1 Tenxơ hạng nhất Error! Bookmark not defined 1.3.2 Tenxơ hạng hai Error! Bookmark not defined 1.3.3 Khai triển cụ thể Error! Bookmark not defined 1.4 Đạo hàm hiệp biến Error! Bookmark not defined 1.4.1 Đạo hàm véctơ cơ sở Error! Bookmark not defined 1.4.2 Kí hiệu Christoffel Error! Bookmark not defined 1.4.3 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất Error! Bookmark not defined 1.4.4 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai Error! Bookmark not defined Chương 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠError! Bookmark not defined

2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động Error! Bookmark not defined

2.2 Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị Error! Bookmark not defined

2.3 Ứng dụng tenxơ trong bài toán vỏ mỏng Error! Bookmark not defined 2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi Error! Bookmark not defined 2.3.2 Thành phần biến dạng của vỏ mỏng Error! Bookmark not defined 2.3.3 Phương trình cân bằng Error! Bookmark not defined 2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu Error! Bookmark not defined

TỔNG QUAN

Tenxơ là một khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và giải quyết các vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực như cơ học môi trường liên tục, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tương đối rộng… Tenxơ lần đầu tiên được nghiên cứu bởi các nhà toán học Tullio Levi-Civita và Gregorio Ricci- Curbastro cùng một số nhà toán học khác Trong luận văn này tenxơ được sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ giữa các tập véctơ hình học

Để giải các bài toán trong lý thuyết đàn hồi người ta thường sử dụng hệ các phương trình cân bằng, phương trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng - chuyển vị Việc thiết lập các phương trình đó dựa trên các hệ tọa độ cong như hệ tọa

độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tương đối phức tạp Vì vậy trong các bài báo hay các giáo trình cơ học nói chung thường chỉ nêu ra trực tiếp phương trình cân bằng, hệ thức Côsi mà không nói rõ các bước biến đổi để thu được kết quả

Luận văn trình bày rõ ràng các khái niệm, phép tính cơ bản, các phép biến đổi của tenxơ Trên cơ sở đó vận dụng các phép tính của tenxơ để xác định các phương trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, các phương trình cân bằng- chuyển động trong

hệ tọa độ cong bất kỳ Từ kết quả trên sau khi biến đổi, tác giả đã thu được các phương trình liên hệ biến dạng – chuyển vị cũng như hệ phương trình cân bằng trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu

Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chương, phần kết luận và tài liệu tham khảo Nội dung chính của luận văn bao gồm:

- Chương 1 trình bày khái niệm, thành phần vật lý của tenxơ, một số phép tính của tenxơ và đạo hàm hiệp biến của ten xơ hạng nhất, hạng hai Đồng thời tác giả cũng trình bày cách biến đổi để thu được hệ véctơ cơ sở, tenxơ mêtric hiệp biến và phản biến, các thành phần của kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé trong hệ tọa độ cong, cụ thể là hệ tọa độ trụ và cầu, từ đó giúp ích cho việc xác định các phương trình cân bằng- chuyển động, phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị ở chương 2

- Chương 2 vận dụng các hệ thức cơ sở của phép tính tenxơ để xây dựng các phương trình cân bằng- chuyển động và xây dựng các phương trình liên hệ biến dạng- chuyển vị Đồng thời cũng trình bày ứng dụng của tenxơ trong bài toán vỏ mỏng, cụ thể hơn là áp dụng khai triển cho vỏ trụ và vỏ cầu

Nội dung của luận văn sẽ được trình bày chi tiết dưới đây:

Chương 1 - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ

1.1 Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa

Tenxơ là trường hợp riêng của hệ thống phần tử, các thành phần của hệ là hằng số hoặc là hàm số xác định trong hệ cơ sở đã cho, với phép biến đổi tuyến tính của hệ

cơ sở các thành thay đổi theo một quy luật xác định

Hệ thống kí hiệu

Các kí hiệu trong hệ thống đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số trên và dưới

Theo quy ước: các chỉ số bằng chữ la tinh lấy cá giá trị 1,2,3 Ví dụ, nếu kí hiệu nghĩa là biểu thị 1 trong 3 phần tử biểu thị 1 trong 9 phần tử

Hạng của tenxơ

Hạng của tenxơ xác định bằng số lượng chỉ số trong kí hiệu tenxơ Như phụ thuộc vào một chỉ số nên là hệ thống hạng 1 bao gồm 3 hạng tử phụ thuộc vào 2 chỉ số nên là hệ thống hạng 2 bao gồm phần tử

Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n chỉ số là hệ thống hạng n gồm phần tử

Quy ước về chỉ số

Chỉ số trong hệ thống tenxơ tuân theo quy ước: “ Trong một biểu thức, nếu chỉ số lặp lại 2 lần , nó biểu thị tổng đó từ 1 đến 3” Chỉ số như vậy là chỉ số câm nên nó

có thể thay bằng chữ khác

Ví dụ:

Hệ thống đối xứng

Xét hệ thống hạng hai

Nếu thay đổi chỗ của 2 chỉ số cho nhau, các thành phần của hệ thống không thay đổi dấu giá trị thì hệ thống gọi là hệ thống đối xứng

Nếu thay đổi vị trí của 2 chỉ số cho nhau, thành phần của hệ thống chỉ thay đổi dấu

mà không thay đổi giá trị tuyệt đối thì hệ thống là hệ thống phản đối xứng

Ví dụ hệ thống Kronecker

nếu nếu là hệ thống đối xứng

Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số

Hệ thống đối xứng với hai chỉ số nào đấy, nếu thành phần của nó không thay đổi khi đổi chỗ hai chỉ số đó cho nhau

Ví dụ: Nếu hệ thống đối xứng theo 2 chỉ số thì

Hệ thống Levi-Civita là một hệ thống phản đối xứng hạng 3

khi 2 chỉ số bất kỳ bằng nhau khi là hoán vị chẵn của các số 1, 2, 3

khi là hoán vị lẻ của các số 1, 2, 3

, Cách thành phần còn lại của

Loại tenxơ

Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) đƣợc xác định bởi vị trí của chỉ số

Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ hiệp biến hạng hai

Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ phản biến hạng hai

Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ hỗn hợp hạng hai

1.2 Phép biến đổi tọa độ

1.2.1 Hệ tọa độ Đềcác

Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc

với véc tơ cơ sở (Hình 1)

là véctơ bán kính của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác

Véc tơ được biểu diễn dưới dạng

(1.1) Xét điểm Q là lân cận của điểm P

là độ dài bình phương vô cùng nhỏ của

O

Hình 1

Do trong hệ tọa độ Đềcác hệ các véctơ cơ sở là các véctơ đơn vị và trực giao nên tích vô hướng =0 nếu , nếu nên

Suy ra:

a Các phép tính đối với tenxơ hạng nhất ( vectơ)

Xét một hệ thống có các thành phần trong hệ cơ sở

Phép cộng

Nhân với một số

Nhân vô hướng

Nhân véctơ

Hay viết dưới dạng:

Tích hỗn hợp

Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ là )

b Các phép tính đối với tenxơ hạng hai Tenxơ hạng cao

Đối với tenxơ hạng hai và tenxơ hạng cao, các phép tính cũng được thực hiện tương

tự như đối với tenxơ hạng nhất

Chú ý là phép tính cộng, trừ chỉ áp dụng được với các tenxơ cùng hạng và cùng loại Phép nhân có thể thực hiện với hai tenxơ có hạng bất kỳ

Ví dụ: xét tenxơ hạng hai :

Phép cộng

Phép trừ

Phép nhân vô hướng

Tích tenxơ

Phép nhân( tích tenxơ) của các ten xơ dẫn đến tenxơ hạng cao hơn với chú ý sau các phép cộng và nhân tenxơ, chỉ số dưới vẫn là chỉ số dưới, chỉ số trên vẫn là chỉ số

trên

1.2.2 Hệ tọa độ cong

Hệ tọa độ cong với hệ véc

tơ cơ sở (Hình 2)

là véctơ bán kính của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ cong

Biểu diễn véc tơ dưới dạng :

Lấy điểm là lân cận của điểm

O

Hình 2

Độ dài bình phương của véc tơ vô cùng nhỏ được xác định bằng

Trong đó

Phép tính đối với vectơ

Phép cộng, trừ

Tích vô hướng

1.2.3 Phép biến đổi tọa độ

Bán kính của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác biểu diễn dưới dạng:

Với các véc tơ cơ sở là không đổi

Trong tọa độ cong bất kỳ, các biến liên hệ với tọa đồ Đề các trong miền đang xét bằng phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân được, đơn trị

và Jacôbiên của 2 phép biến đổi thuẩn nghịch đều khác không

Ta có:

Suy ra 2 ma trận là nghịch đảo của nhau

Ta kí hiệu :

Các véctơ thay đổi từ điểm này sang điểm khác gọi là

hệ véctơ cơ sở hiệp biến của hệ tọa độ cong Trong đó

là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ;

là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ;

là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ

Cùng với hệ véctơ cơ sở , ta đưa vào hệ véctơ cơ sở phản biến liên hệ theo hệ thức sau

(1.4) Nếu xét một lân cận vô cùng nhỏ của điểm P trong tọa độ cong, thì chuyển dịch vô cùng nhỏ từ tới điểm cho ta vi phân vô cùng nhỏ của véc tơ bán kính của điểm

Tài liệu tham khảo

[1] Đào Huy Bích(2000), Lý thuyết đàn hồi, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích(2003), Cơ học môi trường liên tục, NXB

Đại Học Quốc Gia Hà Nội

[3] A W Joshi (1995), Matrices and Tensors in Physics, 3rd ed Wiley

[4] D.A Danielson(2003), Vectors and Tensor In Engineering And Physics:

Second Edition, Westview Press

[5] Bernard Schutz (1980), Geometrical Methods of Mathematical Physics,

Cambridgr University Press

[6] Gantmacher FR (1959), The Theory of Matric, Chelsea Publishing Company,

New York

[7] Halmos PR (1958) Finite- Dimensional Vecctor Space, Van Nostrand, New

York

[8] I.N Broustein, K.A Semendyayev, G Musiol,H Muehlig (2004), Handbook

of Mathematics, Spinger, Berlin Heidelberg New York

[9] J.H Heinbocked (2001), Introduction to Tensor Calculus and Continuum

Mechanics, Trafford Publishing

[10] Mikhail Itskow, Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers, Spinger

Dordrecht Heidelberg London New York

[11] Ralph Abraham, J E Marsden, T Ratiu (1988), Tensor Analysis, and

Applications, 2nd ed, Springer-Verlag, New York

[12] R.Bishop, S.Goldberg (1980), Tensor Analysis on Manifolds, New York:

Dover

[13] R.Aris (1989), Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics,

New York: Dover

[14] Sokolnikoff IS (1964), Tensor Analysis, Theory and Applications to Geometry

and Mechanics of Continua, John Wiley & Sons, New York