Phân bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q với trạng thái ngưng tụ của vật liệu siêu dẫn

Lý do chọn đề tài Đầu thế kỷ XX, Einstein sau khi xây dựng xong thống kê Bose - Einstein, trên cơ sở đặc điểm của hệ các hạt đồng nhất Boson là số hạt ở trong cùng một trạng thái có thể

Lời cảm ơn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Ban chủ nhiệm và thầy cô giáo khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn Đặc biệt tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS

TS Lưu Thị Kim Thanh đã tận tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, những người

đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn Mặc dù tôi đã rất cố gắng, song bản luận văn này không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này

là trung thực và không trùng lập với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Tác giả

đỗ thị thắm

Mục lục

Lời cảm ơn   1

Lời cam đoan   2

Mục lục   3

Mở đầu   4

Nội dung   6

Chương 1: Phân bố thống kê Bose – Einstein và nhiệt độ ngưng tụ 6    1.1 Thống kê Bose – Einstein   6

1.2 Thống kê Bose – Einstein theo lý thuyết trường lượng tử 9 1.2.1 Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính 9 1.2.2.Toán tử sinh hạt và hủy hạt Boson

1.2.3 Thống kê Bose - Einstein theo lý thuyết trường lượng tử     

17 19 1.3 Nhiệt độ ngưng tụ Bose – Einstein 21

Chương 2: Phân bố thống kê Bose – Einstein biến dạng q và nhiệt độ ngưng tụ 29

2.1 Lý thuyết q - số 29

2.2 Thống kê Bose – Einstein biến dạng q

2.3 áp dụng thống kê Bose – Einstein biến dạng q nghiên cứu hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein

33 35 Chương 3: Tính số nhiệt độ ngưng tụ của vật liệu siêu dẫn Zn 43 3.1 Tính số theo nhiệt độ ngưng tụ Bose – Einstein thông thường 43 3.2 Tính số theo nhiệt độ ngưng tụ Bose – Einstein phụ thuộc thông số biến dạng q của Zn 44

Kết luận chung   57

Tài liệu tham khảo   58

Phụ lục   59

I Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Đầu thế kỷ XX, Einstein sau khi xây dựng xong thống kê Bose - Einstein, trên cơ sở đặc điểm của hệ các hạt đồng nhất Boson là số hạt ở trong cùng một trạng thái có thể tùy ý chứ không như các Fermion phải tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli Ông đã tiên đoán có tồn tại một trạng thái vật chất

đặc biệt đó là trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein Kể từ đó tiên đoán của Einstein đã được ứng dụng giải thích các hiện tượng vật lý như hiện tượng siêu dẫn, siêu chảy và đã thu hút được nhiều nhà vật lý quan tâm Từ thực nghiệm các nhà vật lý đã tìm được nhiệt độ chuyển pha của một số vật liệu siêu dẫn Năm 2001 ba nhà vật lý người Mỹ đã bằng thực nghiệm tạo ra trạng thái ngưng tụ với kim loại kiềm, cả ba nhà vật lý đã được trao giải Nobel Phát minh này đã mở ra các công nghệ mới cho khoa học

Từ trước đến nay, các kết quả nghiên cứu bằng lý thuyết để tính nhiệt

độ ngưng tụ đều dùng phân bố thống kê Bose - Einstein Thống kê này là áp dụng cho hệ khí lý tưởng nên khi ta áp dụng cho hệ khí thực thì có sự sai khác giữa lý thuyết và thực nghiệm Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi đã dùng phương pháp lý thuyết trường lượng tử để xây dựng phân bố thống kê Bose -Einstein biến dạng q và áp dụng phân bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q này để tìm nhiệt độ ngưng tụ cho các vật liệu siêu dẫn Dưới sự hướng dẫn của cô giáo PGS- TS - Lưu Thị Kim Thanh, chúng tôi đã thực hiện luận văn “Phân

bố thống kê Bose - Einstein biến dạng q với trạng thái ngưng tụ của vật liệu siêu dẫn”

2 Mục đích nghiên cứu

- Xây dựng hàm phân bố Bose - Einstein trong trường hợp biến dạng

- Nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein, tìm được giá trị của nhiệt độ ngưng tụ Bose - Einstein đối với vật liệu siêu dẫn cụ thể và so sánh với kết quả chính tắc

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Xây dựng thống kê Bose - Einstein bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử

- áp dụng thống kê Bose - Einstein biến dạng q nghiên cứu trạng thái ngưng tụ Bose - Einstein

- Tính nhiêt độ ngưng tụ của vật liệu siêu dẫn kẽm

4 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

- Các hạt có Spin nguyên - các hạt Boson và vật liệu siêu dẫn

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp của lý thuyết trường lượng tử

- Phương pháp giải tích toán học

- Phương pháp tính số bằng phần mềm Mathematica 7.0

6 Những đóng góp mới của đề tài

Đề tài sau khi hoàn thành sẽ:

- Xây dựng được lý thuyết hàm phân bố thống kê Bose - Einstein trong trường hợp biến dạng q

- Tính được nhiệt độ ngưng tụ Bose - Einstein phụ thuộc vào thông số biến dạng q và so sánh với kết quả chính tắc

II Nội dung

Chương 1

Phân bố Thống kê Bose – Einstein và nhiệt độ ngưng tụ Trong chương 1, chúng tôi trình bày việc xây dựng phân bố thống kê Bose – Einstein bằng hai phương pháp Gibbs và lý thuyết trường lượng tử áp dụng phân bố thống kê Bose - Einstein để nghiên cứu về nhiệt độ ngưng tụ Bose – Einstein

1.1 Thống kê Bose – Einstein

Để xây dựng phân bố thống kê Bose - Einstein này đồng nghĩa với việc

ta cần tìm công thức tính số hạt trung bình trong mỗi trạng thái lượng tử đơn hạt

Để tính được số hạt trung bình đó thì ta cần tìm được xác suất trạng thái của cả hệ với điều kiện

( 1, 2, )

i i

Ta có thể xét hệ điện tử nằm trong những điều kiện cân bằng nhiệt động với số điện tử có thể thay đổi (thoát qua mặt phân cách ra ngoài hoặc từ ngoài vào), miễn là số điện tử trung bình bằng N ở đây thì ta sẽ sử dụng phân bố chình tắc lớn hay phân bố Gibbs suy rộng để tính

Theo phân bố Gibbs suy rộng, ta có xác suất của trạng thái N N, k là trạng thái của hệ với số hạt tổng cộng của hệ là N trong đó có N k hạt ở trạng thái k là:

 ,  ,

1

i k k

 bằng cách cộng tất cả các xác suất  , 

k

N N

 theo mọi tập hợp các số N i (i 1, 2, ) cùng chứa N k

Tức là:  

 

.

với năng lượng k ta cần tính tổng ở vế phải của (1.6)

Thật vậy, đối với các hạt Boson ta có N  k 0,1, 2 nên:

g tức là ứng với năng lượng k có  

k

g trạng thái lượng tử khác nhau thì khi đó (1.8) được viết lại là:

 

1

k k k kT

g N e

1.2 Thống kê Bose – Einstein theo lý thuyết trường lượng tử

1.2.1 Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyến tính

Dao động tử điều hòa một chiều là chuyển động của một chất điểm có khối lượng m dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f  kx dọc theo một

đường thẳng nào đó

Toán tử Aˆ là một quy tắc hay một phép toán mà nhờ nó ta có thể biến

đổi hàm  thành hàm  Ta nói rằng toán tử Aˆ tác dụng lên hàm  cho ta hàm  và viết rằng Aˆ  

Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian của dao động tử điều hòa một chiều [1], [6]:

2 2 1

+ N aˆ,ˆ  Na aNˆˆˆˆ a aaˆ ˆ ˆ aa aˆ ˆ ˆ a aˆ ˆ aaˆ ˆaˆ 1.aˆ aˆ

Suy ra Naˆˆa Nˆ ˆ1 (1.17) + N aˆ,ˆ   Naˆˆ a Nˆ ˆ a aaˆ ˆ ˆ  a a aˆ ˆ ˆ  aˆaaˆ ˆ a aˆ ˆ aˆ.1aˆ

Suy ra Naˆˆ aˆNˆ 1 (1.18)

Ký hiệu n là véc tơ riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n thì phương trình hàm riêng, trị riêng khi đó là:

Vậy các trị riêng của toán tử Nˆ là các số không âm

Cho aˆ tác dụng lên véc tơ trạng thái n ta thu được véc tơ trạng thái

cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán

tử Nˆ ứng với trị riêng n 1

Do đó  aˆ  2 n a; ˆ  3 n cũng là véc tơ trạng thái của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n 2 , n 3 

Vậy nếu n là một véc tơ riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n thì

Từ (1.25) và (1.26) ta thấy trị riêng nhỏ nhất của toán tử Nˆ là nmin có giá trị bằng 0 Véc tơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của Nˆ được ký hiệu

là 0 Véc tơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện aˆ 0  0

Ta có thể rút ra các định lý sau:

+ Các trị riêng của toán tử Nˆ là các số không âm

+ Nếu n là một véc tơ riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n

+ TrÞ riªng nhá nhÊt cña to¸n tö Nˆ lµ nmin cã gi¸ trÞ b»ng 0 VÐc t¬ tr¹ng th¸i øng víi trÞ riªng nhá nhÊt cña Nˆ ®­îc ký hiÖu lµ 0 VÐc t¬ tr¹ng th¸i nµy tháa m·n ®iÒu kiÖn aˆ 0  0

Tõ (i) vµ (ii) ta thÊy:

1 lµ mét vÐc t¬ riªng cña to¸n tö Nˆ øng víi trÞ riªng 1

ˆ 0

a lµ mét vÐc t¬ riªng cña to¸n tö Nˆ øng víi trÞ riªng 1

V× vËy aˆ 0 ph¶i tû lÖ víi vÐc t¬ riªng 1 cña to¸n tö Nˆ øng víi trÞ riªng n 1

1 là véc tơ riêng của Hˆ ứng với trị riêng 1 1 1

Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián

đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng thái kề nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng  

Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E0 thì có thể coi:

+ Trạng thái 0 là trạng thái không chứa lượng tử nào và được gọi là trạng thái chân không

+ Trạng thái 1 là trạng thái chứa 1 lượng tử

+ Trạng thái 2 là trạng thái chứa 2 lượng tử

………

+ Trạng thái n là trạng thái chứa n lượng tử

Toán tử Nˆ có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị được

đoán nhận là toán tử số năng lượng

Toán tử aˆ khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỷ lệ với n 1 , do đó

được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng

Toán tử aˆ  khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỷ lệ với n 1 , do

đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng

Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì toán tử Nˆ

sẽ là toán tử số hạt, aˆ sẽ là toán tử hủy hạt, aˆ sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó trạng thái n với năng lượng E n    sẽ là trạng thái chứa n hạt, đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa

Boson, đặt tên theo nhà vật lý người ấn Độ Satyendra Nath Bose, là một trong hai loại hạt cơ bản trong tự nhiên (loại hạt kia là Fermion) Chúng là hạt duy nhất tuân theo thống kê Bose - Einstein, nghĩa là chúng có thể nằm cùng một trạng thái lượng tử (không tuân thủ nguyên lý Pauli) Theo lý thuyết thống kê spin, chúng có spin lấy giá trị nguyên

Theo trên thì ta đã tìm được các hệ thức giao hoán của toán tử sinh hạt

1.2.3 Thống kê Bose – Einstein theo lý thuyết trường lượng tử

Ta xuất phát từ biểu thức tính giá trị trung bình của đại lượng vật lý F [1], [2], [5]:

Ta thÊy  

0

n n

e   



 



 lµ tæng cña mét cÊp sè nh©n lïi v« h¹n víi c«ng béi

lµ e     vµ sè h¹ng ®Çu tiªn øng víi n 0 cã gi¸ trÞ b»ng 1

Đây là biểu thức tính số hạt trung bình ở trên cùng một mức năng lượng

 được gọi là phân bố thống kê Bose - Einstein cho hệ đồng nhất các hạt Boson

1.3 Nhiệt độ ngưng tụ Bose  Einstein

Ngưng tụ Bose - Einstein hay ngưng tụ Bose là hiện tượng chuyển pha của các hạt Boson, trong đó một lượng lớn các hạt Boson cùng tồn tại trên một trạng thái lượng tử, khi nhiệt độ nhỏ hơn một nhiệt độ chuyển pha

Đối với mô hình khí lý tưởng (không có tương tác giữa các Boson), khi

ở nhiệt độ đạt đến không tuyệt đối (0 kelvin) tất cả các hạt Boson có thể cùng tồn tại trên một trạng thái lượng tử với năng lượng thấp nhất Đó chính là ngưng tụ Boson - Einstein Bằng lý thuyết người ta đã chứng minh rằng tồn tại nhiệt độ ngưng tụ Tc mà khi nhiệt độ của hệ T < Tc thì hệ ở trạng thái BEC

Đối với hệ khí Boson có tương tác (mô hình khí thực), người ta đã chứng minh một cách lý thuyết là tồn tại nhiệt độ chuyển pha, mà khí Boson

có thể ngưng tụ Những tiến bộ trong kỹ thuật làm lạnh và giam nguyên tử đã cho phép thực nghiệm quan sát được hiện tượng ngưng tụ Boson - Einstein trong hệ khí liti, kali và natri

ở nhiệt độ thấp khí Boson có tính chất khác hẳn khí Fecmi, vì các hạt Boson không chịu sự chi phối của nguyên lý cấm Paoli nên ở nhiệt độ không

tuyệt đối tất cả các hạt đều có năng lượng   0, do đó trạng thái cơ bản của tất cả chất khí là trạng thái có năng lượng E = 0

Khí Boson tuân theo quy luật phân bố thống kê Bose - Einstein, vì vậy

số hạt trong khoảng năng lượng d là :

 

.

dnN f  d (1.36) Với f  d là số các mức năng lượng trong khoảng  đến  d

 

N  là số hạt trung bình ở trên cùng một mức năng lượng  tức hàm phân bố Bose - Einstein là :

g N

Ta có số sóng đứng có chiều dài (modun) của véc tơ sóng k

từ k đến

kdk:

 

2 2

và véc tơ sóng k

2 2

2

2 2

2 2

2

p m

 

g  phụ thuộc vào Spin của hạt, nếu Spin của hạt bằng 0 chẳng hạn như phân

tử 4

2

He thì bội suy biến g  =1

Thay (1.37) và (1.40) vào (1.36) ta thu được số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng  đến  d bằng:

1 3/ 2

2

2 3

2

4

       

1 3

2 2

Nếu số hạt N là số cho trước thì biểu thức (1.42) sẽ xác định được  và

 là hàm nghịch biến của nhiệt độ, tức là: 0

ThËt vËy:

1 2 0 1 2 0

T

N T

d e

1 2 2 0

1 1

.

1

e

d e

Khi nhiệt độ giảm thì  tăng, và đến nhiệt độ Tc nào đó  sẽ đạt giá trị cực đại bằng 0, vì    0 max  0 thay =0 vào (1.42) và lấy tích phân ta

được:

 

1 3

2 2

2 3 0

2 4

1

c kT



 , khi đó (1.44) có dạng:

1 3

2 2

0 x 1

x dx e





 bằng phần mềm Mathemmatica 7.0 như sau:

1 2

69

1 2.31516 2.60406 10

3

3,31.

.

c

N T

1 3

2 2

2 3 0

2 0

2 2

2 3 0

2 0

Vậy đối với mọi chất khí Boson có tồn tại nhiệt độ Tc mà ở dưới nhiệt

độ này thì thế hóa học   0 Trong khoảng nhiệt độ 0 T T c có một số hạt nằm trong trạng thái có năng lượng thấp được xác định bởi công thức (1.47), nghĩa là các hạt đó nằm ở một pha khác mà người ta gọi là pha ngưng tụ Bose- Einstein đây là một trạng thái đặc biệt của vật chất mà Einstein đã dự đoán có thể xảy ra

Khi T = 0K thì tất cả các hạt đều có năng lượng   0 Việc tính toán

được nhiệt độ ngưng tụ Tc chứng tỏ rằng ở nhiệt độ đó tất cả các chất đều ở trạng thái rắn hoặc trạng thái lỏng, nghĩa là chúng không ở trạng thái khí

Trong 4

2

He lỏng ở nhiệt độ 2,8K người ta đã quan sát được một sự biến

đổi trạng thái độc đáo, mà ta có thể xem như là sự ngưng tụ Boson ở nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ 2,8K Heli lỏng gồm hai thành phần :

Thành phần bình thường mà ta có thể xem như một chất khí Boson còn chưa ngưng tụ, và thành phần siêu lỏng mà ta có thể xem như một chất khí Boson ngưng tụ ở mức ‘‘ không’’

Các hạt nằm ở mức ‘‘ không’’ của thành phần siêu lỏng của Heli không thể có đóng góp gì vào trong nhiệt dung và không thể truyền năng lượng trong chuyển động tương đối Nói khác đi, trong thành phần siêu lỏng 4

2

He không có xuất hiện lực nội ma sát (độ nhớt)

Như vậy việc di chuyển Heli từ trạng thái lỏng về trạng thái siêu lỏng (chuyển pha loại 2) có thể xem như là sự xác nhận lý thuyết về sự ngưng tụ của khí Boson Tuy nhiên với đồng vị 3

2

He lỏng thì không có thành phần siêu lỏng ở nhiệt độ thấp, bởi vì số nucleon trong hạt nhân là lẻ, nó có Spin bán nguyên và do đó nó tuân theo thống kê Fecmi - Dirac

Dựa vào (1.45) ta thấy là nhiệt độ chuyển pha Tc phụ thuộc vào nồng độ hạt (N/V)

Kết luận chương 1:

Như vậy, trong chương 1 bằng hai phương pháp Gibbs và lý thuyết trường lượng tử chúng tôi đã trình bày việc xây dựng hàm phân bố thống kê Bose - Einstein áp dụng và tính được nhiệt độ ngưng tụ Bose - Einstein:

Ta thấy rằng nhiệt độ ngưng tụ này không chỉ phụ thuộc

vào khối lượng m của hạt mà nó còn phụ thuộc vào nồng độ N

V của hạt

ở đây, phương pháp Gibbs là một phương pháp truyền thống còn lý thuyết trường lượng tử là phương pháp của vật lý hiện đại nên chúng tôi cũng mong muốn là có thể phát triển phương pháp này lên lý thuyết thống kê biến dạng được trình bày ở chương sau

Chương 2

Phân bố Thống kê Bose – Einstein biến dạng q và nhiệt

độ ngưng tụ 2.1 Lý thuyết q – số

Ta biết rằng q-số tương ứng với số thông thường x được định nghĩa là [9], [10]:

+ Nếu q là thực, q-số có thể biểu diễn như sau: qe với  là thực thì:

qe với  là thực thì:

 

1

sin sin

1

lim

  (2.4) Thật vậy:

3 3

2 1

1 1

2 0

n

n n q

n

n n q

n

a

n x x

n x x