1 Hệ toạ độ không gian I- Toạ độ điểm véc tơ 1) Hệ toạ độ : Định nghĩa (SGK) Ký hiệu: Oxyz Điểm O +) Điểm O gọi gốc toạ độ gốc toạ độ +) Trục xOx gọi trục hoành +) Trục yOy gọi trục tung +) Trục zOz gọi trục cao rr r +) i, j , k ba véc tơ đơn vị ®«i mét vu«ng gãc, ta cã: r2 r r rr r r rr i = j = k = , i j = j k = k.i = +) Các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz), (Ozx) +) Không gian với hệ toạ độ Oxyz gọi không gian Oxyz zOz trục cao z r k y’ r i O x’ r j z’ x x’oxlµ trơc hoµnh y’Oy lµ trơc tung y Hệ toạ độ không gian I- Toạ độ điểm véc tơ Toạ độ véc tơ Hoạt động 2: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật uuu uuu uuur r r ABCD.ABCD cã ®Ønh A trïng víi gèc O, cãAB , AD, AA ' theo thø tù rr r cïng h­ínguuu uuui,uuuu k vµ cã AB = a, AD =b, AA’ = c HÃy tính toạ độ với r j , uuur r r vectơ AB, AC, AC ', AM với M trung điểm CD Giải: Ta có: uuu r uuu r r r uuur r uuu r + ) AB = ai, AD = b j , AA ' = c k ⇒ AB = ( a;0;0 ) uuu uuu uuu r r uuu r r r r + ) AC = AB + AD = + b j ⇒ AC = ( a; b;0 ) A’ z uuuu uuu uuu uuur r r r uuuu r r r r + ) AC ' = AB + AD + AA ' = + b j + c k ⇒ AC ' = ( a; b; c ) B’ uuur uuuu uuuuu uuu uuur uuuuu r r r r + ) AM = AD ' + D ' M = AD + AA ' + D ' M c uuu uuur uuu r r r r r A = AD + AA ' + AB = b j + c k + a O 2 uuur   ⇒ AM =  a; b; c ÷ 2  B x D’ C’ M D b y C HÖ toạ độ không gian Kiến thức cũ r r Trong mặtr r với hệ trục toạ độ Oxy cho a = (a1; a ), b = (b1; b ) ph¼ng Ta cã: 1) ar+ b = (a1 + b1; a + b ) r 2) a − b = (a1 − b1; a − b ) r 3) k.a = (ka1; ka ), k ∈ ¡ r r a1 = b1 4) a = b ⇔  a = b r r r r 5) Víi b ≠ 0, a cïng ph­¬ng b ⇔ ∃k ∈ ¡ : a = kb1 ,a = kb 6) Trong mặt phẳng với hệ Oxy cho A(x A ; y A ), B(x B ; y B ) th× uuu uuuu uuu r r r ∗ AB = OB -OA = (x B -x A ; y B -y A ) Toạ độ trung điểm M AB: M( xA + xB yA + yB ; ) 2 Hệ toạ độ không gian II- Biểu thức toạ độ phép toán vectơ Định lý: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ r r Ta có: 1) a + b = (a1 + b1; a + b ;a + b ) r r 2) a − b = (a1 − b1; a − b ;a − b ) r 3) ka = (ka1; ka ;ka ), k ∈ ¡ HƯ qu¶: a =b r r a = (a1; a ;a ), b = (b1;b ;b )  r r  1) a = b ⇔ a = b a = b r r r3 r 2) Víi b ≠ 0, a cïng ph­¬ng b ⇔ ∃k ∈ ¡ : a = kb1,a = kb ,a = kb 3)Trong k/g víi hƯ Oxyz cho A(x A ; y A ;z A ), B(x B ; y B ;z B ) th× uuu uuuu uuu r r r + ) AB = OB -OA = (x B -x A ; y B -y A ;z B -z A ) +) Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB : M( x A + x B yA + yB z A + z B ; ; ) 2 HƯ to¹ độ không gian Câu hỏi thảo luận Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho A(1; 2; 3), B( −1;3; −4),C(5;0; −1) uuu uuu r r r uuu uuu r r a) Tìm toạ độ vÐc t¬: AB, AC, v = 3AB − AC b)Xác định toạ độ trung điểm đoạn thẳng BC CMR :Ba điểm A, B, C thẳng hàng uuu r uuu r Đáp án: a) AB = ( 2;1; 1), AC = (4; −2; 2) uuu r r r uuu uuu r r uuu 3AB = ( −6;3; −3), AC = (2; −1;1), v = 3AB − AC = ( −8; 4; −4) 2 b) Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng BC là: M(2; ; − ) uuu uuu r r uuu r uuu r 2 Hai vÐc t¬ AB, AC cïng phương AC = 2.AB Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng KIM TRA BI C Cõu hi 1: Cho ba vec tơ: r a = (2;3; −2), u r b = (−1;2;3), r c = (2; −1; −3) Tính toạ độ vectơ u r r u r r d = 3a − b + 2c Câu hỏi 2: Trong khơng gian Oxyz cho A(1;2;3), B(2;1;2), C(-3;3;1) Tìm toạ độ trọng tâm tam giác ABC III TÍCH VƠ HƯỚNG Biểu thức toạ độ tích vơ hướng Bài tốn: Trong khơng gian Oxyz; cho hai vectơ u r r a = (a1;a ;a ) vµ b = (b1;b ;b ) Tính tích vơ hướng hai vectơ Bài tốn: u r r Trong không gian Oxyz; cho hai vectơ a = (a1;a ;a ) vµ b = (b1;b ;b ) Tính tích vơ hướng hai vectơ Giải r u r u r r u r r r Ta có: a = a1 i + a j + a k vµ b = b1 i + b j + b k r r u r r u r r u r r Khi đó: a.b = (a1 i + a j + a k )(b1 i + b j + b k) r2 rr ru r rr r2 = a1b1 i + a1b2 i.j + a1b3 i.k +a b1 j.i + a b j r ur r ur r u2 r ru + a b3 j.k + a 3b1 k.i + a 3b k.j + a 3b3 k r r2 r2 u2 r rr ru r ur r i = j = k =1 vµ i.j = j.k = k.i = r ru nên: a.b = a1b1 + a b + a 3b3 Vì Định lí: Trong khơng gian Oxyz, tích vơ hướng hai vectơ u r r a = (a1;a ;a ) vµ b = (b1;b ;b ) xác định công thức: u u r r a.b=a1b1+ a2b2 + a3b3 Ứng dụng: a) Độ dài vec tơ: r Cho vectơ a = (a1;a ;a ) độ dài vectơ r r a có cơng thức: a = a12 + a 22 + a 32 b) Khoảng cách hai điểm Trong không gian cho hai điểm A(x A;yA;zA), B(xB;yB;zB) Khi khoảng cách hai điểm uuu r A B độ dài vectơ AB Do ta có: uuu r 2 AB = AB = ( x B - x A ) + ( y B - y A ) + ( z B - z A ) c) Góc hai vectơ r u r Gọi j góc hai vectơ a = (a1;a ;a ) vµ b = (b1;b ;b3 ) r u r u r u r vi a b ¹ Khi đó: r r u a1b1 + a b2 + a3b3 cosj = cos(a,b) = 2 2 a1 + a + a3 b1 + b2 + b3 Chú ý: r r u Ta có: a ^ b Û a b + a b + a b = 1 2 3 *) CỦNG CỐ D 3Với hệ toạ độ Oxyz không gian, cho u r r r a = ( 3;0;1) ,b = ( 1;- 1;- 2) ,c = ( 2;1;- 1) r Hãy tính: a u r r ( b + c) r u r vµ a + b *) BÀI TẬP CỦNG CỐ Cho tam giác ABC có A(2;0;1), B(1;-1;2), C(2;3;1) µ A góc tù a) Chứng minh tam giác ABC có b) Tính chu vi tam giác ABC c) Tìm M Ỵ Oy cho tam giác MBC vng M *) PHIẾU HỌC TẬP SỐ Trong không gian cho ba điểm A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB), B(xC;yC;zC) Hãy tìm: uuu r uuu r Tích vơ hướng hai vectơ AB vµ AC Xác định độ dài hai vectơ Xác định khoảng cáchr hai điểm A, B uuu uuu r góc hai vectơ AB vµ AC CỦNG CỐ - HƯỚNG DẪN HỌC BÀI Ở NHÀ Nắm biểu thức toạ độ tích vơ hướng hai vectơ không gian Nắm ứng dụng tích vơ hướng để tính độ dài vectơ, khoảng cách hai điểm, góc hai vectơ không gian Bài tập 3,4 trang 68-SGK  ... gian cho hai điểm A(x A;yA;zA), B(xB;yB;zB) Khi khoảng cách hai điểm uuu r A B độ dài vectơ AB Do ta có: uuu r 2 AB = AB = ( x B - x A ) + ( y B - y A ) + ( z B - z A ) c) Góc hai vectơ r u r