Qua M lần lợt kẻ các đờng thẳng song song với AB,... Lấy điểm N đối xứng với M quađờng thẳng HI; Gọi giao điểm của các đờng thẳng AN và BC là P.. Từ một điểm M di động trên đờng thẳng d
Trang 1Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên lam sơn (13)
Môn : Toán chung
(Thời gian làm bài 150 phút)
Không kể thời gian giao đề
Bài 1 (2 điểm)
Cho P = xy x y xy y x xxy y
a, Rút gọn P
b, Chứng minh rằng nếu
5
1
y
x y
x
thì P có giá trị không đổi
Bài 2 ( 2 điểm)
Tính giá trị biểu thức Q =
1
2 2
5
5 6
a
a a a
Biết x a y x z
5
và
) 2
)(
(
16 )
(
25 2
z y x y z z
Bài 3 ( 2 điểm)
Cho phơng trình bậc 2 ẩn : x2 – 2mx + 2m – 1 = 0
Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia
Bài 4 ( 2 điểm)
Xác định a, b để hệ phơng trình :
1
2
by ax
b ay x
a, Có nghiệm là x =1, y = 2
b, Có vô số nghiệm
Bài 5 ( 2 điểm)
Giải phơng trình : 2x 2 2x 1 2x 2 2x 1 = 2
Bài 6 ( 2 điểm)
Cho hàm số y = ax2 (a 0)
a, Xác định a biết đờng cong y = ax2 đi qua điểm A(3;3) Vẽ đồ thị của hàm số tìm đợc
b, Viết phơng trình đờng thẳng có hệ số góc m (m 0) và đi qua điểm (1;0) Tìm m để đờng thẳng đó tiếp xúc với parabol y = 13 x2
Bài 7 (2 điểm)
Cho x, y, z là các số dơng thoả mãn xyz =1
Tìm GTNN của biểu thức :
E =
) (
1 )
(
1 )
(
1
3 3
3 y z y z x z x y
Bài 8 ( 2 điểm)
Cho ABC cân (AB=AC, gócBAC = 450) Một điểm M ở trên cạnh
BC sao cho MB < MC Qua M lần lợt kẻ các đờng thẳng song song với AB,
Trang 2AC cắt AC, AB tơng ứng tại các điểm H,I Lấy điểm N đối xứng với M qua
đờng thẳng HI; Gọi giao điểm của các đờng thẳng AN và BC là P
a, Tứ giác AHMI là hình gì? INB là tam giác gì? Tại sao?
b, Chứng minh tứ giác AHIN là hình thang cân
Bài 9 (2 điểm)
Cho (O;R) và một điểm A nằm ngoài đờng tròn Từ một điểm M di
động trên đờng thẳng d vuông góc với OA tại A, vẽ các tiếp tuyến MB, MC
với đờng tròn (B, C là các tiếp điểm) dây BC cắt OM và OA lần lợt tại H và
K
a, Chứng minh rằng OA.OK không đổi, từ đó suy ra BC luôn đi qua
một điểm cố định
b, Chứng minh rằng H di động trên một đờng tròn cố định
c, Cho biết OA = 2R Hãy xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác
MBOC nhỏ nhất
Bài 10 ( 2 điểm)
Cho hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' có cạnh là a Gọi M, N, P lần lợt
là trung điểm của các cạnh BB', CC', C'D'
a, Dựng giao tuyến của mặt phẳng(MNP) với các mặt (A'B'C'D') và
mặt phẳng (AA'B'B)
b, Tính tỷ số thể tích của hai phần hình lập phơng do mặt phẳng
(MNP) cắt ra
Đáp án - Hớng dẫn chấm
Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên lam sơn
Môn : Toán chung
a, Điều kiện xy > 0, x y
P =
xy
y x xy
x y
y x xy y
) (
) )(
(
P = x y x y
0.5 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm b,
Do y x = 15
y
x
ị y = 5x
Ta có P =
x y
y x
=
x
x
4
6
= 2 3
ị P có giá trị không đổi
0.5 điểm 0.5 điểm
Trang 3Ta cã
z y x
a y
z
a z
x y
x
a
5 5
5
Suy ra ( ) 2
25
z
) 5 )(
5 (
z y x y z
a a
= =
) 2
)(
(
25 2
z y x y z
a
=
) 2
)(
(
16
z y x y
Suy ra 25 – a2 = 16 Þ a2 = 9 Þ a= ±3
MÆt kh¸c Q =
1
2 2
5
5 6
a
a a a
=
1
) 2 ( ) 2 ( 5 5
a
a a
a
=
=
1
) 1 )(
2 ( 5 5
a
a a
= a – 2, víi a - 1 Víi a = 3 th× P = 1
víi a = -3 th× P = -5
0.25 ®iÓm
0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm
Trang 4Bµi 3 2 ®iÓm
Gi¶ sö x1 = 2x2 Þ
) 2 ( 1 2 2
) 1 ( 2
3
2 2
2
m x
m x
Þ 2x2 – 3x2 + 1 = 0 Þ
2 1 1 2
2
x x
Víi x2 = 1 Þ x1 = 2 Þ m =
2 3
Víi x2 =
2
1
Þ x1 = 1 Þ m =
4 3
0.5 ®iÓm 0.5 ®iÓm 0.5 ®iÓm 0.5 ®iÓm
a,
HÖ cã nghiÖm x = 1, y = 2 khi
1 2
2 2
b a
b a
Þ a =
3
5
; b =
3
4
0.5 ®iÓm 0.5 ®iÓm b,
) 2 ( 1
) 1 ( 2
by ax
b ay x
Tõ (1) Þ x =
2
ay
b
thay vµo (2) ta cã a
2
ay
b
+ by = 1 y(a2 + 2b) = 2 – ab (3) Ph¬ng tr×nh (3) cã v« sè nghiÖm khi
0 2
0 2
2
ab
b a
Þ
3
3 2
4
b a
0.5 ®iÓm 0.5 ®iÓm Bµi 5
§iÒu kiÖn : x ³
2 1
Ph¬ng tr×nh Û 2 x 1 + 1 + | 2 x 1- 1 | = 2
Û | 2 x 1 - 1 | = 1 - 2 x 1
§Æt y = 2 x 1, y ³ 0
Ph¬ng tr×nh: | y – 1 | = 1 – y Û y £ 1
KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn 0 £ y £ 1 Þ 0 £ 2 x 1 £ 1Û
2
1 £ x £ 1 §¸p sè :
2
1 £ x £ 1
0.5 ®iÓm 0.5 ®iÓm
0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm 0.25 ®iÓm
Trang 5Bài 6 2 điểm a,
Đờng cong y = ax2 đi qua A(3;3) ị a =
3 1
ị y = 13x2
0.5 điểm 0.5 điểm
b, Đờng thẳng có hệ số góc m có dạng y = mx + b
qua (1;0) ị b = - m ị đờng thẳng y = mx – m
Đờng thẳng y = mx – m tiếp xúc với (P) y =
3
1
x2 khi phơng trình 3
1
x2 = mx – m (1) có nghiệm 1 nghiệm kép ị m =
3 4
ị đờng thẳng y =
3
4
x - 3 4
0.25 điểm 0.25 điểm
0.25 điểm 0.25 điểm
Đặt a =
x
1 , b = 1y , c =
z
1
ị abc = xyz1 = 1
ị x + y = c(a + b)
y + z = a(b + c)
x + z = b(c + a)
ị E =
c b
a
2
+
a c
b
2
+
b a
c
2
Dễ dàng chứng minh đợc
c b
a
+
a c
b
+
b a
c
³
2 3 Nhân hai vế với a + b + c > 0
ị
c b
c b a a
(
+
a c
c b a b
(
+
b a
c b a c
(
³ 2
3 (a+b+c)
ị
c b
a
2
+
a c
b
2
+
b a
c
2
³
2
c b
a
³
2
3 3 abc
= 2 3
ị E ³
2 3 Dấu "=" xảy ra Û a = b = c = 1
Vậy min E =
2
3 khi a = b = c = 1
0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm
0.25 điểm 0.25 điểm
Trang 6Bài 8 2 điểm a,
Ta có AHMI là hình bình hành (có cạnh đối song song)
Vì M, N đối xứng nhau qua HI
ị IN = IM
Mặt khác do IM//AC
ị góc IMB = ACB =IBM
ị IBM cân
ị IM = IB Vậy IN = IM = IB
ị INB cân
0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm
b, Vì N, M đối xứng với nhau qua HI nên HI là đờng trung trực của
MN và đi qua trung điểm E của NM
Mặt khác do AHMI là hình bình hành do đó HI cắt AM tại trung
điểm D của AM Vậy DE là đờng trung bình của NMA
ị DE//NA hay HI//NAị tứ giác AHIN là hình thang Ngoài ra ta có
NH=HM (do N đối xứng với M qua HI)
HM=AI (do AHMI là hình chữ nhật) ị NH = AI Vậy hình thang
AHIN có 2 đờng chéo bằng nhau do đó nó là hình thang cân
0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm 0.25 điểm
a, Chứng minh đợc OM ^ BC
HOK ~ AOM
ị
OA
OH
=
OM OK
ị OA.OK = OH.OM (1)
Xét BOM vuông tại B
nên OB2 = OH.OM (2)
Từ (1) và (2) ị OA.OK =
= OB2 = R2 (không đổi)
ị OK =
OA
không đổi
ị K cố định trên OA
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
0.25 điểm
b, H nằm trên đờng tròn đờng kính OK cố định 0.5 điểm c,
S = dtMBOC =
2
1 MO.BC
ị S nhỏ nhất Û OM nhỏ nhất và BC nhỏ nhất
ị OM nhỏ nhất Û M º A
BC nhỏ nhất Û BC ^ OK Û M º A
0.25 điểm 0,25 điểm
A
M
B
O
C
H K
I D K E N
B M C
H A
P
Trang 7- Ta có MN//B'C'
nên giao tuyến của mp(PMN) và mp(A'B'C'D') là PQ//B'C'
- Ta có Q, M ẻ mp(PMN) và Q,M ẻ mp(AA'BB')
Vậy giao tuyến của mp(PMN) với mp(AA'BB') là QM
0,5 điểm 0,5 điểm
b, Mặt phẳng (PMN) chia hình lập phơng thành 2 lăng trụ đứng
B'QM.C'PN và AA'QMB.DD'PNC có đờng cao là a, nên tỷ số thể
tích của chúng chính là tỷ số các diện tích đáy
Vậy :
PNC DD QMB AA
PN C QM B
V
V
' '
' '
=
QMB AA
QM B
S
S
'
'
=
2 2 2
8 1 8 1
a a
a
= 7 1
0,5 điểm 0,5 điểm
Q
D
C B
A
A'
C'
M
N B'