đề thi - d.a chuyên Lam Son - đề 8

Trên tia đối của tia EB lấyđiểm K, đờng thẳng KN cắt AB tại P đờng thẳng KM cắt AC tại Q.. Chứng minh PQ//BC.. Câu 92đ: Cho một đờng tròn O đờng kính AB.. Có một điểm M nằm trên cung AB

Đề thi vào lớp 10 THPT Lam Sơn- Thanh Hoá(8)

môn : toán

Thời gian : 150 phút

Câu 1(2đ): Cho biểu thức:







































1 3

2 3

1 : 1 3

1 1

3

1 9

8

x x x

x

x x x

x x

x x

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm x để A=

2 3

Câu 2(2đ): Cho biểu thức A= y2-5xy + 6x2

a) Phân tích A thành nhân tử b) Tìm các cặp số (x,y) thoả mãn điều kiện:

x – y + 1=0 và A=0

Câu 3(2đ): Cho phơng trình: x2+ax+b=0 có 2nghiệm x1,x2

Và phơng trình x2+cx+ d= 0 có 2nghiệm x3, x4

Chứng minh rằng:

2(x1+x3)(x1+x4)(x2+x3)(x2+x4)= 2(b-c)2- (a2-c2)(b-d)+ (a2+c2)(b+d)

Câu 4(2đ): Giải hệ phơng trình:



















xy yz

x

xy z

4 1 2 1

2 1 2 2

Câu 5(2đ): Giải phơng trình

a) 3x2  6x 7  5x2  10x 14  4  2x x2

b) (x-1)6+(x-2)6=1

Câu 6(2đ): Tìm a để 3 đờng thẳng sau đây đồng quy:

y= 2x y=-x-3 y= ax+5

Câu 7(2đ): Chứng minh rằng tổng bình phơng của 1984 số tự nhiên

liên tiếp không

Thể là bình phơng của một số nguyên

Câu 8(2đ): Cho ABC đờng thẳng d cắt AB và AC và trung tuyến AM

theo thứ tự

Là A , F , N

a) Chứng minh :

AN

AM AF

AC AE

AB 2





b) Giả sử đờng thẳng d // BC Trên tia đối của tia EB lấy

điểm K, đờng thẳng KN cắt AB tại P đờng thẳng KM cắt

AC tại Q

Chứng minh PQ//BC

Câu 9(2đ): Cho một đờng tròn (O) đờng kính AB Có một điểm M

nằm trên

cung AB sao cho CA < CB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M ngời ta kẻ các tia Ax và By vuông góc với AB Đờng thẳng đi qua M vuông góc với MC cắt Ax

và By theo thứ tự tại P và Q, gọi R là giao điểm của AM và

CP, S là giao điểm của BM và CQ

a) Chứng minh tứ giác APMC, BQMC nội tiếp.

b) RS//AB c) Tứ giác ARSC có thể là hình bình hành đợc không ? tại

sao?

Câu 10(2đ): Cho hai đờng thẳng d và d’ và có một điểm A không ở

trên d và d’

Hãy dựng điểm B trên d và C trên d’ sao cho: ABC là tam giác đều

Bảng hớng dẫn chấm đề thi tuyển sinh vào 10 thpt lam sơn

Thời gian : 150 phút Môn : toán

Bài 1: (2 đ )

a) (1 đ )

- Điều kiện:x 0, x 3

9

1

25 ,

- Ta cã : A=

1



x x

x x x

75 ,

b) (1 ® )

A= 2

3

1 3

3







x x

x x x

0 3 7

2 3







 x x x

25

,

§Æt t  x x  2 2 7 3 0





 t t

2

1 ,

3 2

1  

 t t

25 ,

x x  3  x 3 9

0 , 25 ®

x

4

1 2

1





 x

25 ,

Bµi 2: (2 ® )

a)(1 ® )

Ta cã : A=y2  2xy 3xy 6x2

=y 2xy 3x

1 ®

b)(1 ® )

Ta cã : A 0  













0 3

0 2

x y

x y

§Ó tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n ta cã hai hÖ:

) ( 0 1 0 2

I y

x x y















vµ ( )

0 1 0 3

II y

x x y















25 ,

HÖ (I) cã nghiÖm: x 1 ,y  2

25 ,

HÖ (II) cã nghiÖm:

2

3

; 2

1



 y

x

25 ,

Bµi 3(2 ® )

Ph¬ng tr×nh: x2 axb0 cã hai nghiÖm: x1 , x2

 (x x1)(x x2)  0

Ph¬ng tr×nh: 2 0





cx d

x cã hai nghiÖm : x3 , x4  (x x3)(x x4)  0

§Æt f(x) x2 axb (x x1)(x x2)

g(x) x2 cxd  (x x3)(x x4)

Ta có: f( x3)  (x1x3)(x2 x4) x32  ax3 b

(1)

f( x4)  (x1x4)(x2 x4) x42  ax4 b

(2)

Nhân vế với vế tơng ứng của (1) và (2) ta đợc :

) )(

( ) )(

)(

)(

4 3

2 3 4 2 4 1 3 2 3

1 x x x x x x x x ax b x ax b

x          Biến đổi vế phải: ( Dùng

d x x

c x x







 4 3

4 3

)

Ta đợc: VP = 2 (b d) 2  (a2  c2 )(b d)  (a2 c2 )(bd)  đpcm

Bài 4(2 đ ):

Từ phơng trình đầu suy ra :

4

1



xy

25 ,

Từ phơng trình hai suy ra :

4

1



xy

25 ,

Vậy

4

1



xy

25 ,

4 1 0

0 1 1 1 4 1

2 2

2     





















x xy z

x z xy

0 , 5 đ































0

; 4

1

; 1

0

; 4

1

; 1

z y

x

z y

x

5 ,









 ; 0 4

1

;













4

1

;

1

25 ,

Bài 5(2 đ ):

a)(1 đ ) Phơng trình đã cho viết lại nh sau:

3 (x 1 ) 2  4  5 (x 1 ) 2  9  5  (x 1 ) 2

25

,

Nhận thấy:

VT  2  3  5

25

,

VP 5

25 ,

Vậy : x 1  0  x  1

25

,

b)(1 đ )

Giải phơng trình: (x 1 )  (x 2 )  1

Đặt: a ( x 1 ) 2

25 ,

b ( x 2 ) 2 (a;b 0 )

Ta đợc: 











1 1

3 3

b a b a

Giải hệ











b a

2

;



Bài 6(2 đ ):

Đặt: y  2x d1

y   x 3 d2

yax 5 d3

d1d2 I là nghiệm của hệ 





















2 1 3 2

y x x y x y

75

,

Để d1d2d3I  Id3: 2 a 5  a  3

75 ,

KL: Vậy a =-3

25 ,

Bài 7(2 đ ):

Giả sử có những so nguyên không âm a và b sao cho:

(a 1 ) 2  (a 2 ) 2   (a 9b4 ) 2 b2

5 ,

Sau khi tính tổng bên trái và rút gọn:

2 5  31 ( 2a2  3970a 1985  1323 ) b2

75 ,

Từ đây ta thấy số mũ lớn nhất của số 2, mà bên phải chia hết cho nó

là 5, trong khi đó bên phải (nó là số bình phơng) số mũ này

là số

mũ chẵn Suy ra những số với t/c đã cho là không có

75 ,

Bài 8(2 đ ):

a)(1 đ )

Kẻ BI,CS//EF (I,SAM)

Ta có:

AN

AS AF

AC AN

AI AE

AB



) (









AN

AS AN

AI AF

AC AE

AB

5

,

Ta có: BIM  CSM (cgc)

A

C B

S M I

 IM  MS

Vậy: AIAS AIAI IM MS  2AM

Thay vào (*) ta đợc (đpcm)

5

,

b)(1 đ )

+ Khi d//BC EF//BC N là trung điểm của EF

25

,

+Từ F kẻ đờng thẳng song song với AB cắt KP tại L

Ta có: NFP NFL(cgc)  EPLF

25

,

Do đó :

( 1 )

KB

KF PB

LF PB

EP



25

,

+Từ B kẻ đờng thẳng song song với AC cắt

KM tại H

Ta có BMH  CMQ (cgc)  BH  QC

KB

KF BH

FQ QC

FQ





QC

FQ PB

FP

//

) 2 )(

1 (    (đpcm)

5

,

M

A

Q

H

K P

N E