đề thi - d.a chuyên Lam Son - đề 6

Dựng điểm E trên đ-ờng thẳng d chứa cạnh AB, điểm F trên đđ-ờng thẳng d’ chứa cạnh DC sao cho  E0F vuông ở 0 và có diện tích nhỏ nhất.. Xác định vị trí của dây AB để AC2 + BC2 đạt giá t

đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên lam sơn (5)

Môn: Toán - Thời gian làm bài 150’

Câu I (2đ): 1) Cho biết a = x.y + ( 1 x2 )( 1  y2 )

b = x 1  y2 + y 1 x2

Giả thiết rằng: xy dơng, hãy tính b theo a

2) Tìm các giá trị của a để tổng bình phơng các nghiệm của phơng trình: x2 - (a-1)x - a2 + a - 2 = 0 đạt giá trị nhỏ nhất

Câu II (2đ): 1) Giải hệ phơng trình: 2x2 - y2 = 1

xy + x2 = 2 2) Cho hàm số y = x2 với x  -1 (1) Vẽ đồ thị (c) của hàm số(1) và tìm b để đờng thẳng y = x + b cắt đồ thị (c) tại hai điểm A, B lần lợt có hoành độ trái dấu

Câu III (2đ): 1) Giải phơng trình: (x2 - 3x + 2) (x2 + 15x + 56) + 8 = 0

2) Cho n số thực a1, a2,, …., a., an sao cho a1 + a2 +…., a+ an = 0 Chứng minh: a1 + a2 + …., a.+ an  Biết rằng - 1  ai  1 với i =1,2, ,n

…., a

Câu IV (3đ): Cho hình vuông ABCD

1) 0 là một điểm bên trong hình vuông Dựng điểm E trên đ-ờng thẳng d chứa cạnh AB, điểm F trên đđ-ờng thẳng d’ chứa cạnh DC sao cho  E0F vuông ở 0 và có diện tích nhỏ nhất

2) Trên cạnh BC và CD lấy hai điểm tơng ứng M và N sao cho MAN = 450 BD cắt AM, AN lần lợt tại I và K

Chứng minh SCIK = SNMIK

Câu V(1đ): Cho đờng tròn (0; R), dựng đờng tròn (0’; R’) sao cho 0 nằm

trên đờng tròn (0’, R’) Dây AB của đờng tròn (0; R) di động và tiếp xúc với đờng tròn (0’; R’) tại điểm C Xác định vị trí của dây AB để AC2 + BC2

đạt giá trị lớn nhất

*****

3

n

đáp án và biểu chấm toán tuyển sinh vào lớp 10

chuyên Lam sơn

Ta có: a2 = 1 + x2 + y2 + 2x2y2 + 2xy ( 1 x2 )( 1 y2 ) (1)

b2 = x2 + y2 + 2x2y2 + 2xy ( 1 2 )( 1 2 )

y

x 

 (2)

So sánh (1) và (2) suy ra b2 = a2 - 1

Do xy > 0 nên ta xét hai trờng hợp sau:

+ Nếu x > 0 và y > 0 thì b > 0, từ đó ta có: b = 2 1



a

+ Nếu x < 0 và y < 0 thì b < 0 Từ đó ta có: b = - 2 1



a

0,25đ 0,25đ

0,5đ

Ta có a2- a + 2 = (a - )2 +  ị - [(a- )2 + ] < 0

Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt (trái dấu)

Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình, Ta có: với mọi a

x1 + x2 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (a-1)2 + 2(a2 - a + 2)

= 3[( a - )2 + ] = 3(a- )2 + 

Dấu bằng xảy ra khi a = Vậy GTNN của x1 + x2 bằng

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

+ Nếu y = 0 hệ đã cho trở thành x2 = hệ này vô nghiệm

x2 = 2

+ Nếu y ạ 0 hệ đã cho suy ra xy + x2 = 4x2 - 2y2 Û 3x2 - xy -2y2 (* )= 0

Chia hai vế của (*) cho y ạ 0 Ta đợc 3( )2 - ( ) - 2 = 0

= 1 x = y

Û Û x =

= -

x = 1

+ Từ x = y hệ đã cho viết thành x = y Û y = 1

2x2 - y2 = 1 x = - 1

y = -1

+ Từ x = - hệ đã cho viết thành: x = -

0,25đ

0,25đ

0,25đ

2

1

4

7 4

7

2

1

4 7

3

2

9

11

3

2

3

11 3 11

3

2

3 11

2 1

y

x

y x

y x

y

x

3

2 y



3

2 y

3

2 y

2x2 - y2 =1 Hệ này vô nghiệm

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm x = - 1 và x = 1

y = - 1 y = 1

0,25đ

Đờng thẳng y = x + b song song (hoặc trùng) với đờng phân giác góc

phần tử thứ nhất: y = x

+ Thay toạ độ điểm A (-1, 1) vào y = x + b ta đợc b = 2

Vậy đờng thẳng y = x + b cắt đồ thị (c) tại hai điểm A, B thoả mãn đề

bài thì phải có: 0 < b  2

0,25đ

0,25đ

0,5đ

Vế trái của phơng trình đã cho bằng:

x4 + 12x3 + 13x2 - 138x + 120 = (x4 + 6x3 - 15x2) + (6x3 + 36x2 -

90x) (8x2 + 48x - 120) = x2 (x2 + 6x - 15) + 6x (x2+ 6x - 15) - 8(x2+6x-15)

= (x2 + 6x - 15) (x2 + 6x - 8)

Vậy phơng trình đã cho viết thành: (x2 + 6x - 15) (x2 + 6x - 8) = 0

*Giải các phơng trình: x2 + 6x - 15 = 0 và x2 + 6x - 8 = 0 ta đợc phơng

trình đã cho có bốn nghiệm:

x1 = -3 + 2 6; x2 = -3 - 2 6; x3 = - 3 + 17; x4 = - 3 - 17

0,5đ

0,5đ

+ Ta có: 4a 3 - 3a + 1 = 4 (a + 1) (a- ) 2  0 với mọi a thoả mãn -1  a1

+ Từ đó 4a 1 - 3a 1 + 1 = 4(a 1 + 1) (a 1 - ) 2  0

4a 2 - 3a 2 + 1 = 4(a 2 + 1) (a 1 - ) 2  0

………

4a n - 3a n + 1 = 4(a n + 1) (a n - ) 2  0

Vậy ta có : 4(a 1 + a 2 +….+ a n ) - 3(a 1 + a 2 +….+a n ) + n  0

= 0

Û - 3(a 1 + a 2 +…+ a n )  - n Û (a 1 + a 2 + ….+a n )  đ p c/m

0,25đ

0,5đ 0,25đ

2 1

2 1 2 1

2 1

3

n

2

0

y

y = x 2 ( x 1 )

( c ) A

B

Câu Nội dung Điểm

IV IV1 Gọi P,Q lần lợt là hình

chiếu của 0 trên d và d’

Đặt diện tích  0EF = S

a Ta có P0E = 0FQ = a (góc

có cạnh tơng ứng vuông góc)

Đặt 0P = a, 0Q = b

a

Ta có 0E = , 0F =

Do đó: S = vì a,b không đổi

nên S nhỏ nhất khi 2sin a cos a lớn nhất

Vì sin a, cos a dơng nên 2sina cosa  sin2a + cos2a = 1 (BĐTcôsy)

do đó Max (2sina cosa) = 1 khi sina = cosa

Vậy S nhỏ nhất khi sina = cosa Û a = 450 Vậy E và F cần dựng thoả

mãn P0E = 0FQ = 450

* Bài toán có hai nghiệm hình (vì E, F là hai điểm trên d và d’)

0,25đ

0,25đ

0,25đ 0,25đ

Vì C đối xứng với A qua DB

nên điều phải chứng minh

Û S AIK = SNMIK

ÛS AIK= S AMN

do IAN = IDN = 450

nên tứ giác IADN nội tiếp

Suy ra AI ^ IN

Tơng tự ta có AK^ KM do đó MIKN là tứ giác nội tiếp

Suy ra AIK = ANM; AKI = AMN suy ra  AKI AMN

Do đó : = cos 450 = (tỷ số đồng dạng)

Vậy: Suy ra điều cần chứng minh

0,5đ

0,5đ

0,5đ 0,5đ

a cos

a

a sin

b

a

a cos sin 2

ab

2 1

AN

AI AM

AK



2 1

2

1

.



AN AM

AI AK

AMN S

AIK S





C D

M N

K

I

450

a

b

d’

0

=

Câu Nội dung Điểm

V Gọi H, K lần lợt là trung điểm

của AB và chân đờng vuông góc

hạ từ 0 xuống 0’C Ta có:

0H ^ AB và hình chữ nhật 0HCK

Do đó AC2 + BC2 = ( )2

+ =

= 2[(R2 - 0H2) + (00’2 - 0’K)2]

= (R2 - 0H2) + 2[R’2 - (R’ - 0H)2]

= 2R2 - 40H2 + 4R’0H =

= 2R2 + R’2 - (R’ - 20H)2  2R2 + R’2

Vậy giá trị lớn nhất của AC2 + BC2 = 2R2 + R’2 đạt đợc khi

(R’- 20H)2 = 0 hay 0H = Suy ra có hai vị trí của AB là: khi nó là

tiếp tuyến chung ngoài của các đờng tròn (0’; R’) và (0; )

*******

0,25đ

0,5đ

0,25đ

A

B C

O’

O

H

K

HC

AB

 2

HC

AB

 2

2

2 2

2

AB



2

'

R

2 '

R