D là điểm nằm trên cung BC không chứa điểm A.. trên tia AD lấy điểm E sao cho AE = DC.. Chứng minh: xy Đáp án gồm 3 trang.. +Nếu thí sinh làm cách khác với đáp án mà kết quả đúng thì ch
Trang 1Đề thi vào lớp 10 Trờng THPT Lam Sơn (11)
Môn Toán chung
Câu 1: (2 điểm) Cho biểu thức:
x 9
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên
Câu 2: (2 điểm) Cho phơng trình: 2x2 + 2mx + m2 – 2 = 0
a) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm nguyên
b) Gọi 2 nghiệm của phơng trình là x1 và x2 Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: A = 2x1x2 + x1 + x2
Câu 3: (2 điểm)
a) Giải phơng trình: x2 x 1 x 8 6 x 1 4
b) Tìm trên đờng thẳng y = 4x + 1 những điểm có toạ độ thoả mãn:
y2
– 5y x + 4x = 0
Câu 4: (2 điểm) Cho ABC đều, nội tiếp trong đờng tròn tâm O D là điểm
nằm trên cung BC không chứa điểm A trên tia AD lấy điểm E sao cho AE = DC
a) Chứng minh AEB = CDB
b) Xác định vị trí của điểm D sao cho tổng (DA + DB + DC) lớn nhất
Câu 5: (1 điểm) Cho tứ diện ABCD G là trọng tâm của ABD, M là một
điểm thuộc cạnh BC sao cho MB = 2 MC Chứng minh: MG // (ACD)
Câu 6: (1 điểm) Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1 Chứng minh:
xy
Đáp án gồm 3 trang
+Nếu thí sinh làm cách khác với đáp án mà kết quả đúng thì cho điểm tối đa
Trang 21 1a
Điều kiện để P có nghĩa:
Ta có:
(2 x )( x 3) ( x 2)( x 3) P
x( x 3) ( x 3)( x 3)
(x 9) (4 x) (9 x) x 3
0,50
0,50
0,25
0,25
1b
Theo câu a ta có: P 2 x 1 2
Do đó để P ẻ Z thì ta cần 2
x ẻ Z
x 1
x 2 (loại)
x = 1
Vậy với x = 1 thì P có giá trị nguyên
0,25
0,25
2 2a Vì phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai nên có 2
nghiệm khi và chỉ khi:
’ = m2 – 2(m2 – 2) 0 4 – m2 0 -2 Ê m Ê 2
Vậy giá trị cần tìm của m là: - 2 Ê m Ê 2
0,25 0,50 0,25
2b Vì phơng trình có 2 nghiệm x1 và x2 nên ta có -2Ê m Ê 2
và theo định lý Viét thì: x1 + x2 = -m; x1x2 =
2
2
.
Do đó: A = 2x1x2 + x1 + x2 = (m2 – 2) - m
2
9 25 9
Vậy maxA = 4 đạt khi m = -2
0,25
0,25 0,25
0,25
Trang 3Ta có: x 2 x 1 x 8 6 x 1 4
1 x 10
0,25
0,25 0,25
3b Điều kiện: x 0
Khi đó ta có: y2 – 5y x + 4x = 0
(y x )(y 4 x ) 0
y 4 x
Do đó để điểm M(x0; y0) với với y0 = 4x0 + 1 là điểm thuộc đờng thẳng y = 4x + 1 thoả mãn yêu cầu bài toán thì
ta cần có x0 0 và:
2 0
0 2
0
4
Vậy toạ độ điểm M cần tìm là: M = 1;2
4
.
0,25
0,25
0,25
0,25
4 4a Vì ABC đều nên AB = CB (1).
Theo giả thiết ta có AE = CD (2)
Ta lại có BAE BCD (cùng chắn cung AD) (3).
Từ (1), (2) và (3) suy ra: ABE = CBD
0,25 0,25 0,25 0,25
4b Theo câu a ta có: ABE = CBD
BE = BD BED cân
Mặt khác ta lại có: BDA BCA (cùng chắn cung AB)
BED đều BD = ED
Vậy ta có: DA + DB + DC = DA + ED + AE = 2DA Vì điểm D thuộc cung BC không chứa A nên suy ra tổng (DA + DB + DC) lớn nhất khi DA là đờng kính của đờng
0,25 0,25 0,25
O A
D E
Trang 4trßn (O), hay D lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung BC nhá 0,25
5 Gäi I lµ trung ®iÓm cña AD Theo tÝnh chÊt cña träng t©m
tam gi¸c ta cã: BG 2
BI (1)3 Theo gi¶ thiÕt ta cã: BM 2
BC (2)3
Tõ (1) vµ (2) suy ra: GM // IC (3) Nhng I Î AD IC Î (ACD) (4)
Tõ (3) vµ (4) suy ra: GM // (ACD)
6 Ta cã: x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2
= [(x + y)2 – 2xy]2 – 2x2y2 = (1 – 2xy)2 – 2x2y2
= 2x2y2 – 4xy + 1
1 (4xy 7)(4xy 1) 1
xy
V× x > 0 vµ y > 0 nªn theo B§T C«si ta cã:
(4xy 7)(4xy 1) 0 1
4 4
xy
DÊu b»ng x¶y ra khi x y x y 1
2
0,25
0,25
0,25
0,25
-
HÕt -M
G
I
A
C