BÀI tập GIẢI TÍCH 12 ôn THI cực HAY

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc 1.. Tìm các điểm trên đồ thị C mà từ đĩ vẽ được đúng một tiếp tuyến với C:... Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đĩ vẽ được ít nhất một t

Bài 1 Tìm m để các phương trình sau chỉ cĩ 1 nghiệm:

a) 2x3-3(m+1)x2+6mx- = 2 0 b) x3-3x2+3(1-m x) + +1 3m= 0c) 2x3-3mx2+6(m-1)x-3m+12 0= d) x3-6x2-3(m-4)x+4m- = 8 0e) 2x3+3(m-1)x2+6(m-2)x+ - = 2 m 0 f) x3-3mx+2m= 0

Bài 2 Tìm m để các phương trình sau chỉ cĩ 2 nghiệm:

3 SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG

1 Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M x f x0( 0; ( )0 )

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M x f x0( 0; ( )0 ) là:

y – y0 = f ¢(x0).(x – x0) (y0 = f(x0))

2 Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm:

( ) ( )'( ) '( )

(C1) và (C2) tiếp xúc nhau Û phương trình ax2+bx c px q+ = + có nghiệm kép

VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x) tại điểm M x y : 0( 0 0; )

· Nếu cho x 0 thì tìm y 0 = f(x 0 )

Nếu cho y 0 thì tìm x 0 là nghiệm của phương trình f(x) = y 0

· Tính y¢ = f¢ (x) Suy ra y¢(x 0 ) = f¢ (x 0 )

· Phương trình tiếp tuyến D là: y – y 0 = f¢ (x 0 ).(x – x 0 )

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x), biết D có hệ số góc k cho trước

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm

· Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm Tính f¢ (x 0 )

· D có hệ số góc k Þ f¢ (x 0 ) = k (1)

· Giải phương trình (1), tìm được x 0 và tính y 0 = f(x 0 ) Từ đó viết phương trình của D

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

· Phương trình đường thẳng D có dạng: y = kx + m

· D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

( )'( )

· Giải hệ (*), tìm được m Từ đó viết phương trình của D

Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến D có thể được cho gián tiếp như sau:

+ D tạo với chiều dương trục hoành góc a thì k = tana

+ D song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a

+ D vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a ¹ 0) thì k = 1

a

- + D tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc a thì tan

1

k a ka

-=

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y = f(x), biết D đi qua điểm ( ; ) A x y A A

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm

· Gọi M(x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm Khi đó: y 0 = f(x 0 ), y¢ 0 = f¢ (x 0 )

· Phương trình tiếp tuyến D tại M: y – y 0 = f¢ (x 0 ).(x – x 0 )

· D đi qua ( ; ) A x y nên: y A A A – y 0 = f¢ (x 0 ).(x A – x 0 ) (2)

· Giải phương trình (2), tìm được x 0 Từ đó viết phương trình của D

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

· Phương trình đường thẳng D đi qua ( ; ) A x y và có hệ số góc k: y – y A A A = k(x – x A )

· D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau cĩ nghiệm:

· Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k) Từ đĩ viết phương trình tiếp tuyến D

Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:

a) (C):y=3x3-x2-7x+ tại A(0; 1) 1 b) (C):y x= 4-2x2+ tại B(1; 0) 1

x y

1

x y

x

+

=

- tại các giao điểm của (C) với trục hồnh, trục tung

d) (C):y=2x- 2x2+ tại các giao điểm của (C) với trục hồnh, trục tung 1

e) (C): y x= 3-3x+ tại điểm uốn của (C) 1

y= x - x - tại các giao điểm của (C) với trục hồnh

Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra: a) (C):y=2x3-3x2+9x- và d: 4 y=7x+ 4

x

+

=

- tại điểm A cĩ xA = 2 b) (C):y= x2-7x+26 tại điểm B cĩ xB = 2

Bài 5 Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ một tam giác cĩ diện tích bằng S cho trước:

a) (C): 2

1

x m y

Bài 6 Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D cĩ hệ số gĩc k được chỉ ra:

a) (C):y=2x3-3x2+ ; k = 12 5 b) (C): 2 1

2

x y x

-=

- ; k = –3 c) (C):

a) (C):

3 2

-=

- ; d: y x= c) (C):

1

x y

+

-=+ ; d: x – 2

Bài 9 Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D tạo với chiều dương trục Ox gĩc a:

- ; tại điểm B cĩ xB = 4 và d: x – 12y + 1 = 0

Bài 12 Tìm m để tiếp tuyến D của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d cho trước:

+

=

- ; F(2; 3) g) (C):

- +

=

- ; H(2; 2)

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc

1 Điều kiện cần và đủ để hai đường (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau cĩ nghiệm:

(C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau Û phương trình ax2+bx c px q+ = + cĩ nghiệm kép

Bài 1 Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau:

1 Gọi D: y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C 1 ) và (C 2 )

u là hồnh độ tiếp điểm của D và (C 1 ), v là hồnh độ tiếp điểm của D và (C 2 )

· D tiếp xúc với (C 1 ) và (C 2 ) khi và chỉ khi hệ sau cĩ nghiệm:

· Từ (2) và (4) Þ f¢ (u) = g¢ (v) Þ u = h(v) (5)

· Thế a từ (2) vào (1) Þ b = j(u) (6)

· Thế (2), (5), (6) vào (3) Þ v Þ a Þ u Þ b Từ đĩ viết phương trình của D

2 Nếu (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau tại điểm cĩ hồnh độ x 0 thì một tiếp tuyến chung của (C 1 ) và (C 2 ) cũng là tiếp tuyến của (C 1 ) (và (C 2 )) tại điểm đĩ

Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị:

a) ( ) :C1 y x= 2-5x+6; ( ) :C2 y= -x2+5x- 11

b) ( ) :C1 y x= 2-5x+6; ( ) :C2 y= -x2- -x 14

c) ( ) :C1 y x= 2-5x+6; ( ) :C2 y x= 3+3x-10

VẤN ĐỀ 4: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đĩ

tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuơng gĩc với một đường thẳng d cho trước

· Gọi M(x 0 ; y 0 ) Ỵ (C) D là tiếp tuyến của (C) tại M Tính f¢ (x 0 )

· Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x 0 Từ đĩ tìm được M(x 0 ; y 0 ) Ỵ (C)

Bài 1 Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đĩ vuơng gĩc với đường thẳng d cho trước:

VẤN ĐỀ 5: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đĩ cĩ thể vẽ được

1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x)

Giả sử d: ax + by +c = 0 M(x M ; y M ) Ỵ d

· Phương trình đường thẳng D qua M cĩ hệ số gĩc k: y = k(x – x M ) + y M

· D tiếp xúc với (C) khi hệ sau cĩ nghiệm:

· Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3)

Bài 1 Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà từ đĩ vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):

Bài 3 Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đĩ vẽ được ít nhất một tiếp tuyến với (C):

Bài 5 Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đĩ vẽ được ba tiếp tuyến với (C):

· Phương trình đường thẳng D qua M cĩ hệ số gĩc k: y = k(x – x M ) + y M

· D tiếp xúc với (C) khi hệ sau cĩ nghiệm:

· Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) Û (3) cĩ 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2

· Hai tiếp tuyến đĩ vuơng gĩc với nhau Û f¢ (x 1 ).f¢ (x 2 ) = –1

1 Định nghĩa

· Với a > 0, a ¹ 1, b > 0 ta cĩ: log a b= Ûa a a =b

Chú ý: loga b cĩ nghĩa khi ì >í >ỵa b 0,0 a¹1

· Logarit thập phân: lgb=logb=log10b

· Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnb=loge b (với e lim 1 1 n 2,718281

q) lg(tan1 ) lg(tan 2 ) lg(tan89 )0 + 0 + + 0

r) log log (log 16) log log (log 64)8éë 4 2 ùû 2éë 3 4 ùû

Bài 2 Cho a > 0, a ¹ 1 Chứng minh: log (a a+ >1) log (a+1 a+ 2)

II LOGARIT

HD: Xét A = log (1 2) 1 1 log 1 log (1 2)

1 log

2 và 3g) log 107 vàlog 1311 h) log 32 vàlog 43 i) log 109 vàlog 1110

Bài 4 Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

a) Cho log 14 a2 = Tính log 32 theo a 49

b) Cho log 3 a15 = Tính log 15 theo a 25

c) Cho lg3 0,477= Tính lg9000 ; lg 0,000027 ;

81

1log 100 d) Cho log 2 a7 = Tính 1

2

log 28 theo a

Bài 5 Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:

a) Cho log 7 a25 = ; log 5 b2 = Tính 3 5

49log

8 theo a, b

b) Cho log 3 a30 = ; log 5 b30 = Tính log 1350 theo a, b 30

c) Cho log 7 a14 = ; log 5 b14 = Tính log 28 theo a, b 35

d) Cho log 3 a2 = ; log 5 b3 = ; log 2 c7 = Tính log14063 theo a, b, c

Bài 6 Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho cĩ nghĩa):

a) bloga c =cloga b b) log log

log N +log N + +log N =log N

loga b logb c loga c

2 Giới hạn đặc biệt

·

1 0

1

x x

x x

x x

2

x x

x x

x

x

x x

1lim

3

x x

e x

x

®

-k)

+

=

2 5 2

21

x y

x

-=+

a) y=ln(2x2+ + x 3) b) y=log (cos )2 x c) y e= x.ln(cos )x d) y=(2x-1) ln(3x2+x) e) y 1 x3 x

x

ln(2 1)1

c) y e= 4x+2e-x; y¢¢¢-13y¢ -12y= 0 d) y a e= -x +b e -2x; y¢¢+ ¢ +3y 2y= 0g) y e= -x.sin ;x y¢¢+2y¢+2y= 0 h) y e= -x.cos ;x y( )4 +4y= 0

i) y e= sinx; y¢cosx y- sinx y- ¢¢ = 0 k) y e= 2x.sin 5 ;x y¢¢ - ¢ +4y 29y= 0

1 Phương trình mũ cơ bản: Với a > 0, a ¹ 1: 0

2 Một số phương pháp giải phương trình mũ

a) Đưa về cùng cơ số: Với a > 0, a ¹ 1: a f x( )=a g x( )Û f x( )=g x( )

Chú ý: Trong trường hợp cơ số cĩ chứa ẩn số thì: a M =a N Û(a-1)(M N- ) 0=

b) Logarit hố: f x( ) = g x( ) Û ( )=(log ) ( )

· Đốn nhận x 0 là một nghiệm của (1)

· Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f(x) và g(x) để kết luận x 0 là nghiệm duy nhất:

( ) đồng biến và ( ) nghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt) ( ) đơn điệu và ( ) hằng số

· Nếu f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì ( ) f u = f v( )Û =u v

e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt

· Phương trình tích A.B = 0 Û 0

0

A B

x

-

-+

-IV PHƯƠNG TRÌNH MŨ

· Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ

Bài 3 Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

a) 2 32 1

x

12

12

21

£-

+-

-x

x x

x x

x x

· Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit

Bài 1 Giải các bất phương trình sau (đưa về cùng cơ số):

a) log5(1-2x)<1+log 5(x+1) b) log 1 2 log2( - 9x)< 1

Bài 3 Giải các bất phương trình sau (đặt ẩn phụ):

5

log 1 2- x < +1 log x+ 1c) 2 log5x -log 125 1x < d) log 64 log 16 32x + x2 ³

e) log 2.log 2.log 4x 2x 2 x > 1 f) 21 1 2

4

1

2 2

£-

-Bài 4 Giải các bất phương trình sau (sử dụng tính đơn điệu):

a) ( x 1)log+ 20,5x+(2x+5) log0,5x+ ³ 6 0 b) log2(2x+1)+log3(4x +2)£2

x x x

+

>

+

e) log2 x m+ >log2x f) logx m- (x2- >1) logx m- (x2+ - x 2)

Bài 6 Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với:

Bài 8 Tìm m để mọi nghiệm của (1) đều là nghiệm của bất phương trình (2):

+

ïí

logx y (4 ) 0

y x

+

ï

Bài 1 Giải các phương trình sau:

64x -2 +x +12 0= e) 9x2-1-36.3x2-3+ = 3 0 f) 34 8x+ -4.32 5x+ +28 2 log= 2 2

g) 32 1x+ =3x+2+ 1 6.3- x+32( 1)x+ h) ( 5+ 24) (x + 5- 24)x =10i) 91 log+ 3x -31 log+ 3x-210 0= k) 4lg 1x+ -6lgx-2.3lgx2+2 = 0

l) 2sin2x+4.2cos2x = 6 m) 3lg(tan )x -2.3lg(cot ) 1x + = 1

Bài 3 Giải các bất phương trình sau:

x x

+

<

+c) x2.5x -52+x < 0 d) xlg2x-3lg 1x+ >1000

> + ç ÷è ø-

g) 2x+2-2x+3-2x+4 >5x+1-5x+2 h)

2 2

x x

Bài 4 Giải các bất phương trình sau:

Bài 5 Giải các phương trình sau:

2 logx 5 -3logx 5 1 0+ = b) log1/3x-3 log1/3x+ = 2 0

c) log22x+2 log2 x- = 2 0 d) 3 2 log+ x+13 2 log (= 3 x+ 1)

->

c) log3x -log3x- < 3 0 d) log1/32 3x 1

x x

+

>

i) log log (3xéë 9 x -9)ùû<1 k) log2 3x+ x2< 1

5 log

3

x x

+ + >

1 Khái niệm tích phân

· Cho hàm số f liên tục trên K và a, b Î K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:

F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là b ( )

· Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện

tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng

– Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho

dx x x

2

dx x

14

2

2

sin4sin4

p

p

p p

-+

2 2 1

x x

e

1 2 0

42

+

-ò

x dx x

Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:

Bài 1 Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1):

a) ị1

-0

19

)1

5

1dx

x x

1

2

dx x

x x

i)

ln 2

x x

e dx e

a +x hoặc

a2 x2

1+

tan ,

x a= t - < <p t p hoặc x a= cot ,t 0< <t p

x x

1

lnln31

0 cos2 4sin2

2sin

p

dx x x

sin.cos

p

dx x

x x

2sin

p

dx x x

dx x

2

x x x dx

-ị

VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

Bài 1 Tính các tích phân sau:

(

p

xdx x

0

2cos xdx x

3 2

ị

-++

( )

b

x a

VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số cĩ chứa giá trị tuyệt đối

Để tính tích phân của hàm số f(x) cĩ chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng cơng thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ

Bài 1 Tính các tích phân sau:

1 sin xdx+

ịp

VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ

Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ

Bài 1 Tính các tích phân sau:

3

1

2x x

dx x

1

2(1 x)

x dx

x x

dx x

i) 1 3

0

11

x

+ ++

ị

k)

2 1

2

1

23

dx x

4

942

dx x

x x x

1 3 2 0

11

x

+ ++

1 4

x

+

ị

g)

2

4 1

1

1 x dx x

+

2 0

2

1 x dx x

+

-ị

VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vơ tỉ

Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vơ tỉ

Bài 1 Tính các tích phân sau:

dx x

++

2 2 2

2

x dx x

5 4

2 1

cos

2 cos

xdx x

+

ị

p

g) 2

2 0

cos

1 cos

xdx x

1

x

e - dx

ị

VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác

Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác

Bài 1 Tính các tích phân sau:

a) ị4

0

cos.2

x

x

2 0

p

dx x

x x

2 0

1

p

xdx x

6

cossin

2cos2

sin1

p

p

dx x x

x x

x x

p

dx x e

p

g)

2

2

1,

g) y=sinx+cos ,2x y=0, x=0,x= p h) y x= +sin ;x y x x= ; =0; x= p 2

i) y x= +sin ;2x y= p =;x 0; x= p k) sin2 sin 1, 0, 0,

e) ( ) :C y x= 2-2x và các tiếp tuyến với (C) tại O(0; 0) và A(3; 3) trên (C)

k) y= x-1,y=2,y=0, x= 0l) x y- 2=0,y=2,x= 0 m) y2 =x y3, =0, x= 1

Bài 1 Tính các tích phân sau:

1

12

01

xdx x

2

5 4

dx x

0 1

1

++

x

++

2 0

21

x

++

-+

/2 0

sin 2 cos

1 cos

x x dx x

sin sin 2 sin3x x x dx

p

/2 5 0

sin 2cos x dx1

cos3sin x dx1

r)

2 0

1

2 0

1

ln.ln31

4

y= x - x , tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị cĩ hồnh độ x = 2 3

Bài 6 Tính thể tích các vật thể trịn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quanh trục:

a) y= x y, =0, x=3;Ox b) y x= ln ,x y=0, x=1, x e Ox= ;c) y xe y= x, =0,x=1;Ox d) y= -4 x y x2, = 2+2;Ox

e)y2= -4 x x, =0;Oy f) x ye x= y, =0,y=1;Oy

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này

transitung_tv@yahoo.com

z là thuần ảo Û phần thực của z bằng 0 (a = 0)

Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

'

a a

a bi a b i+ = + Ûì =í =îb b a b a b RÎ

2 Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, bÎR) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay

bởi ur=( ; )a b trong mp(Oxy) (mp phức)

3 Cộng và trừ số phức:

· (a bi+ ) (+ a b i’+ ’) (= a a+ ’) (+ b b i+ ’) · (a bi+ ) (- a b i’+ ’) (= a a- ’) (+ b b i- ’)

· Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi

· ur biểu diễn z, ' ur biểu diễn z' thì u ur r+ 'biểu diễn z + z’ và u ur r- ' biểu diễn z – z’

8 Căn bậc hai của số phức:

· z x yi= + là căn bậc hai của số phức w a bi= + Û z2 = Û w 2 2

· w 0¹ có đúng hai căn bậc hai đối nhau

· Hai căn bậc hai của a > 0 là ± a

· Hai căn bậc hai của a < 0 là ± -a i

9 Phương trình bậc hai Az 2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A ¹ ) 0

D =B2-4AC

· D ¹ : (*) có hai nghiệm phân biệt 0 1,2

2

B z

-Chú ý: Nếu z 0 Î C là một nghiệm của (*) thì z cũng là một nghiệm của (*) 0

10 Dạng lượng giác của số phức:

· z r= (cosj +isin )j (r > 0) là dạng lượng giác của z = a + bi (z ¹ 0)

cossin

a r b r

· z = Û =1 z cosj+isin (j jÎR)

11 Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác

Cho z r= (cosj +isin ) ,j z r'= '(cos ' sin ')j +i j :

· z z rr '= ' cos([ j + j +') sin(i j + j ')] · [cos( ') sin( ')]

12 Công thức Moa–vrơ:

· [r(cosj +isin )j ]n=r n(cosnj +isin )nj , (n NÎ *)

· (cosj +isinj =)n cosnj +isinnj

13 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

· Số phức z r= (cos j+isin )j (r > 0) có hai căn bậc hai là: