de` cuong on thi tot nghiep

……… A Nội dung ôn tập: I Đạo hàm II ứng dụng của đạo hàm III Nguyên hàm và tích phân IV ứng dụng của tích phân V Đại số tổ hợp, nhị thức Niutơn VI Hình học: Phơng pháp toạ độ trong mặt p

đề c ơng h ớng dẫn ôn thi tốt nghiệp thpt- cụm sơn động

đề cơng

ôn thi tốt nghiệp THPT năm học 2007 – 2008 2008

Môn: toán Cụm: Sơn Động

………

A) Nội dung ôn tập:

I) Đạo hàm

II) ứng dụng của đạo hàm

III) Nguyên hàm và tích phân

IV) ứng dụng của tích phân

V) Đại số tổ hợp, nhị thức Niutơn

VI) Hình học: Phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng

VII) Hình học: Phơng pháp toạ độ trong không gian

B) Sơ lợc nội dung:

I) Đạo hàm

1) Kiến thức: + Nắm đợc định nghĩa đạo hàm tại một điểm và ý nghĩa hình học của đạo hàm

+ Nắm đợc quy tắc đạo hàm và bảng đạo hàm 2) Mục tiêu: Học sinh biết tính đạo hàm nhanh, chính xác các hàm số y=ax3+bx2+cx+d (a≠0) , y=ax4+bx2+c (a≠0) , ax+b

2

ax +bx+c

3) Ph ơng pháp : Cung cấp những kinh nghiệm, công thức đặc biệt giúp học sinh tính đạo hàm nhanh và chính xác

4) Nội dung:

ND1: Định nghĩa đạo hàm và các tính chất

ND2: Bảng đạo hàm

ND3: Tính đạo hàm

II) ứng dụng của đạo hàm

1) Kiến thức : + Nắm đợc các định nghĩa, định lí và quy tắc về sự biến thiên, cực trị, GTLN-

NN của hàm số và tính lồi lõm-điểm uốn, tiệm cận của đồ thị hàm số

+ Nhớ kiến thức về phơng trình bặc hai và tam thức bậc hai 2) Mục tiêu : Học sinh biết:

+ Xét sự biến thiên, tìm cực trị của hàm số và bài toán tham số (Chủ yếu tìm điều kiện cảu tham số để hàm số đơn điệu trên TXĐ và tìm tham số để hàm số có cực trị tại điểm cho trớc) + Tìm GTLN-NN của hàm số trên một đoạn, một khoảng (Chủ yếu hàm số bậc ba trên

đoạn và hàm số ax+b

2

ax +bx+c

+ Biết tìm tiệm cận của hai đồ thị hàm số ax+b

2

ax +bx+c

+ Xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn của đồ thị hàm số của hàm số y=ax3+bx2+cx+d (a≠0) , y=ax4+bx2+c (a≠0)

3) Ph ơng pháp : Cần cung cấp các kĩ thuật cơ bản, chính xác giúp học sinh biết làm đợc bài tập cơ bản nhanh, chính xác

4) Nội dung:

ND1: Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số; tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu

trên khoảng cho trớc

* Định nghĩa, định lí: Hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a;b) (SGK_12_2000)

* Điẻm tới hạn và cách tìm điểm tới hạn: (SGK_12_2000)

* Các bớc xét sự biến thiên của hàm số:

+ Bớc 1: Tìm tập xác định của hàm số

+ Bớc 2: Tính đạo hàm của hàm số và tìm điểm tới hạn

+ Bớc 3: Xét dấu đạo hàm và kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

+ Bớc 4: Bảng biến thiên

* Các ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Xét sự biến thiên của các hàm số sau:

a) y=x3-3x b) y=x3+3x2 c) y=-x3-3x d) y=-x3+3x2-2

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số 1 3 2

y= x -2x +(m+1)x-1

3 đồng biến trên R

Ví dụ 3: Tìm m để mỗi hàm số sau đồng biến trên từng khoảng xác định

a) mx+1

y=

2

y=

x+1

x

Ví dụ 4: Cho hàm số 1 3 2

y=- x -mx +mx-2

3 Xác định m để hàm số:

a) Nghịch biến trên tập xác định

b) Nghịch biến trên (0;+∞)

Ví dụ 5: Cho hàm số

2

x +(m-1)x-5 y=

x-3 Xác định m để hàm số:

a) Đồng biến trên mỗi khoảng xác định

b) Đồng biến trên (-1;0)

c) Nghịch biến trên (-2;2)

ND2: Cực đại và cực tiểu của hàm số ; tìm điều kiện để hàm số có cực trị thoả mãn điều kiện

cho trớc

* Định nghĩa, định lí về cực trị

* Các quy tắc tìm cực trị (GV cần chỉ rõ cho HS những bài toán nào sử dụng quy tắc nào; Ôn

thi TN ta chủ yếu yêu cầu HS làm theo quy tắc 1; Với bài toán tìm tham số để hàm số đạt cực

Các bớc tìm cực trị theo quy tắc 1:

Bớc 1: Tìm TXĐ

Bớc 2: Tính đạo hàm và tìm điểm tới hạn

Bớc 3: Xét dấu đạo hàm và kết luận về cực trị

* Các ví dụ:

Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y= -x3+2x2+3 b) 1 3 2

y= x -x+

4-2x2-3 d) 1 4 2 3

y= x x

1 y=2x+

1 y=-x-4x+3

Ví dụ 2: Cho hàm số y=x3-(m+3)x2+mx+5 Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=2

Ví dụ 3: Cho hàm số y=-(m2+5m)x3+6mx2+6x-6

Ví dụ 4: Cho hàm số y=(m+2)x3+3x2+mx-5 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu

Ví dụ 5: Cho hàm số 2m

y=2x-1+

x-1 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu

Ví dụ 6: Cho hàm số y=mx3-3x2+(2m-2)x-2 Tìm m để hàm số có cực trị

ND3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

* Định nghĩa: GTLN và GTNN của hàm số (SGK_12_2000)

* Cách tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một khoảng, một đoạn (SGK_12_2000)

* Các ví dụ:

Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y=x3-3x+2 trên [-2;0]

Ví dụ 2 Tìm GTLN và GTNN của hàm số y=-x3-2x2+5 trên [-2;2]

Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số 3x-1

y=

x-3 trên [0;2]

Ví dụ 4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số y=x3+3x2-12x+90 trên [-5;5]

đề c ơng h ớng dẫn ôn thi tốt nghiệp thpt- cụm sơn động

Ví dụ 5: Tìm GTNN của hàm số 1

y=2x+

2x-1 trên

1

;+

2



ND4: Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số

* Định nghĩa và các định lí (SGK_12_2000)

* Các bớc tìm khoảng lồi lõm và điểm uốn

+ Bớc 1: Tìm tập xác định của hàm số

+ Bớc 2: Tính đạo hàm và đạo hàm cấp hai của hàm số và giải phơng trình đạo hàm cấp hai triệt tiêu

+ Bớc 3: Xét dấu đạo hàm cấp hai và kết luận khoảng lồi, khoảng lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số

* Chú ý tới bài toán tìm tham số để hàm số có điểm uốn tại điểm I(a;b)

* Các ví dụ:

Ví dụ 1: Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị các hàm số;

a) y=x3-6x2 b) 1 4 2 5

y= x +3x

3+6x-5 d) y=x4-6x2+5

Ví dụ 2: Cho hàm số y=ax3+bx2 có đồ thị (C) Tìm a và b để (C) có điểm uốn là M(1;3)

Ví dụ 3: Tìm a để đồ thị hàm số y=x4-ax2+3

a) Không có điểm uón b) Có hai điểm uốn

Ví dụ 4: Cho hàm số y=x3-3mx2+(m+2)x+2m có đồ thị (C) Chứng minh rằng tại điểm uốn tiếp tuyến với đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất

Ví dụ 5: Tìm m để đồ thị của hàm số y=x3-3(m-1)x2+3x-5 lồi trên khoảng (-5;2)

ND5: Tiệm cận của đồ thị hàm số

* Định nghĩa và các định lí: (SGK_12_2000)

* Học sinh phải tìm đợc tiệm cận đứng, ngang và xiên của hai hàm số :

ax+b

2

ax +bx+c

* Cách tìm tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số ax+b

Ta có: -d -d

ax+b

cx+d

   











Suy ra, đờng thẳng d

x=-c là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Ta có:

y

Suy ra, đờng thẳng a

y=

c là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

* Cách tìm tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số

2

ax +bx+c

y=mx+n+

a'x+b'.

Ta có: b' b'

p

a'x+b'

   











Suy ra, dờng thẳng b'

x=-a' là tiệm cận đúng của đồ thị hàm số

nếu ad-bc>0 nếu ad-bc<0

nếu – a’p>0 nếu –

Ta có: xlim y- mx+n  xlim p 0

a'x+b'

Suy ra, đờng thẳng y=mx+n là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

ND6: Khảo sát hàm số

* Học sinh cần nắm đợc sơ đồ khảo sát hàm số bậc ba và dáng đồ thị của nó

* Rèn luyện kĩ năng khảo sát, cách viết các kí hiệu và vẽ đồ thị

* Sơ đồ khảo sát hàm số

(a) Tập xác định: D=

(b) Sự biến thiên:

(*) Chiều biến thiên

(+) Tính đạo hàm

(+) Cho y’=0 Tìm x thoả mãn

(+) Xét dấu y’ (Nên lập bảng)

(+) Kết luận: Khoảng đồng biến, nghịch biến cảu hàm số

(*) Cực trị: Dựa vào bảng xét dấu y’ để kết luận

(*) Tính các giới hạn: Tại vô cực ( tại các điểm không xác định, tìm tiệm cận đối với hàm số phân thức )

(+) Với hàm số đa thức đa ra kết luận đồ thị hàm số không có tiệm cận

(+) Với hàm số ax+b

cx+d   đa ra kết luận ĐTHS có tiệm cận đứng

d

x=-c và

tiệm cận ngang a

y=

c

(+) Với hàm số

2

( ' 0)

ax bx c

a x b

 đa ra kết luận ĐTHS có tiệm cận đứng b'

x=-a' và

tiệm cận xiên y=mx+n

(1) Hàm số bậc ba: y ax 3 bx2 cx d (a 0)

Ví dụ: Khảo sát hàm số y=x3-3x

a) Tập xác định: D=R (Là hàm số lẻ)

b) Sự biến thiên:

* Chiều biến thiên:

+ Mọi xR, ta có: y’=3x2-3

+ Cho y’=0  x=-1 và x=1

Khi x=-1, ta có: y=2; Khi x=1, ta có: y=-2

+ Xét dấu y’

x -∞ -1 1 +∞

y’ + 0 - 0 +

+ Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-1) và (1;+∞)

Hàm số nghịch trên khoảng (-1;1)

* Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và yCĐ=2

Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 và yCT=-2

* Các giới hạn

Ta có: xlim y= lim (x -3x)x 3

Suy ra, đồ thị hàm số không có tiệm cận

* Tính lồi, lõm và điểm uốn

+ Mọi xR, ta có: y”=6x

đề c ơng h ớng dẫn ôn thi tốt nghiệp thpt- cụm sơn động

+ Cho y”=0  x=0 ; Khi x=0, tao có: y=0

+ Xét dấu y”

x -∞ 0 +∞ y” - 0 +

+ Kết luận: Đồ thị hàm số lồi trên khoảng (-∞;0)

Đồ thị hàm số lõm trên khoảng (0;+∞)

Đồ thị có điểm uốn là: O(0;0)

* Bảng biến thiên

x -∞ -1 0 1 +∞ y’ + 0 - 0 +

y

+∞

2

0

-2

-∞

c) Đồ thị của hàm số

* Giao với các trục toạ độ: (0;0) ; (± 3;0)

* Tìm thêm điểm:

x -2 2

y -2 2

* Vẽ đồ thị: Hình vẽ dới

* Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận điểm uốn O(0;0) làm tâm đối xứng

(2) Hàm số trùng phơng: y ax 4 bx2 c a(  0)

Ví dụ: Khảo sát hàm số y=x4-2x2+2

a) Tập xác định: D=R (Là hàm số chẵn)

b) Sự biến thiên

* Chiều biến thiên

+ Mọi xR, ta có: y’=4x3-4x=4x(x2-1)

+ Cho y’=0  x=0 và x= 1±1

Khi x=0, ta có: y=2 ; Khi x= 1, ta có: y=1±1

+ Xét dấu y’

x -∞ -1 0 1 +∞ y’ - 0 + 0 - 0 +

+ Kết luận: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;-1) và (1;0)

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1;+∞)

* Cực trị

Hàm số đạt cực tiểu tại x= 1 và y±1 CT=1

Hàm số đạt cực đại tại x=0 và yCĐ=2

* Giới hạn

Ta có: xlim y xlim y

     

Suy ra, đồ thị hàm số không có tiệm cận

* Tính lồi, lõm và điểm uốn

+ Mọi xR, ta có: y”=12x2-4

+ Cho y”=0, ta có: 3

x=±

3

Khi 3

x=±

3 , ta có:

13 y=

9

+ Xét dấu y”

x -∞ - 3

3 3

3 +∞

O

- 3

3

2

-2

đề c ơng h ớng dẫn ôn thi tốt nghiệp thpt- cụm sơn động

y” + 0 - 0 +

+ Kết luận: Đồ thị hàm số lõm trên các khoảng - 3 (- ; ) 3  và 3 ( ;+ ) 3  Đồ thị hàm số lồi trên khoảng - 3 3 ( ; ) 3 3 Đồ thị hàm số có hai điểm uốn là: 3 13 ; 3 9         và 3 13 ; 3 9         * Bảng biến thiên x -∞ -1 - 3

3 0 3

3 1 +∞

y’ - 0 + 0 - 0 +

y +∞ +∞

2

13

9

13 9

1 1

c) Đồ thị của hàm số * Giao với các trục toạ độ: (0;2) * Tìm thêm điểm x - 2 2

y 2 2

* Vẽ đồ thị: Hình vẽ dới

* Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận trục tung Oy làm trục đối xứng

(3) Hàm số: y ax b (c 0; ad bc 0)

cx d



Ví dụ: Khảo sát hàm số 2x-1

y=

x+2

a) Tập xác định: D=R\{-2}

b) Sự biến thiên

* Chiều biến thiên

+ Mọi xD, ta có: 5 2

y'=

(x+2)

+ Hàm số không có điểm tới hạn

+ Xét dấu y’

x -∞ -2 +∞

y’ +  +

+ Kết luận: Hàm số đồng bién trên các khoảng (-∞;-2) và (-2;∞)

* Cực trị

Hàm số không có cực trị

* Giới hạn và tiệm cận

+ Ta có:

x ( 2) x ( 2)

2x-1 lim y= lim

x+2

     Tơng tự: xlim y=-( 2)



 



Suy ra, đờng thẳng x=-2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

+ Ta có:

2x-1

x+2

Suy ra, đờng thẳng y=2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

* Bảng biến thiên

x -∞ -2 +∞

y’ + +

y +∞

O

1 2

đề c ơng h ớng dẫn ôn thi tốt nghiệp thpt- cụm sơn động

2 2

-∞

c) Đồ thị của hàm số

* G với các trục toạ độ: -1

0;

2

;0 2

* Tìm thêm điểm

x -1 3 -7 -3 -4,5 -4

y -3 1 3 7 4 4,5

* Vẽ đồ thị: Hình vẽ dới

* Nhận xét: Đồ thị nhận điểm I(-2;2), là giao điểm của hai đờng tiệm cận, làm tâm đối xứng

( L u ý : Giáo viên cần hớng dẫn học sinh chọn thêm điểm là các cặp điểm đối xứng

nhau qua tân đối xứng I(-2;2) )

(4) Hàm số:

2

( ' 0)

ax bx c

a x b



Ví dụ: KHảo sát hàm số

2

x -2x+5 y=

x-1

a) Tập xác định: D=R\{1}

b) Sự biến thiên

* Chiều biến thiên

O

-1

3 1

-3

2

-7

7

-3

4 4,5

-4,5 -4 -2

x=-2

y=2

0,5 -0,5

+ Mọi xD, ta có: 4

y=x-1+

x-1, suy ra: 2 2

y'=1-(x-1)  (x-1)

+ Cho y’=0, ta có: x=-1 và x=3

Khi x=-1, ta có: y=-4 ; Khi x=3, ta có: y=4

+ Xét dấu y’

x -∞ -1 1 3 +∞

y’ + 0 -  - 0 +

+ Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-1) và (3;+∞) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-1;1) và (1;3) * Cực trị Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và yCĐ=-4 Hàm số đạt cực tiểu tại x=3 và yCT=4 * Giới hạn và tiệm cận Ta có: x x 4 lim y= lim x-1+ = x-1            Ta có: x 1 x 1 4 lim y= lim x-1+ =+ x-1            ; Tơng tự: x 1 x 1 4 lim y= lim x-1+ =-x-1            Suy ra, đờng thẳng x=1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số Ta có: xlim y- x-1 = lim  x 4 =0 x-1               Suy ra, đờng thẳng y=x-1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số * Bảng biến thiên x -∞ -1 1 3 +∞

y’ + 0 - - 0 +

y +∞ +∞

4

-4

-∞ -∞

c) Đồ thị của hàm số * Giao với các trục toạ độ: (0;5) * Tìm thêm điểm x 2 5 -3

y 5 5 -5

* Vẽ đồ thị: Hình vẽ dới

* Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận điểm I(1;0), là giao điểm của hai đờng tiệm cận, làm tâm đối xứng

đề c ơng h ớng dẫn ôn thi tốt nghiệp thpt- cụm sơn động

(L u ý: Giáo viên cần hớng dẫn học sinh chọn thêm điểm, cặp điểm đối xứng qua điểm

I )

ND7: Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

Bài toán 1: Tơng giao của hai đờng

* Biện luận số nghiệm của phơng trình theo tham só dựa vào đồ thị

* Biện luận số giao điểm của hai đồ thị theo tham số dựa vào phơng trình hoành độ

* Các ví dụ:

Ví dụ 1: Biện luận số nghiệm của phơng trình sau theo tham số m:

x3-3x+2-m=0

Ví dụ 2: Biện luận số nghiệm của phơng trình sau theo tham số m:

x4-2x2-m=0

Ví dụ 3: Biện luận số giao điểm của hai đồ thị sau theo tham số m

2x-1

y=

x+2 (H) và y=x-m (d)

Ví dụ 4: Biện luận số giao điểm của hai đồ thị sau theo tham số m

2

x -2x+5

y=

x-1 (H) và y=-x+m (d)

( L u ý: Giáo viên cần chú ý cho học sinh, trong bài toán tơng giao này nếu hỏi đến phơng

trình ta dùng đồ thị, nếu hỏi đến tơng giao của hai đồ thị ta dùng phơng trình )

O

3

-1

-4 -5

4 5

1

x=1

y=x-1

Bài toán 2: Phơng trình tiếp tuyến: Có ba bài toán viết phơng trình tiếp tuyến trong

SGK_12_2000 đã trình bày rất kĩ

L

u ý: Giáo viên cần lu ý học sinh phân biệt hai ngôn ngữ: đi qua điểm và tại điểm chánh“ đi qua điểm và tại điểm” chánh ”

sự nhầm lẫn không đáng có cho học sinh và mối quan hệ của hai đờng thẳng vuông góc và song song

* Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hàm số y=x3-3x có đồ thị (C)

a) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ x=2

b) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm N(2;2)

Ví dụ 2: Cho hàm số y=x4-2x2+2 có đồ thị (C)

a) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(0;2)

b) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm A(0;2)

Ví dụ 3: Cho hàm số 2x-1

y=

x+2 có đồ thị (H) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (H) biết tiếp

tuyến song song với đờng thẳng (d) có phơng tình y=5x+2008

Ví dụ 4: Cho hàm số

2

x -2x+5 y=

x-1 có đồ thị (H) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (H) biết

tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng (d) có phơng trình 4

y=- x+2007 3

Bài toán 3:

* Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y=f(x) và các đờng khác

* Tính thể tích mặt tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y=f(x)

và các đờng khác quanh trục Ox hoặc Oy

( Học kì II_ Phần ứng dụng hình học của tích phân )

* L u ý: Giáo viên cần lu ý cho học sinh tình huống bài toán cho độ dài đơn vị của hai trục

toạ độ và yêu cầu học sinh phải viết đơn vị sau kết quả diện tích (đvdt) và thể tích (đvtt)

* Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hàm số y=x3-3x có đồ thị (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ,các

đ-ờng x=-1, x=1 và trục Ox

Ví dụ 2: Cho hàm số y=x4-2x2+2 có đồ thị (C) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi (C), x=0, x=1 và trục Ox quanh trục Oy

Ví dụ 3: Cho hàm số 2x-1

y=

x+2 có đồ thị (H) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (H) ,các

đ-ờng x=-1, x=0 và trục Ox

Ví dụ 4: Cho hàm số

2

x -2x+5 y=

x-1 có đồ thị (H) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (H) ,các

đờng x=-3, x=-1 và trục Ox

Lời mở đầu

Kính tha: Ban giám hiệu các trờng THPT cụm Sơn Động và các thầy cô giáo đang giảng dạy môn toán trong huyện

Tôi là: Hoàng Văn Huấn, giáo viên toán, tổ toán – tin, trờng THPT Sơn Động số 1, Sơn

Động – Bắc Giang