ôn thi tốt nghiệp 09 hàm số (có chỉnh sửa)

Phương pháp: - Phát huy tích chủ động tích cực của học sinh, giáo viên hướng dẫn rèn kĩ năng tính toán và trình bày cho học sinh... B4: Lập bảng biến thiên.fx Ghi khoảng tăng giảm của hà

CHỦ ĐỀ 1 : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Vấn đề 1 : KHẢO SÁT HÀM SỐ

Số tiết:

I Mục đích yêu cầu:

1 Kiến thức:

- Giúp học sinh nhớ lại các bước khảo sát hàm số

- Khảo sát thuần thục ba loại hàm số: bậc 3, bậc 4 trùng phương, và bậc 1/ bậc 1

2 Kĩ năng:

- Biết áp dụng và tính chính xác đạo hàm của các hàm số

- Biết tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến, điểm cực đại, cực tiểu, các đường tiệm cận …

- Vẽ chính xác, thuần thục đồ thị của 3 hàm số bắt buộc

3 ý thức:

- Rèn cho học sinh có tư duy logic, tích cực, cẩn thận khi trình bày bài thi

II Phương pháp – phương tiện:

1 Phương pháp:

- Phát huy tích chủ động tích cực của học sinh, giáo viên hướng dẫn rèn kĩ năng tính toán và trình bày cho học sinh

2 Phương tiện:

- Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009

III Nội dung:

1 Nhắc lại kiến thức cũ:

Các bước khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Hàm số bậc ba : 3 2

y ax bx cx d

Hàm số bậc bốn : 4 2

y ax bx c Hàm số y ax b

cx d





 c0,ad bc 0

 Đạo hàm : y’=

y’= 0  x = ?

x y

    xlim y?

 Các khỏang đồng biến , nghịch biến ,

điểm cực đại , điểm cực tiểu

 y’’=

y’’= 0  x = ?

Bảng xét dấu y’’:

 Các khỏang lồi , lơm , điểm uốn

c



ad bc

cx d



  y' 0 ( hoặc y’<0 ) ,  x D

y’ không xác định x d

c

Tiệm cận đứng : x d

c



.Tiệm cận ngang : x a

c



 Các khỏang đồng biến (hoặc nghịch biến ) Hàm số không có cực trị

I Dạng 1: Khảo sát hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx +d (a khác 0)

Ví d 1 ụ 1 : Kh o sát các hàm s y = xảo sát các hàm số y = x ố y = x 3+3x2– 4

Tóm lược:

1 Tập xác định: D = R

2 Sự biến thiên

lim

 



y’= 3x2+6x = 3x(x+2), cho 0 4

0

y





*/ Bảng biến thiên

x   -2 0 +

y/ + 0 - 0 +

y 0 +

- -4

3 Đồ thị : +/y 6x6 cho y= 0 x= –1  y= -2, y’’ đổi dấu qua x=-1  I(-1 ;-2) l điểm uốn +/ Điểm đặc biệt: A(1;0) B(-3;-4)

Vẽ đồ thị hàm số: 2 Chú ý */ Các dạng đồ thị hàm bậc 3: TH 1 TH 2 y’ = 0 có 2 nghi m phân bi t và a>0ệm phân biệt và a>0 ệm phân biệt và a>0 a>0 và y’>=0 với mọi x TH 3 TH 4

y’ = 0 có 2 nghi m phân bi t và a<0ệm phân biệt và a>0 ệm phân biệt và a>0 a<0 và y’<=0 với mọi x

2

-2

-4

x

y

1

4 -2

*/ V i m i hàm s b c 3 ta d dàng tìm đ c đi m u n và đi m u n là tâm c a đ th hàm s ố y = x ễ dàng tìm được điểm uốn và điểm uốn là tâm của đồ thị hàm số ược điểm uốn và điểm uốn là tâm của đồ thị hàm số ểm uốn và điểm uốn là tâm của đồ thị hàm số ố y = x ểm uốn và điểm uốn là tâm của đồ thị hàm số ố y = x ủa đồ thị hàm số ồ thị hàm số ị hàm số ố y = x

3 Các bài t p cùng d ng ập cùng dạng ạng :

Bài 1 : Khảo sát các hàm số sau:

a/ y= x3 – 3x2 b/ y= - x3 + 3x – 2 c/ y= x3 + 3x2 + 4x -8

Bài 2 :

a/Cho hàm số y= x3 – 3m x2 + 4m3 Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1

b/ viết pttt với (C) tại điểm có hoành độ bằng 1

3

2 3





x

có đồ thị ( C ) a/ Khảo sát và vẽ đồ thi của hàm số

b/ Viết phương tŕnh tiếp tuyến của ( C) :

+/ Tại điểm có hoành độ x0 =

2 1 +/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x – 1

II D ng 2 ạng : Kh o sát và v đ thi c a hàm b c 4 trùng ph ng: y = axảo sát các hàm số y = x ẽ đồ thi của hàm bậc 4 trùng phương: y = ax ồ thị hàm số ủa đồ thị hàm số ương: y = ax 4 + bx2 + c (a khác 0)

1 Ví d : ụ 1 Khảo sát hàm số: y = 2x2– x4

Tóm lược

1 MXĐ : D= R

2 Sự biến thiên:

lim

 

 

y= 4x–4x3 = 4x(1–x2) cho y= 0  4x(1–x2)=0  x = 0 y=0

x = 1 y=1







 

 Lập bảng biến thiên:

x   -1 0 1 +



y/ + 0 0 + 0

-y 1 CT 1

- CĐ 0 CĐ

-

3 Đồ thị:

+/y= 4–12x2 cho y = 0  x = 3

3

  y=5

9

yđổi dấu qua x = 3

3

  Đồ thị hm số có 2 điểm uốn là 3 5;

3 9



+/ Điểm đặc biệt: A 2;0 B 2;0

+/ Đồ thị hàm số nhận trục 0y làm trục đối xứng

2

-2

x y

1

2 Chú ý:

*/ Các dạng đồ thị hàm trùng phương :

*/ Mọi đồ thị của hàm bậc 4 trùng phương luôn nhận trục tung oy làm trục đối xứng.

3 Bài tập đề nghị:

Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :

a/ y = x4 – 6x2 + 5 b/ y = -1

4x4 + 2x2 +

9

4 c/ y = x4 + 2x2 d/ y = 4 2 3

x

x

  (hd ôn thi tn) e/ y x 4 2x23 (hd ôn thi tn)

Bài 2: Cho hàm số y= x4 – m x2 + 4m -11 Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=4

Bài 3:

a/ Khảo sát hàm số y= x4 – 4 x2 + 5

b/ Dùng đồ thị (C) của hàm số vừa khảo sát biện luận theo m số nghiệm của phương tŕnh: x4 – 4 x2 + 5=m

III Dạng 3: Khảo sát hàm số b1/b1: y ax b

cx d







1 Các b ước khảo sát hàm b1/b1 c kh o sát hàm b1/b1 ảo sát hàm b1/b1.

B1: TX D = R\Đ d

c



B2: Ti m c n ngang là: ệm phân biệt và a>0 ya c Ti m c n đ ng là x = ệm phân biệt và a>0 ứng là x = d

c



B3: Tính đ o hàm y’=ạo hàm y’=

a d b c

cx d



  tính đ n đi u c a hàm sơng: y = ax ệm phân biệt và a>0 ủa đồ thị hàm số ố y = x

B4: Lập bảng biến thiên.

f(x) Ghi khoảng tăng giảm của hàm số

B5:T́m giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ , có thể lấy thêm một số điểm khác để dễ vẽ B6:Vẽ đồ thị

2 Dạng đồ thị hàm b1/b1

3 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Khảo sát hàm số : y = 2 2

1

x x





1 MXĐ: D= R\1

2 Sự biến thiên

y=

 2

4

1

x  > 0  x D  hàm số luôn đồng biến trên từng khỏang xác định của nó.

TCĐ: x = - 1 ; TCN: y = 2

Lập bảng biến thiên

3 Đồ thị:

Điểm đặc biệt: A(0;-2), B(1; 0), C(-2;6), D(-3;4)

Ví dụ 2 : Cho hàm số y 3 2x

x 1







1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

x - -1 +

y/ + +

y + 2

2 -

-2 -4 -6 -8

2 4 6 8

-2 -4 -6 -8

x y

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm

số đã cho tại hai điểm phân biệt

Giải:

2/ Đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt

 Phương trình (ẩn x) 3 2x = mx+ 2

x 1



 có hai nghiệm phân biệt

 Phương trình (ẩn x) mx2 – (m – 4)x – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt, khác 1

2 2

m.1 (m 4).1 5 0

   















4 Bài tập đề nghị:

Bài 1: khảo sát các hàm số sau:

a/ y = 2

x

x

 

 b/ y = 1

1

x x



 c/ y = 4

4

x 

x m

 khảo sát hàm số khi m = 2

Bài 3: Cho (C) : y =

2

2





x

x

a/ Khảo sát và vẽ đồ thi của hàm số

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

+/ Tại giao điểm của (C ) với trục Ox

+/ Song song với đường thẳng d1 : y = 4x – 5

*****Các bài tập tự luyện*****

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a/ y = x3 2x2  x 1 b/ y= x33x2 3x1 c/ y = 1 4 3 2

4x 2x

  d/ y = 4 2 3

x

x

  e/ y = 4

2 x f/ y = 3

2

x x





Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN

Số tiết:

I Mục đích yêu cầu:

1 Kiến thức:

- Giúp học sinh nhớ lại công thức và phương pháp viết phương trình tiếp tuyến

2 Kĩ năng:

- HS biết viết pttt với các đồ thị hàm số tại một điểm cho trước, tt có hệ số góc cho trước

3 ý thức:

- Rèn cho học sinh có tư duy logic, tích cực, cẩn thận khi trình bày bài thi

II Phương pháp – phương tiện:

1 Phương pháp:

- Phát huy tích chủ động tích cực của học sinh, giáo viên hướng dẫn rèn kĩ năng tính toán và trình bày cho học sinh

2 Phương tiện:

- Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009

III Nội dung:

1 Công thức cần nhớ.

Chú ý :

 y’ (x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x0 ; y0 )

 Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b th́ y’ (x 0 ) = a

 Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b th́ y’ (x 0 ) =

a

1



2 Ví dụ minh họa:

Cho hàm số y = x 3 – 3x + 2 có đồ thi (C).

a Viết pttt với (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.

b Viết pttt biết tt song song với đường thẳng y = 9x + 2009

Hướng dẫn

a ta có y0 = 4, y’ = 3x2 – 3 suy ra y’(2) = 9

=> pttt tại M(2; 4) là: y – 4 = 9(x - 2) hay y = 9x -14

b Từ giả thiết: y’(x0) = 9  3x0 – 3 = 9  x0 = 2 và x0 = - 2

Phương trình tiếp tuyến với (C) của đồ thị hàm số y = f ( x) tại điểm M (x0 ;y0 ) là:

y – y 0 = y’ (x 0 ) ( x – x 0 )

Trong phương trình trên có ba tham số x 0 ; y 0 ; y’(x 0 ) Nếu biết một trong ba số đó ta có thể

tìm 2 số c ̣òn lại nhờ hệ thức : y 0 = f (x 0 ) ; y’(x 0 )= f ’(x 0 )

+ Tại x0 = - 2 => y0 = 0 và pttt là: y = 9x + 18.

3 Bài tập cùng dạng:

Bài 1: Viết phương tŕnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2

1

x x



 tại giao điểm của nó với trục hoành

3

2 3





x

có đồ thị ( C ) Viết phương tŕnh tiếp tuyến của ( C) : a/ Tại điểm có hoành độ x0 =

2 1

b/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x – 1

Bài 3: Cho hàm số y = x4 2x2 3 có đồ thị ( C ) Viết phương tŕnh tiếp tuyến của ( C) :

a/ Tại giao điểm của ( C ) và trục tung

b/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 24 x +1

Bài 4: Cho (C) : y = x3 – 6x2 + 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

a) Tại điểm uốn của (C)

b) Tại điểm có tung độ bằng -1

c) Song song với đường thẳng d1 : y = 9x – 5

d) Vuông góc với đường thẳng d2 : x + 24y = 0

Bài 5: Cho (C) : y = 22





x

x

Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

a) Tại giao điểm của (C ) với trục Ox

b) Song song với đường thẳng d1 : y = 4x – 5

c) Vuông góc với đường thẳng d2: y = -x

Bài 6: Cho (C ) : y =

1

1

2







x

x x

.Viết phương trình tiếp tuyến của (C ):

a) Tại điểm có hòanh độ x = 2

b) Song song với đường thẳng d : -3x + 4y + 1 = 0

c) Vuông góc với tiệm cận xiên

Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C).

a) y = x3 – 3x + 2 đi qua điểm A(1 ; 0)

b) y = 3 23

2



 x

x đi qua điểm A(0 ; )

2 3

4

2

y

Vấn đề 3: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

Số tiết:

I Mục đích yêu cầu:

1 Kiến thức:

- Giúp học sinh củng cố bài toán khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

- Biết dùng đồ thị để biện luận phương trình

2 Kĩ năng:

- Nắm vững pp biện luận số nghiệm của pt bằng đồ thị

- Vẽ chính xác và đọc được đồ thị

3 ý thức:

- Rèn cho học sinh có tư duy logic, tích cực, cẩn thận khi trình bày bài thi

II Phương pháp – phương tiện:

1 Phương pháp:

- Phát huy tích chủ động tích cực của học sinh, giáo viên hướng dẫn rèn kĩ năng tính toán và trình bày cho học sinh

2 Phương tiện:

- Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009

III Nội dung:

1 Phương pháp:

Bài toán: Dựa vào đồ thị ( C) của hàm số y =f(x) ,

Biện luận số nghiệm của phương tŕnh : F(x , m ) = 0 ( với m là tham số ).

Cách giải :

2 Ví dụ:

Cho hàm số y=x3 – 6x2 + 9x có đồ thị (C)

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

b/ Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương tŕnh x3 – 6x2 + 9x – m = 0

Giải:

b/ Phương tŕnh x3 – 6x2 + 9x – m = 0

 x3 – 6x2 + 9x = m

Số nghiệm của phương tŕnh là số giao

điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d: y=m

 Chuyển phương trình : F(x , m ) = 0 về dạng : f(x) = h(m) (*)

 Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của ( C) và đường thẳng (d) : y

= h(m)

 Dựa vào đồ thị (C ) , ta có kết quả :

Nếu (d) và (C ) có n giao điểm thì (*) có n nghiệm đơn

Nếu (d) và (C ) có 0 giao điểm thì (*) vô nghiệm

Nếu (d) và (C ) tiếp xúc với nhau tại m điểm thì (*) có m nghiệm kép ).

dựa vào đồ thị ta có:

Nếu m > 4 phương tŕnh có 1 nghiệm

Nếu m = 4 phương tŕnh có 2 nghiệm

Nếu 0< m <4 phương tŕnh có 3 nghiệm

Nếu m=0 phương tŕnh có 2 nghiệm

Nếu m < 0 phương tŕnh có 1 nghiệm

Bài tập đề nghị:

Bài 1: a/ Khảo sát hàm số y= x4 – 4 x2 + 5 có đồ thị (C)

b/ Biện luận theo m số nghiệm của phương tŕnh: x4 – 4 x2 + 5=m

Bài 2: Cho hàm số y= x3 - 3x – 2 có đồ thị (C)

a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b/ Dùng đồ thị (C), định m để phương tŕnh: x3 - 3x – 2=m có 3 nghiệm phân biệt

Vấn đề 4:TÌM GÍA TRỊ LỚN NHẤT – GÍA TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Số tiết:

I Mục đích yêu cầu:

1 Kiến thức:

- Giúp học sinh củng cố kiến thức đạo hàm và khảo sát sự biến thiên của hàm số của hàm số

- Biết dùng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN của hàm số

2 Kĩ năng:

- Nắm vững pp các bước tìm GTLN, NN của hàm số đơn giản

3 ý thức:

- Rèn cho học sinh có tư duy logic, tích cực, cẩn thận khi trình bày bài thi

II Phương pháp – phương tiện:

1 Phương pháp:

- Phát huy tích chủ động tích cực của học sinh, giáo viên hướng dẫn rèn kĩ năng tính toán và trình bày cho học sinh

2 Phương tiện:

- Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009

III Nội dung:

1 Phương pháp:

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f (x) trên

 Tính y’

 Lập bảng biến thiên trên (a ; b )

 Kết luận : max ;  CD

a b yy

hoặc min ; CT

a b yy

 Tính y’

 Giải pt y’ = 0 t́m nghiệm x0a b; 

 Tính y (x0 ) , y(a) , y (b) Chọn số lớn nhất M , kết luận :max ;

a b y M Chọn số nhỏ nhất m , kết luận :min ; 

a b y m

2 Ví d : ụ 1

a)Tìm giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 2x x 2

b)Tìm giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất của hàm số b/ y =

x

x





trên [1

2;2 ]

Giải :

a)Txđ : D =[0;2]

y/= 1 2

2

x

x x



 cho y/=0  1-x=0  x=1  y=1

Bảng biến thiên

x 0 1 2

y/ + 0 -

y 1

0 0

max ( )f x f(1) 1 , min ( )f x f(0)f(2) 0 b) y/=x2 21 x  cho y/=0  x2-1=0  1 1 ;2

2 1 1 ;2 2 x x                       Ta có y(1) 2 = 7 2 ; y(1)=3 ; y(2)= 7 2 1 [ ;2] 2 min ( )f x = f(1) 2 =f(2)= 7 2 ; 1;22 max ( )f x f(1) 3         3 Bài tập đề nghị: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số : a) y= x +2 x (x > 0) b) y = x3 3x2 trên 10,10 c) y = 5 4x trên đoạn 1,1 d) y= x4- 4x2 + 2 trên đoạn [-2;2] Bài 2: Tìm GTLN- GTNN của hàm số sau trên mỗi tập tương ứng : a/ f x 2x3 3x212x1 trên 2;5 2       

b/ f x x2.lnx trên 1;e c/   1 4 2 f x x x     trên 1; 2

e/yxcos2 x trên ]

2 ; 0 [  f/ y(x2) 4 x2 trên tập xác định

g/ y = x3 + 3x2 - 9x – 7 trên [ - 4 ; 3 ]

h/ y = x + 2 + 1 1 x  trên 1;  m/ y= 2 cos 2x4sinx trên 0;

2



Vấn Đề 5: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ, CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Số tiết:

I Mục đích yêu cầu:

1 Kiến thức:

- Giúp học sinh củng cố kiến thức đạo hàm và khảo sát sự biến thiên của hàm số của hàm số

- Nắm vững các bước và phương pháp xét tính đb và nb của hàm số, tìm cực trị của hàm số

2 Kĩ năng:

- Biết tìm khoảng đồng biến, nghịch biến Tìm các điểm cực trị của hàm số cho trước

- Biết tìm điều kiện của tham số để hàm số tăng, giảm trên khoảng cho trước Đạt cực trị tại điểm cho trước

3 ý thức:

- Rèn cho học sinh có tư duy logic, tích cực, cẩn thận khi trình bày bài thi

II Phương pháp – phương tiện:

1 Phương pháp:

- Phát huy tích chủ động tích cực của học sinh, giáo viên hướng dẫn rèn kĩ năng tính toán và trình bày cho học sinh

2 Phương tiện:

- Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009

III Nội dung:

1 Phương pháp:

1.1 Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số :

+ MXĐ D= ?

+ Tính : y/ , tìm nghiệm của ptrình y/ = 0

+ BXD (sắp xếp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải theo chiều tăng dần)

+ Dựa vào bảng xét dấu suy ra khoảng đb, nb của hàm số

+ Kết luận : hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng

Định lý: (dùng để tìm gía trị tham số m):

a) f/(x)  0 x  (a;b) (chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm (a;b)) thì f(x) tăng trong/(a;b) b) f/(x)  0 x  (a;b) (chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm (a;b)) thì f(x) giảm trong/ (a;b)

V/ Bài toán 5: Cực trị của hàm số

 Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trị tại x0 và có đạo hàm tại x9 thì f/(x0)=0

 Tìm cực trị = dấu hiệu I :

+ MXĐ D=?

+ Tính: y/ = , tìm nghiệm của ptrình y/ = 0 Tính yCĐ; yCT

+ BBT: (sắp xếp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị không xác định của hàm số từ trái sang phải theo chiều tăng dần)