Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C.. Tính độ dài đờng sinh theo a.. PHầN RIÊNG 3 điểm Thí sinh học chơng trình nào thì làm chỉ đợc làm phần dành riêng cho chơng trình đó 1.. Viết p
Trang 1Đề Thi thử tốt nghiệp năm 2009
(Thời gian làm bài 150 phút )
I PHầN CHUNG CHO TấT Cả THí SINH (7 điểm)
Câu I (3,0 điểm)
Cho hàm số 3
y x= −3x 1+ có đồ thị (C)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)
b Viết phơng trình tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua điểm M(14
9 ; −1).
Câu II (3,0 điểm)
a Cho hàm số y e = − +x2 x Giải phơng trình y ′′ + + y ′ 2y = 0
b Tính tìch phân :
π
= +
0
sin 2x
(2 sin x)
c Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2sin x cos x 4sin x 1.= 3 + 2 − +
Câu III (1,0 điểm)
Một hình nón có đỉnh S, khoảng cách từ tâm O của đáy đến dây cung AB của đáy bằng a,
ãSAO 30= o , ãSAB 60= o Tính độ dài đờng sinh theo a.
II PHầN RIÊNG (3 điểm)
Thí sinh học chơng trình nào thì làm chỉ đợc làm phần dành riêng cho chơng trình đó
1 Theo ch ơng trình chuẩn :
Câu IV.a (2,0 điểm) :
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đờng thẳng:
1
x 1 y 2 z
( ) :
2 2 1, v à
=
2
x 2t ( ) : y 5 3t
z 4
a Chứng minh rằng đờng thẳng ( ) và đờng thẳng ∆1 ( ) chéo nhau.∆2
b Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng ( ) và song song với đờng thẳng ∆1 ( ) ∆2
Câu V.a (1,0 điểm):
Giải phơng trình 3
8 0
x + = trên tập số phức
2 Theo ch ơng trình nâng cao :
Câu IV.b (2,0 điểm):
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;0), mặt phẳng (P) : x y 2z 1 0+ + + = và mặt cầu (S) : x2+ + −y2 z2 2x 4y 6z 8 0+ − + =
a Tìm điểm N là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P)
b Viết phơng trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
Câu V.b (1,0 điểm):
Biểu diễn số phức z = − 1+ i dới dạng lợng giác
Họ và tên thí sinh:………
Số báo danh:………
Trang 2Câu ý Nội dung Điểm
I 1 Cho hàm số 3
y x= −3x 1+ có đồ thị (C)
a) 1) TXĐ: Ă
2) Sự biến thiên của hàm số a) Giới hạn
b) Bảng biến thiên
Ta có: y' 3= x2− =3 3(x2−1)
x −∞ −1 1 +∞
y’ + 0 − 0 +
y 3 +∞
−∞ −1
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (-1; 1) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; -1) và (1; +∞) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại: x= −1, giá trị cực đại là: y( )− =1 3 Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm x=1; giá trị cực tiểu y( )1 = −1 3) Đồ thị
Điểm uốn:
Ta có: '' 6y = x; '' 0y = ⇔ =x 0
Điểm uốn: U( )0;1
* Giao điểm của đồ thị cắt trục tung tại (0; 1)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
x y
Nhận xét: Đồ thị nhận điểm (0; 1) tâm đối xứng
0,25 0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
b)
Gọi (d) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k (d) : y 1 k(x 14)
9
(d) : y k(x 14) 1
9
(d) tiếp xúc ( C) ⇔ Hệ sau có nghiệm
14
3 3x 1 k(x ) 1 (1)
9 2
3x 3 k (2)
Thay (2) vào (1) ta đợc : 3x3 7x2 4 0 x 2,x 1,x 2
3
x = 2 (2) k 5 tt ( ) : y 5x 43
1
Ă
x = 1 (2) k 0 tt ( ) : y 1
2
Ă
0,25
0,25 0,25
Trang 3x = 2 (2) k 9 tt ( ) : y 9x 15
3
y′= − +( 2x 1) e− + , y′′=(4x −4x 1) e− − +
Ă
2
y y 2y (4x 6x 2) e ; y y 2y 0 2x 3x 1 0 1
x , x 1 2
− +
Ă
0,5
0,5
b
Ta có:
sin 2x 2sin x cosx
(2 sin x) 2 sin x
Đặt u = 2 + sinx ⇒ sinx = u – 2 ⇒cosxdx = du
Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 2; 3
2
Vậy:
3
2 3
u
0,25 0,25 0,5
c Ta có : y 2sin x sin x 4sin x 2= 3 − 2 − +
Đặt : t sin x , t [ 1;1]= ∈ − ⇒ =y 2t3− − +t2 4t 2 , t [ 1;1]∈ −
y 6t 2t 4 ,y 0 6t 2t 4 0 t 1 t
3 Vì y(-1) = 3,y(1) = -1,y(- ) = 2 98
3 27 Vậy :
Ă
Â
[ 1;1]
+ Maxy = Maxy = y( ) khi t = sinx =
x = arcsin( ) k2 hay x = arcsin( ) k2 ,k
−
π
Ă
Â
[ 1;1]
+ min y min y = y(1) 1 khi t = 1 sinx = 1 x = k2 ,k
2
0,25 0,25
0,25
0,25
III Gọi M là trung điểm AB Kẻ OM⊥ AB thì OM = a
∆SAB cân có ãSAB 60 nên = o ∆ SAB đều
Do đó : AM= AB SA=
∆SOA vuông tại O và ãSAO 30 nên= o
OA SA.cos30
2
∆OMA vuông tại M do đó :
0,25
0,25 0,5
IV
Theo
chơng
trình
chuẩn
a
a) Qua A(1;2;0) ( ) :1
+ VTCP a = (2; 2; 1)1
+
− −
Qua B(0; 5;4) ( ) :2
+ VTCP a = ( 2;3;0)2
−
AB ( 1; 7;4),[a ;a ].ABuuur= − − r r1 2 uuur= − ≠9 0⇒ ( ) ∆ 1 ,( ) ∆ 2 chéo nhau b)
r r r
Qua ( )1 Qua A(1;2;0)
+ VTPT n = [a ;a ] (3;2;2)
(P) : 3x 2y 2z 7 0
1
1
Trang 4Câu
V.a b Ta có : + = ⇔ + − + = ⇔ = −− + =
2
x 8 0 (x 2)(x 2x 4) 0
x 2x 4 0 (*) Phong trình (*) có ∆ = − = − =1 4 3 3i2⇒ ∆ =i 3 nên (*) có 2 nghiệm :
x 1 i 3 , x 1 i 3= − = +
Vậy phơng trình có 3 nghiệm x = − 2 , x 1 i 3 , x 1 i 3= − = +
0,5 0,5
Câu
IV.b
Theo
chơng
trình
nâng
cao
a a Gọi
+
= +
=
r r Qua M(2;3;0) Qua M(2;3;0)
+ VTCP a = n (1;1;2)
x 2 t (d) : y 3 t
z 2t Khi đó : N d (P)= ∩ ⇒N(1;2; 2)−
b + Tâm I(1; 2;3)− , bán kính R = 6 + (Q) // (P) nên (Q) : x y 2z m 0 (m 1)+ + + = ≠ + (S) tiếp xúc (Q)
m 1 (l)
|1 2 6 m |
m 11 6
=
− + +
Vậy mặt phẳng cần tìm có phơng trình (Q) : x y 2z 11 0+ + − =
0,5
1,5
Câu
V.b
π
Vậy : z= 2(cos3π+isin3π)
1