Phân tích trội trên thang thời gian

Palmer định nghĩa khái niệmphân tích trội hay tính tách được mũ là mở rộng của tính nhị phân mũ cho hệphương trình tuyến tính không ô - tô - nôm trên không gian Banach hữu hạn chiều và c

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

——————-LÊ ĐỨC NHIÊN

PHÂN TÍCH TRỘI

TRÊN THANG THỜI GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2016

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

——————-LÊ ĐỨC NHIÊN

PHÂN TÍCH TRỘI

TRÊN THANG THỜI GIAN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Huy Tiễn

Hà Nội - 2016

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thànhluận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trongkhoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội

đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin cám ơn Viện nghiên cứu cao cấp về toán đã tạo điềukiện cho em được trình bày seminar và xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới cácthành viên trong nhóm seminar hệ động lực trường KHTN đã có những góp ý quýbáu để em hoàn hiện luận văn tốt nghiệp này

Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2016

Học viên

Lê Đức Nhiên

Mục lục

Lời mở đầu 3

Chương 1 Tích phân Lebesgue trên thang thời gian 4

1.1 Khái niệm cơ bản về thang thời gian 4

1.2 Độ đo trên thang thời gian 6

1.3 Hàm ∆− đo được 12

1.4 Tích phân Lebesgue trên thang thời gian 17

Chương 2 Mặt phẳng phức Hilger và hàm mũ trên thang thời gian 22

2.1 Mặt phẳng phức Hilger 22

2.1.1 Số phức Hilger 22

2.1.2 Phép toán với số phức Hilger 25

2.1.3 Phép biến đổi trụ 28

2.2 Hàm mũ trên thang thời gian 28

Chương 3 Phân tích trội trên thang thời gian 34

3.1 Tính khả quy và phân tích trội trên thang thời gian 36

3.2 Đặc trưng của phân tích trội theo tính nhị phân mũ trên thang thời gian 41

Tài liệu tham khảo 50

LỜI MỞ ĐẦU

Khái niệm phân tích trội của hệ động lực trên đa tạp compact là chủ đề thu hútđược nhiều nhà toán học quan tâm Cho đến nay, ta mới chỉ hiểu rõ được tính phântích trội trong trường hợp đa tạp compact hai chiều như trong bài của E R Pujals

và M Sambarino năm 2009 [8] Vào năm 1982, K J Palmer định nghĩa khái niệmphân tích trội hay tính tách được mũ (là mở rộng của tính nhị phân mũ) cho hệphương trình tuyến tính không ô - tô - nôm trên không gian Banach hữu hạn chiều

và có một số kết quả quan trọng như tìm được mối liên hệ giữa tính phân tích trội vàtính nhị phân mũ Sau đó, vào năm 1984, Palmer chứng minh được sự tương đươngcủa tính khả quy vững với tính phân tích trội G Papaschinopoulos cũng đưa ra kếtquả tương tự cho trường hợp sai phân tuyến tính Trong luận văn này, em trình bàylại một số kết quả cơ bản trên thang thời gian và mở rộng kết quả Palmer về đặctrưng của phân tích trội trên thang thời gian, từ đó suy ra tính mở của các hệ có phântích trội trên thang thời gian và chứng minh sự tồn tại phân tích cực tiểu

Nội dung chính của luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 dành cho việc trình bày lại khái niệm độ đo và tích phân Lebesguetrên thang thời gian với các khái niệm đã được định nghĩa bởi G S Guiseinov.Chương 2 trình bày lại mặt phẳng phức Hilger và hàm mũ trên thang thời gian.Chương 3 nêu ra đặc trưng của tính phân tích trội cho hệ tuyến tính không ô - tô

- nôm theo tính nhị phân mũ trên thang thời gian

Nội dung chính của luận văn được thuyết trình tại seminar VIASM và là chi tiếthóa của bản Preprint [17]

Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2016

Học viên

Lê Đức Nhiên

Chương 1

Tích phân Lebesgue trên thang thời gian

Trong phần này, lí thuyết cơ bản về thang thời gian được trình bày với đa số các

kí hiệu được dùng theo Bohner và Peterson [19]

Định nghĩa 1.1.1 Thang thời gian là tập con đóng khác rỗng của đường thẳng

thực.

Do đó, bản thân R, Z, N, hZ trong đó h là hằng số dương hay hợp của bất kìkhoảng đóng như [0, 1] ∪ [2, 3] ∪ [8, 9] là các ví dụ về thang thời gian Trong khi đó

Q, C và bất kì tập con không đóng của tập số thực, ví dụ1n : n = 1, 2, , không

là thang thời gian

Trong suốt luận văn này, ta kí hiệu thang thời gian là T Dưới đây là ba toán tử

cơ bản trên thang thời gian T gồm toán tử tiến, toán tử lùi và hàm graininess

Định nghĩa 1.1.2 Cho T là thang thời gian Lấy t ∈ T ta định nghĩa toán tử tiến

σ : T → T bởi

σ (t) := inf {s ∈ T : s > t} ,

và toán tử lùi ρ : T → T được định nghĩa

ρ (t) := sup {s ∈ T : s < t}

Trong định nghĩa này, ta đặt inf /0 = sup T (có nghĩa là σ (t) = t nếu T cómaximum là t) và sup /0 = inf T (có nghĩa là ρ (t) = t nếu T có minimum là t),trong đó /0 là kí hiệu tập rỗng Nếu σ (t) > t, ta nói rằng t là cô lập phải, trong khi

đó nếu ρ (t) < t ta nói rằng t là cô lập trái Điểm vừa là cô lập phải, vừa là cô lậptrái được gọi là điểm cô lập Cũng vậy, nếu t < sup T và σ (t) = t, khi đó t được gọi

là trù mật phải, và nếu t > inf T và ρ (t) = t thì t được gọi là trù mật trái Điểm vừatrù mật phải vừa trù mật trái được gọi là điểm trù mật

Định nghĩa 1.1.3 Hàm µ : T → [0, ∞) được xác định bởi

µ (t) := σ (t) − t

được gọi là hàm graininess.

Định nghĩa 1.1.4 Hàm f : T → R được gọi là rd−liên tục nếu nó liên tục tại điểm

trù mật phải và tồn tại giới hạn trái tại những điểm trù mật trái.

Định nghĩa 1.1.5 Cho hàm số f : T → R và lấy t ∈ Tκ

Ở đây, Tκ là hàm xác định Tκ = T − {m} nếu T có điểm cực đại là cô lập trái m và Tκ = T trong trường hợp ngược lại Khi đó ta định nghĩa f∆(t) là một số (nếu tồn tại) thoả mãn với mọi

ε > 0 tồn tại lân cận U của t (nghĩa là U = (t − δ , t + δ ) ∩ T với δ > 0) sao cho

[ f (σ (t)) − f (s)] − f∆(t) [σ (t) − s]

≤ ε |σ (t) − s| với mọi s ∈ U.

Ta gọi f∆(t) là đạo hàm Delta của f tại t.

Nếu f có đạo hàm Delta với mọi t ∈ Tκ

thì f được gọi là khả vi trên Tκ và f∆

là hàm được xác định trên Tκ.

Định lý 1.1.1 (xem [19]) Giả sử f , g : T → R là các hàm khả vi tại t ∈ Tκ Khi đó:

(i) Tổng của các hàm f và g: f + g : T → R là một hàm khả vi tại t với

(iv) Nếu f (t) f (σ (t)) 6= 0, thì 1

f là một hàm khả vi với

 1f

∆

(t) = f

∆(t) g (t) − f (t) g∆(t)

g(t) g (σ (t)) .

1.2 Độ đo trên thang thời gian

Mục tiêu chính của mục này là trình bày lại độ đo delta (∆) trên thang thời gian,

là một trong các suy rộng của độ đo Lebesgue trên đường thẳng thực Về cơ bản,cách xây dựng lí thuyết độ đo trên T giống với cách xây dựng độ đo Lebesgue trên

R Với cách xây dựng này, độ đo delta tại một điểm cô lập phải trên T chính là bướcnhảy tiến của điểm đấy

Cho T là thang thời gian bất kì, ta kí hiệu L là tập các nửa khoảng của T códạng

[a, b) = {t ∈ T : a ≤ t < b, a, b ∈ T} Khi a = b, nửa khoảng trên là tập rỗng Trên tập L, ta định nghĩa hàm tập

m([ai, bi)) với [ai, bi) là các khoảng rời nhau,

3 m( /0) = m ([a, a)) = a − a = 0 đúng với mọi a ∈ T

Định nghĩa 1.2.1 Cho E là tập con bất kì của T Ta gọi Ij ∈ L ( j = 1, 2, ) là một phủ của E nếu E ⊂S

Định nghĩa 1.2.2 Tính chất P có liên quan tới điểm t ∈ T được gọi là đúng ∆−hầu

khắp nơi (∆−h.k.n) nếu tập E là tập các điểm mà P sai thỏa mãn m∗(E) = 0

Độ đo ngoài luôn nhận giá trị không âm nhưng có thể bằng vô cùng Bởi vậy, trongtrường hợp tổng quát, ta có 0 ≤ m∗(E) ≤ ∞ Trong trường hợp không tồn tại phủcủa tập E, ta quy ước m∗(E) = ∞

Định nghĩa 1.2.3 Tập E ⊂ T được gọi là ∆−đo được nếu với mỗi nửa khoảng

Mệnh đề 1.2.2 Họ tất cả các tập ∆−đo được (kí hiệu là A) của T là σ −đại số.

Chứng minh.Với E ∈ A, trước tiên, ta cần chứng minh Ec∈ A Thật vậy, ta có

m∗(A ∩ (Ec)c) + m∗(A ∩ Ec) = m∗(A ∩ E) + m∗(A ∩ Ec) = m∗(A)

với mọi A ⊂ T, do đó Ec ∈ A

Với E1 và E2 là hai tập rời nhau thuộc A Ta sẽ chứng minh E1∪ E2 cũng thuộc

A Thật vậy, với mọi A ⊂ T ta có

Do đó A là σ −đại số Định lí được chứng minh 2

Định lí thác triển Caratheodory phát biểu rằng cho trước độ đo m trên nửa vành,

ta có thể mở rộng thành độ đo ngoài m∗ và từ đó xác định một σ −đại số A

Ta gọi µ∆ là hạn chế của m∗ lên các tập ∆−đo được, lúc đó µ∆ là độ đo trênthang thời gian T

Dưới đây là một số tính chất của độ đo trên thang thời gian

Mệnh đề 1.2.3 (Định lí về dãy đơn điệu) Cho {En} là dãy tập đơn điệu tăng (hay đơn điệu giảm) trong T, khi đó

Hay nói cách khác, độ đo µ∆là liên tục.

Chứng minh.Xét {An}n∈N là dãy đơn điệu tăng Nếu tồn tại j0 mà µ∆(An) = ∞với mọi n ≥ j thì (1.2.1) luôn đúng Giả sử µ∆(An) < ∞ với mọi n Khi đó

Mặt khác,

µ∆(An0− An) = µ∆(An0) − µ∆(An)và

Bổ đề 1.2.1 (Rzezuchowski 2005 [22]) Tập gồm một điểm {t0} ⊂ T là ∆−đo được.

Chứng minh.Để chứng minh {t0} ∈ A, ta sẽ chỉ ra rằng với mọi A ⊂ T thì

m∗(A) = m∗(A ∩ {t0}) + m∗(A − {t0}) (1.2.2)

Rõ ràng đẳng thức (1.2.2) đúng với t0∈ A Giả sử t/ 0 ∈ A Dễ dàng chứng minh đượcrằng nếu max T ∈ A thì (1.2.2) đúng Với A ⊂ T − {max T} ta có

m∗(A) ≤ m∗(A ∩ {t0}) + m∗(A − {t0})luôn đúng Tiếp theo, ta cần chứng minh chiều ngược lại Thật vậy, theo định nghĩa

m∗(A) ≥ m∗(A ∩ {t0}) + m∗(A − {t0}) 2

Nhận xét 1.2.1 Giả sử T có τ0là giá trị cực đại hữu hạn Rõ ràng tập X = T−{τ0}

có thể biểu diễn như là hợp của hữu hạn hay đếm được các phần tử trong L nên X

là ∆−đo được Hơn nữa, tập {τ0} = T − X là ∆−đo được (do là hiệu giữa hai tập

∆−đo được) nhưng {τ0} không thể được phủ bởi một họ trong L, do đó, tập {τ0}

và bất kì tập ∆−đo được chứa τ0 có độ đo bằng vô cùng.

Định lý 1.2.1 (Guseinov 2003 [11]) Với mọi t0 ∈ T − {max T} thì

µ∆({t0}) = σ (t0) − t0 = µ(t0) (1.2.3)

Chứng minh. Nếu t0 là điểm cô lập phải thì {t0} = [t0, σ (t0)) ∈ L Do đó, {t0}

là ∆−đo được và ta có

µ∆({t0}) = m([t0, σ (t0))) = σ (t0) − t0.Khi đó ta có đẳng thức (1.2.3)

Nếu t0 là điểm trù mật phải Khi đó, tồn tại dãy đơn điệu giảm {tk} của T saocho [t0,t1) ⊃ [t0,t2) ⊃ , tk > t0, tk → t0 và {t0} = T∞

k=1

[t0,tk) Do đó, {t0} là ∆−đođược (do là giao đếm được của các tập ∆−đo được) Áp dụng Mệnh đề 1.2.3 ta có

Bổ đề 1.2.2 Tập tất cả các điểm cô lập phải là không quá đếm được Tức là tồn tại

dãy {ti}i∈I ⊂ T, I ⊂ N sao cho

Nhận xét 1.2.2 Do SR có không quá đếm được các phần tử nên SRlà ∆−đo được,

b) Ta có [a, b) = {a} ∪ (a, b) Bởi tính chất cộng tính, ta có

µ∆([a, b)) = µ∆({a} ∪ (a, b)) = µ∆({a}) + µ∆((a, b))

Do đó

µ∆((a, b)) = µ∆([a, b)) − µ∆({a}) = b − a − (σ (a) − a) = b − σ (a)

c) Do (a, b] = (a, b) ∪ {b} nên

µ∆((a, b]) = µ∆((a, b) ∪ {b})

= µ∆((a, b)) + µ∆({b})

= b− σ (a) + σ (b) − b

= σ (b) − σ (a).

d) Vì [a, b] = {a} ∪ (a, b] nên ta có

µ∆([a, b]) = µ∆({a} ∪ (a, b])

là ∆−đo được với mọi α ∈ R Xét α1< α2 < · · · < αn, ta có các trường hợp sau

(i) Nếu α1 < α < α2 thì S−1([−∞, α)) = /0 là ∆−đo được

(ii) Nếu α2 < α < α3 thì S−1([−∞, α)) = A1∪ A2 là ∆−đo được Từ (ii) suy ra A2

Do đó S là hàm ∆−đo được Định lí được hoàn toàn chứng minh 2

Dưới đây là các định nghĩa tương đương khác của hàm ∆−đo được được chứngminh tương tự bởi Royden 2010 [13]

Mệnh đề 1.3.2 Cho f : E ⊂ T → R Khi đó các mệnh đề sau là tương đương (i) {t ∈ E : f (t) < α} là ∆−đo được ∀α ∈ R,

(ii) {t ∈ E : f (t) ≥ α} là ∆−đo được ∀α ∈ R,

(iii) {t ∈ E : f (t) ≤ α} là ∆−đo được ∀α ∈ R,

(iv) {t ∈ E : f (t) > α} là ∆−đo được ∀α ∈ R,

Định lý 1.3.2 Cho f , g, fn, n = 1, 2, là các hàm ∆−đo được và xác định trên

E ⊂ T, α ∈ R Khi đó, các khẳng định sau là đúng

(i) Các hàm α f , f + g, f − g, f g, sup fn, inf fn, lim fn, lim fnvà gf cũng là hàm ∆−đo

được,

(ii) max{ f , g}, min{ f , g} là hàm ∆−đo được,

(iii) Tập {t ∈ E : f (t) ≤ g(t)} là ∆−đo được,

(iv) Mọi hàm hằng xác định trên tập ∆−đo được E là hàm đo được.

Ta cũng có một số tiêu chuẩn khác cho hàm ∆−đo được như sau

Định lý 1.3.3 Hàm f là ∆−đo được nếu và chỉ nếu một trong số các điều kiện sau

xảy ra

(i) Hai hàm f+và f−là ∆−đo được, trong đó f+= max{0, f } và f−= max{0, − f }.

(Aliprantis và Burkinshaw 1998 [3])

(ii) Tập {t ∈ T : α1 < f (t) < α2} là ∆−đo được ∀α1, α2∈ R (Craven 1982 [6])

Dưới đây là một số lớp hàm có tính ∆−đo được

Bổ đề 1.3.1 Cho T là thang thời gian rời rạc (tất cả các điểm thuộc T là điểm cô

lập) và mọi hàm f xác định trên T Khi đó f là ∆−đo được.

Chứng minh.Do thang thời gian là rời rạc nên tập f−1([−∞, α)) là hợp của cáctập chỉ có một phần tử do đó f là ∆−đo được 2

Nhận xét 1.3.1 Nếu f là hàm chỉ xác định trên tập con của T gồm các điểm cô lập

thì f là ∆−đo được Hay nói cách khác, hàm f |S

R là hàm ∆−đo được trên SR.

Định lý 1.3.4 Cho f là hàm rd−liên tục, khi đó f là ∆−đo được.

Chứng minh.Theo Định lí 1.3.3, ta sẽ chứng minh

R là ∆−đo được Định lí được chứng minh 2

Nhận xét 1.3.2 Nếu f là hàm liên tục trên T thì f là ∆−đo được.

Nhận xét 1.3.3 Nếu f là hàm rd−liên tục trên tập E ⊂ T là ∆−đo được thì f là

∆−đo được.

Định lý 1.3.5 Cho f xác định trên tập con E là ∆−đo được của T Khi đó f là

∆−đo được nếu tất cả các điểm trù mật phải của E mà f gián đoạn là tập có độ đo delta bằng không.

Chứng minh.Ta phân lớp tập E thành ba phần

(i) Crd = {t ∈ E : t là trù mật phải và f liên tục tại t},

(ii) Drd = {t ∈ E : t là trù mật phải và f gián đoạn tại t},

(iii) Drs = {t ∈ E : t là cô lập phải }

Do đó, E = Crd∪ Drd∪ Ers Theo giả thiết, µ∆(Drd) = 0 Ta chọn {Kn}n∈N là dãygiảm các tập ∆−đo được sao cho

Rõ ràng f là hàm liên tục trên Fn = (Drd∪ Crd) − Dn Do đó f |Fn liên tục nên là

∆−đo được (Nhận xét 1.3.3) Thêm vào đó, {Dn} là dãy đơn điệu giảm nên {Fn} làdãy đơn điệu tăng Do đó, cho n → ∞ hai vế của đẳng thức Drd∪ Crd = Dn∪ Fn tathu được

Vế phải của đẳng thức cuối là tập đo được, nên vế trái cũng là tập đo được bởi vậy

f là đo được Định lí được chứng minh 2

Tương tự như trường hợp liên tục, ta cũng có thể xấp xỉ mọi hàm đo được bằngdãy các hàm đơn giản thông qua các định lí dưới đây

Định lý 1.3.6 Cho f : T → R+∪ {0} là hàm ∆−đo được Khi đó tồn tại dãy các hàm đơn giản {φn} sao cho 0 ≤ φn(t) ↑ f (t) với mọi t ∈ T.

Chứng minh.Cho f : T → R+∪ {0} là hàm ∆−đo được và

Ain = {t ∈ T : (i − 1)2−n ≤ f (t) < i2−n} với i = 1, 2, , n2n

Ta có nhận xét rằng Ain∩ Anj = /0 nếu i 6= j Do f là hàm ∆−đo được nên các tập Ai

cũng là ∆−đo được Với mỗi n ta định nghĩa hàm đơn giản φn cho bởi

Định lý 1.3.7 Hàm f là ∆−đo được nếu và chỉ nếu có một dãy các hàm đơn giản

hội tụ đều tới f trên T.

Chứng minh.Nếu tồn tại một dãy hàm đơn giản hội tụ đều tới f thì theo Định lí1.3.2 thì f là hàm ∆−đo được

Ngược lại, giả sử f là hàm ∆−đo được, với 2 số nguyên dương m, n nếu

m

n ≤ f (t) ≤ m+ 1

n thì ta đặt fn(t) = m

n.

m+ 1

n