Một số kết quả về giải tích ngẫu nhiên trên thang thời gian

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học VinhNguyễn Thanh Diệu Một số kết quả về giải tích ngẫu nhiên trên thang thời gian Luận án tiến sĩ toán học Vinh - 2012... Cáckết quả nghiên cứu về gi

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học Vinh

Nguyễn Thanh Diệu

Một số kết quả về giải tích

ngẫu nhiên trên thang thời gian

Luận án tiến sĩ toán học

Vinh - 2012

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học Vinh

Nguyễn Thanh Diệu

Một số kết quả về giải tích

ngẫu nhiên trên thang thời gian

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học

Mã số: 62.46.01.06

Luận án tiến sĩ toán học

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Hữu Dư

Vinh - 2012

1.1 Các khái niệm cơ bản về giải tích trên thang thời gian 7

1.2 Quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian 18

1.3 Kết luận chương 1 23

2.1 Định lý khai triển Doob - Meyer 24

2.2 Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian 35

3.1 Phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian 65

3.2 Tính Markov của nghiệm 79

3.3 Ước lượng moment 85

3.4 Kết luận chương 3 91

Kết luận và kiến nghị 92

Danh mục công trình đã công bố 93

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướngdẫn của GS.TS Nguyễn Hữu Dư Các kết quả nêu trong luận án là trung thực,

được các đồng tác giả cho phép sử dụng và luận án không trùng lặp với bất kì tàiliệu nào khác

Nghệ An, ngày tháng năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thanh Diệu

Lời cảm ơn

Bản luận án được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫncủa GS.TS Nguyễn Hữu Dư, Thầy đã đặt bài toán, dày công dạy cho tôi kiếnthức, kinh nghiệm trong nghiên cứu Chính Thầy đã cho tôi niềm tin và khát vọngtrong nghiên cứu khoa học Trong cuộc sống, gia đình Thầy đã dành cho gia

đình tôi tình cảm và sự quan tâm đặc biệt, tình cảm đó không chỉ giúp cho bảnthân tôi vượt qua mọi khó khăn trong cuộc sống để học tập mà còn cho tôi cả bàihọc làm người nhân hậu Nhân dịp này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn vô hạn

đến gia đình Thầy Cô Ngoài ra, trong quá trình học tập và viết luận án tôi cũng

đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ của quý thầy giáo cô giáo trong: Khoa Toánhọc (Trường Đại học Vinh); bộ môn Toán Sinh - Khoa Toán Cơ Tin học (Trường

Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Hà Nội) Đặc biệt là sự quan tâmgiúp đỡ của PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, TS Nguyễn Trung Hòa, PGS.TS Phan

Đức Thành, PGS.TS Trần Xuân Sinh, PGS.TS Trần Văn Ân, PGS.TS Đinh HuyHoàng, PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS Phạm Ngọc Bội, PGS.TS Nguyễn ThànhQuang, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, TS Đinh Đức Tài, Tôi xin chân thành cảm

ơn những sự giúp đỡ quý báu đó

Nghệ An, ngày tháng năm 2012

Tác giả

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích ngẫu nhiên là một lĩnh vực toán học nghiên cứu các phép tính giảitích (tích phân, đạo hàm, tính liên tục, khả vi, ) đối với quá trình ngẫu nhiên,nhằm mục đích xây dựng các mô hình toán học cho các hệ động lực có sự tác

động của các yếu tố ngẫu nhiên Do đó, giải tích ngẫu nhiên là ngành khoa học

có nhiều ứng dụng trong sinh học, y học, vật lý học, kinh tế, khoa học xã hội,

và được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Cho đến nay, giải tích ngẫunhiên với thời gian liên tục và thời gian rời rạc đã được nghiên cứu khá đầy đủ

Năm 1923, N Wiener đã sử dụng lý thuyết độ đo để xây dựng quá trìnhchuyển động Brown và chứng minh sự tồn tại duy nhất của nó Trong công trìnhcủa mình, N Wiener đã chỉ ra rằng quỹ đạo của quá trình chuyển động Brown

có biến phân không giới nội Do đó, tích phân theo quá trình Wiener không thểxây dựng theo cách thông thường như là tích phân Lebesgue-Stieljes Điều này

đã được khắc phục bởi K Itô, nhà toán học người Nhật bản, ông đã xây dựng tíchphân ngẫu nhiên theo quá trình Wiener vào năm 1944 trong [24] Sau đó, J L.Doob [8] đã mở rộng tích phân ngẫu nhiên theo quá trình có gia số trực giao Tíchphân ngẫu nhiên tiếp tục được mở rộng đối với martingale bình phương khả tíchbởi P A Meyer [40]; bởi H Kunita và S Watanabe [31] Năm 1970, P A Meyer

và C Doléans-Dade [42] đã xây dựng tích phân theo martingale địa phương bìnhphương khả tích Cũng trong năm đó, C Dellacherie và K Bichteler đã xây dựngtích phân ngẫu nhiên theo semimartingale Ngày nay, người ta gọi tích phân ngẫunhiên được chỉ ra ở trên làtích phân ngẫu nhiên Itô

Đối với các tính toán ngẫu nhiên với thời gian rời rạc, các phép biến đổimartingale được xem là tích phân ngẫu nhiên Itô

Công thức Itô đối với quá trình Wiener đã được K Itô [25] xây dựng năm

1951 và được xem là công cụ then chốt trong tính toán ngẫu nhiên Năm 1967,

H Kunita và S Watanabe [31] đã mở rộng công thức Itô đối với martingale bìnhphương khả tích; P A Meyer [39] đã mở rộng công thức Itô đối với martingale

có bước nhảy Công thức Itô đối với semimartingale được xây dựng năm 1969bởi McKean trong [36], được mở rộng bởi P A Meyer và C Doléans-Dade trong[42]

Đối với tính toán ngẫu nhiên với thời gian rời rạc, công thức Itô được xâydựng năm 2002 bởi D Kannan và B Zhan trong [28]

Năm 1953, J L Doob [8] đã phát biểu và chứng minh định lý khai triểnDoob đối với submartingale với thời gian rời rạc và phỏng đoán định lý đối vớisubmartingale với thời gian liên tục Các định lý này được chứng minh vào năm

1962 và 1963 bởi P A Meyer (xem [40, 41]) Do đó, người ta gọi định lý khaitriển Doob làđịnh lý khai triển Doob - Meyer

Phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu là quá trình Wiener được xâydựng vào năm 1951 bởi K Itô [26]và tiếp tục được nghiên cứu bởi H P McKean[36], I I Gihman và A V Skorohod trong [15] Phương trình vi phân ngẫu nhiênvới nhiễu là martingale bình phương khả tích được nghiên cứu bởi N Kazamaki[29] năm 1972 Các kết quả này được phát triển bởi P E Protter [44] và nhiềunhà toán học khác (xem [23, 27, 32, 45]) Những năm gần đây, X Mao và cộng

sự đã nghiên cứu phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu là semimartingale(xem [33, 34]) Bên cạnh đó, phương trình sai phân ngẫu nhiên là dạng đơn giảnnhất của phương trình động lực ngẫu nhiên Nó đóng vai trò quan trọng trongnghiên cứu các hệ động lực ngẫu nhiên Trong rất nhiều trường hợp, người tathường chuyển việc nghiên cứu phương trình vi phân ngẫu nhiên về nghiên cứuphương trình sai phân bằng các phương pháp rời rạc hóa phương trình vi phân.Với những ý nghĩa đó, phương trình sai phân ngẫu nhiên được nhiều nhà toán họcquan tâm nghiên cứu (xem [20, 35, 49, 50])

Khi xây dựng mô hình toán học cho các hệ thống tiến triển theo thời gian

người ta thường giả thiết hệ thống hoạt động liên tục hoặc rời rạc đều, tức là cácthời điểm quan sát cách nhau một khoảng cố định Từ đó, các phép tính giải tíchliên tục (phép tính vi phân) và rời rạc (phép tính sai phân) được nghiên cứu đểmô tả hệ thống tương ứng với các giả thiết lý tưởng được đặt ra Song trên thực

tế, hầu hết các hệ thống hoạt động không hoàn toàn liên tục và cũng không hoàntoàn cách đều nhau Đôi khi các quan sát còn xen lẫn các khoảng thời gian liêntục với các thời điểm rời rạc Chẳng hạn một loài sâu nào đó chỉ phát triển trongsuốt mùa hè nhưng đến mùa đông thì sự phát triển của chúng bị gián đoạn Vìvậy, trong nhiều trường hợp phương trình vi phân hoặc sai phân không đủ để môtả các thông tin cần thiết của mô hình Lý thuyết thang thời gian ra đời nhằmkhắc phục nhược điểm này của giải tích cổ điển Lý thuyết này được đưa ra lần

đầu tiên năm 1988 bởi S Hilger, một nhà Toán học người Đức (xem [21]) Cáckết quả nghiên cứu về giải tích trên thang thời gian cho phép chúng ta xây dựng

được mô hình toán học của các hệ thống tiến triển không đều theo thời gian, phản

ánh đúng các mô hình thực tế Do đó, chủ đề thang thời gian thu hút được sựquan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới và đã có nhiều côngtrình được công bố trên các tạp chí toán học có uy tín (xem [3, 4, 5, 12, 13, 22])

Cho đến nay, các kết quả nghiên cứu về thang thời gian chỉ mới dừng lại ởgiải tích tất định Vì thế các kết quả này chỉ mô tả được các mô hình phát triểntrong các điều kiện môi trường không có nhiễu biến đổi Hiển nhiên, các mô hìnhthực tế không như vậy và ta phải tính đến các yếu tố ngẫu nhiên tác động vàomôi trường Do đó, việc chuyển các kết quả về giải tích trên thang thời gian củacác mô hình tất định sang mô hình ngẫu nhiên là một nhu cầu cấp thiết

Với các lý do nêu trên, trên cơ sở các vấn đề của giải tích ngẫu nhiên và

lý thuyết thang thời gian, chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là:

"Một số kết quả về giải tích ngẫu nhiên trên thang thời gian"

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận án là nghiên cứu lý thuyết quá trình ngẫu nhiên trênthang thời gian, nhằm thống nhất và mở rộng một số kết quả về dãy các biến ngẫunhiên và lý thuyết quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục

3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu một số vấn đề về giải tích ngẫu nhiên trên thang thời gian, cụthể là định lý khai triển Doob - Meyer đối với submartingale trên thang thời gian;tích phân ngẫu nhiên theo semimartingale trên thang thời gian; công thức Itô vàcác ứng dụng; các tính chất định tính và định lượng của phương trình động lựcngẫu nhiên trên thang thời gian

6 ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Thống nhất và mở rộng một số kết quả về dãy các biến ngẫu nhiên và lýthuyết quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục Tạo ra bức tranh chung cho lýthuyết dãy các biến ngẫu nhiên và quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục

Làm phong phú thêm các kết quả nghiên cứu về giải tích ngẫu nhiên

Có thể sử dụng luận án làm tài liệu tham khảo về lĩnh vực giải tích ngẫunhiên cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh

7 Tổng quan và cấu trúc luận án

7.1 Tổng quan luận án

Năm 2008, S Bhamidi và cộng sự trong [2] đã công bố kết quả nghiên cứu

về chuyển động Brown nhận giá trị trên thang thời gian S Sanyal trong luận ántiến sỹ của mình năm 2008 đã định nghĩa ''tích phân ngẫu nhiên và phương trình

động lực ngẫu nhiên" trên thang thời gian với hàm hạt dương trong [47] Năm

2011, S Sanyal và D Grow [18] đã công bố kết quả của mình về chuyển độngBrown trên thang thời gian Cho đến nay, mới chỉ có một số ít kết quả nghiêncứu về giải tích ngẫu nhiên trên thang thời gian Trong khi đó, các bài toán về lýthuyết quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục và rời rạc đã được nghiên cứukhá đầy đủ

Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu một số kết quả về giải tích ngẫunhiên trên thang thời gian bằng cách thống nhất và mở rộng các kết quả về tínhtoán ngẫu nhiên với thời gian liên tục và rời rạc Cụ thể là phát biểu và chứngminh định lý khai triển Doob - Meyer đối với submartingale trên thang thời gian;xây dựng tích phân ngẫu nhiên theo semimartingale trên thang thời gian; thiết lậpcông thức Itô đối với bộd−semimartingale trên thang thời gian và ứng dụng; xâydựng phương trình động lực ngẫu nhiên với nhiễu là martingale bình phương khảtích, chỉ ra một số tính chất nghiệm của phương trình này

Chương 2 Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian Nội dung củachương này được viết thành 4 mục: Mục 2.1 trình bày định lý khai triển Doob -Meyer đối với submartingale trên thang thời gian Mục 2.2 xây dựng tích phânngẫu nhiên theo martingale bình phương khả tích, martingale địa phương bìnhphương khả tích và mở rộng tích phân đối với semimartingale trên thang thời

gian Mục 2.3 xây dựng công thức Itô đối với bộ d−semimartingale trên thangthời gian Mục 2.4 trình bày độ đo đếm sinh bởi martingale bình phương khả tích,ứng dụng công Itô phát biểu martingale.

Chương 3 Phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian

Nội dung của chương này được viết thành 3 mục Mục 3.1 xây dựng phương trình

động lực ngẫu nhiên với nhiễu là martingale bình phương khả tích, chỉ ra điềukiện về sự tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình đó Mục 3.2 trình bày một

số kết quả về tính Markov của nghiệm và toán tử sinh phụ thuộc thời gian củaquá trình Markov nghiệm Mục 3.3 xây dựng công thức ước lượng moment đốivới nghiệm của phương trình

Nghệ An, ngày tháng năm 2012

Tác giả

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày (không chứng minh) một số kết quảcơ bản của giải tích tất định và quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian để làmcơ sở cho việc trình bày nội dung chính của Luận án ở các chương sau Một vàichỗ là kết quả nghiên cứu của tác giả Luận án, chúng tôi có trình bày chứng minh

1.1 Các khái niệm cơ bản về giải tích trên thang

thời gian

Các kết quả trình bày trong mục này được tham khảo từ các tài liệu [3] và [4]

Định nghĩa 1.1.1 Một tập con đóng, khác rỗng của tập số thực R được gọi làthang thời gian (time scales) Ký hiệu thang thời gian là T

Dễ thấy rằng các tập hợp:R, Z, N, N0, [0, 1]∪[2, 3], [0, 1]∪N và tập Cantor

là các thang thời gian

Trong khi đó các tập hợp:Q, R \ Q, (0, 1) không phải là thang thời gianvì chúng không phải là các tâp đóng

Trong Luận án, chúng tôi luôn giả thiết rằng trên thang thời gian có mộttôpô, chính là tôpô cảm sinh của tôpô thông thường trên tập hợp các số thực

Định nghĩa 1.1.2 Giả sử T là một thang thời gian ánh xạ σ : T → T xác

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử T là một thang thời gian Một điểm t ∈ T được gọi

là trù mật phải (right-dense) nếu σ(t) = t, cô lập phải (right-scattered) nếuσ(t) > t, trù mật trái (left-dense) nếu ρ(t) = t, cô lập trái (left-scattered) nếuρ(t) < t và là điểm cô lập (isolated) nếu t vừa cô lập trái vừa cô lập phải

Với mỗi a, b ∈ T, ký hiệu [a, b] là tập hợp {t ∈ T : a 6 t 6 b},tương tự, ký hiệu các tập hợp (a, b]; (a, b); [a, b) tương ứng là các tập hợp

Ký hiệu

I1 = {t : t cô lập trái}, I2 = {t : t cô lập phải}, I = I1 ∪ I2 (1.1)Mệnh đề 1.1.4 Tập hợp I gồm tất cả các điểm cô lập trái hoặc cô lập phảicủa thang thời gian T là tập không quá đếm được

Định nghĩa 1.1.5 Giả sử T là thang thời gian ánh xạ à : Tk

§Þnh nghÜa 1.1.7 Cho hµm sè f : T → R Hµm sè f ®­îc gäi lµ

i) chÝnh quy (regulated) nÕu f cã giíi h¹n tr¸i t¹i nh÷ng ®iÓm trï mËt tr¸i vµ

cã giíi h¹n ph¶i t¹i nh÷ng ®iÓm trï mËt ph¶i

ii) rd−liên tục (rd−continuous) nếu f liên tục tại những điểm trù mật phải

và có giới hạn trái tại những điểm trù mật trái Tập hợp các hàm rd−liêntục ký hiệu là Crd hoặc Crd(T, R)

iii) ld−liên tục (ld−continuous) nếu f liên tục tại những điểm trù mật trái, cógiới hạn phải tại những điểm trù mật phải Tập hợp các hàm ld−liên tục

ký hiệu là Cld hoặc Cld(T, R)

Giả sử f : T → R là một hàm số xác định trên T Khi đó, chúng ta viết

fρ : T → R là hàm số xác định bởi fρ = f◦ρ, nghĩa là fρ(t) = f (ρ(t)) với mọi

t ∈ kT Ký hiệu lim

σ(s)↑tf (s) bởi f (t−) hoặc ft− nếu tồn tại giới hạn trái Ta thấyrằng nếut là điểm cô lập trái thì ft− = fρ(t)

Định lý 1.1.8 Giả sử f : T → R là một hàm số xác định trên T Khi đó,i) Nếu f là hàm số liên tục thì f là hàm số rd−liên tục và ld−liên tục.ii) Nếu f là hàm số rd−liên tục thì f là hàm số chính quy

iii) Toán tử bước nhảy tiến σ là hàm số rd−liên tục

iv) Toán tử bước nhảy lùi ρ là hàm số ld−liên tục

v) Nếu f là hàm số ld−liên tục thì fρ cũng là hàm số ld−liên tục

Định nghĩa 1.1.9 Giả sử f là một hàm số xác định trên T, nhận giá trị trên R.Hàm số f được gọi là có ∇−đạo hàm (có đạo hàm Hilger hoặc đơn giản có

đạo hàm) tại t ∈ kT nếu tồn tại f∇(t) ∈ R sao cho với mọi ε > 0 tồn tại mộtlân cận U của t để

|f (ρ(t)) − f (s) − f∇(t)(ρ(t) − s)| 6 ε|ρ(t) − s| với mọi s ∈ U

f∇(t) ∈ R được gọi là ∇−đạo hàm của hàm số f tại t

Nếu hàm số f có ∇−đạo hàm tại mọi điểm t ∈ kT thì f được gọi là có

∇−đạo hàm trên T

Ví dụ 1.1.10 +) Nếu T = R thì f∇(t) ≡ f0(t)chính là đạo hàm thông thường

+) Nếu T = Z thì f∇(t) = f (t) − f (t − 1) chính là sai phân lùi cấp một

Định lý 1.1.11 Giả sử f : T → R là một hàm số xác định trên T và t ∈ kT.Khi đó,

i) Nếu hàm số f có ∇−đạo hàm tại t thì f là hàm số liên tục tại t

ii) Nếu hàm số f liên tục tại điểm cô lập trái t thì f có ∇−đạo hàm tại t và

ii) Hàm tích fg : T → R có ∇−đạo hàm tại t và ta có quy tắc đạo hàm củatích

Định nghĩa 1.1.14 Hàm số p xác định trên thang thời gian T được gọi là hồiquy (regressive) nếu

1 + à(t)p(t) 6= 0, với mọi t ∈ Tk

Ký hiệu

R = {p : T → R : p là rd − liên tục và 1 + à(t)p(t) 6= 0}

R+ = {p : T → R : p là rd − liên tục và 1 + à(t)p(t) > 0}

Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu sơ bộ về độ đo Lebesgue-Stieltjes trên thangthời gian.

Giả sử A là hàm tăng, liên tục phải, xác định trên T Ký hiệu M1 ={(a; b] : a, b ∈ T} là họ tất cả các khoảng mở bên trái và đóng bên phải của T.Khi đó, M1 là nửa vành các tập con của T Lấy m1 là hàm tập xác định trên M1

và được xác định bởi

Chúng ta thấy rằng m1 là hàm tập cộng tính đếm được trên M1 Ký hiệu àA∇

là mở rộng Carathéodory của hàm tập m1 liên kết với họ M1 và nó được gọi là

∇A−độ đo Lebesgue - Stieltjes liên kết với A trên thang thời gian T Chúng tachứng minh được các kết quả sau:

Với t ∈ kT, tập một điểm {t} là ∇A−đo được và

àA∇({t}) = At − At−

Với a, b ∈ T và a 6 b,

àA∇((a, b)) = Ab− − Aa; àA∇([a, b)) = Ab− − Aa−; àA∇([a, b]) = Ab − Aa−

Chứng minh chi tiết cho các kết quả này có thể xem trong [5]

LấyE ⊂ kT là một tậpàA∇−đo được vàf : T → Rlà một hàm sốàA∇−đo

được Ký hiệuR

E fτ∇Aτ là tích phân của hàm sốf liên kết với độ đoàA∇ trênE

và được gọi là∇A−tích phân Lebesgue - Stieltjes.Nếu A(t) = t với mọi t ∈ T

ta có àA∇ là ∇−độ đo Lebesgue trênT và R

Efτ∇τ là ∇−tích phân Lesbesgue.Trong luận án, chúng tôi sử dụng ký hiệu Rb

a f (τ )∇τ thay cho R

(a,b]f (τ )∇τ

Sau đây là một số tính chất quen thuộc của ∇−tích phân

Định lý 1.1.15 Giả sử a, b, c ∈ T, α ∈ R và f : T → R, g : T → R là cáchàm số ld−liên tục Khi đó,

i) Rb

a(f (τ ) + g(τ ))∇τ = Rabf (τ )∇τ +Rabg(τ )∇τ ;

i) NÕu T = R th×

Z b a

f (τ )∇τ =

Z b a

f (τ )dτ

ii) NÕu T lµ thang thêi gian sao cho mét ®iÓm t ∈ T lµ ®iÓm c« lËp th×

Z b a

P

k=hb+1

f (kh)h nÕu a > b

iv) Nếu T = hZ thì

Z b a

Các bước xây dựng ∆−tích phân Lebesgue tương tự như xây dựng

∇−tich phân Lebesgue (xem [4]) Trong trường hợp tổng quát chúng ta không

có mối quan hệ giữa ∇−tích phân và ∆−tích phân Trong trường hợp đặc biệthàm số dưới dấu tích phân là hàm chính quy ta có bổ đề sau:

Bổ đề 1.1.17 Giả sử f : T → R là hàm số chính quy trên T, lấy b ∈ Tk,

a ∈ kT, a < b Khi đó đẳng thức sau đúng

Z b a

f (τ−)∇τ =

Z b a

f (τ−)∇τ

Ta có điều phải chứng minh

Từ Định lý 2.33 trong tài liệu tham khảo [3] và Bổ đề 1.1.17 suy ra, nếu

p ∈ R thì ep(t, t0) là nghiệm của phương trình

x(t) = 1 +

Z t a

Với hàm số hk : T ì T → R; k ∈ N0 được xác định bởi

h0(t, s) = 1 và hk+1(t, s) =

Z t s

hk(τ, s)∆τ với k ∈ N0

Khi đó,hk(t, s) là hàm số liên tục theo t Do đó ta có

hk+1(t, s) =

Z t s

u(τ−)∇τ ∀ t ∈ Ta,kéo theo

u(t) 6 uaep(t, a) ∀ t ∈ Ta.Chứng minh Bằng cách thế liên tiếp, ta có

u(t) 6 ua+ p

Z t a

u(τ1−)∇τ1

6 ua+ p

Z t a



ua + p

Z τ1− a

u(τ2−)∇τ2∇τ1

= ua + uaph1(t, a) + p2

Z t a

Z τ1− a

u(τ2−)∇τ2∇τ1.Vì u(t) là một hàm số có tính chính quy nên tồn tại một hằng số dương K∗ saocho |u(t)| 6 K∗ ∀ t ∈ [a, T ] Tiếp tục quá trình ta có

Z τ2− a

ã ã ã

Z τn− a

Do đó ta có điều phải chứng minh.

1.2 Quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian

Thông thường người ta định nghĩa quá trình ngẫu nhiên với tập chỉ số làtập con nào đó của tập số thựcR Thang thời gian là một tập con đóng của tập sốthực R Chính vì vậy, việc định nghĩa quá trình ngẫu nhiên trên thang thời giancũng được định nghĩa theo cách thông thường

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số kết quả về quá trình ngẫu nhiêntrên thang thời gian Các kết quả được trình bày trong mục này được dựa trên cáctài liệu [17, 23, 32, 37]

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử (Ω, F) là không gian đo Cho (Ft)t∈Ta là họ σ−trườngcon của F Khi đó, (Ft)t∈Ta được gọi là không giảm, nếu

Xét không gian xác suất đầy đủ(Ω, F , P)với bộ lọc(Ft)t∈Ta thỏa mãn các

điều kiện thông thường (Fa chứa các tập có độ đo 0,Ftliên tục phảiFt = T

s>t

Fs),

B(R)là σ−trường các tập con Borel của tập hợp số thực R

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử T là một thang thời gian Khi đó, ánh xạ

X :T ì Ω → R(t, ω) 7→ Xt(ω),

được gọi là một quá trình ngẫu nhiên nếu thỏa mãn:

1) Với mỗi t ∈ T thì Xt : Ω → R là ánh xạ F−đo được

2) Với mỗi ω ∈ Ω thì X.(ω) : T → R là hàm số xác định trên T

Xã(ω) được gọi là quỹ đạo của quá trình ngẫu nhiên X với mỗi ω

Định nghĩa 1.2.3 Giải sử X = (Xt)t∈T là một quá trình ngẫu nhiên trên T.Khi đó, X = (Xt)t∈T được gọi là:

1) Liên tục (rd−liên tục, ld−liên tục) nếu với mọi ω ∈ Ω thì X.(ω) là hàm sốliên tục (rd−liên tục, ld−liên tục)

2) (Ft)−phù hợp nếu với mỗi t thì Xt là Ft−đo được

3) Đo được nếu B(T) ì F−đo được

4) Cadlag nếu quỹ đạo của X liên tục phải và có giới hạn trái tại mọi điểm.5)Đo được dần nếu với mọi T ∈ Ta, (Xt)t∈[a,T ]là quá trình B([a, T ])ìFT−đo

được

Định nghĩa 1.2.4 Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, X : Ω → R là biếnngẫu nhiên và G là σ−trường con của F Khi đó, kỳ vọng có điều kiện của X

đối với σ−trường G là biến ngẫu nhiên Y thỏa mãn:

(i) Y là biến ngẫu nhiên G−đo được

(ii) Với mỗi A ∈ G, ta có

(ii) E|Xt| < ∞ với mọi t ∈ Ta;

(iii) Với mọi s, t ∈ Ta, s 6 t,

Định lý 1.2.8 (Bất đẳng thức Doob) Giả sử (Mt)t∈Ta là (Ft)−submartingale,không âm, liên tục phải với E|Mt|p < ∞, 1 < p < +∞ và T ∈ Ta Khi đó,

E

sup

a6t6T

Mtp

6

p

p − 1

p

EMTp

Ký hiệuL là tập tất cả các quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị thực (φt)t∈Ta

xác định trên Ta ì Ω với quỹ đạo liên tục trái trênTa và (Fρ(t))−phù hợp

Lấy P là σ−trường các tập con của Ta ì Ω sinh bởi các quá trình ngẫunhiên trên L Dễ dàng thấy rằng P được sinh bởi họ các tập {(s, t] ì F : s, t ∈

Ta, s < t, F ∈ Fs}

Định nghĩa 1.2.9 Mỗi phần tử của σ−trường P được gọi là một tập khả đoán.Một quá trình ngẫu nhiên φ được gọi là khả đoán nếu nó đo được đối vớiσ−trường P

Trong trường hợp tổng quát, một quá trình liên tục trái chưa chắc đã là quátrình khả đoán

Chú ý 1.2.10 i) Nếu T = N thì quá trình φt là khả đoán nếu φt là quá trình

i) Φ chứa tất cả các quá trình φ bị chặn và φ ∈ L;

ii) Mọi dãy đơn điệu {φn} ⊂ Φ sao cho lim

n→∞φn = φ là quá trình bị chặnthuộc Φ

Khi đó, Φ chứa tất cả các quá trình khả đoán

Định nghĩa 1.2.12 Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất với lọc là (Ft)t∈Ta.Khi đó, ánh xạ τ : Ω → Ta được gọi là thời điểm dừng (stopping time) đối với

họ σ−trường (Ft)t∈Ta nếu biến cố (τ 6 t) ∈ Ft, với mọi t ∈ Ta

Định nghĩa 1.2.13 Giả sử (Xt)t∈Ta, Xa = 0 là một quá trình (Ft)−phù hợp.Khi đó, (Xt)t∈Ta được gọi là martingale địa phương bình phương khả tíchnếu tồn tại một dãy thời điểm dừng {τn}, τn % ∞ sao cho (Xt∧τ n)t∈Ta là(Ft)−martingale bình phương khả tích

Định nghĩa 1.2.14 Giả sử (Xt)t∈Ta, Xa = 0 là một quá trình (Ft)−phù hợp.Khi đó, (Xt)t∈Ta được gọi là semimartingale nếu với mọi t ∈ Ta ta có

lim

k→∞E(ξYn k) = E(ξY )

Bổ đề 1.2.17 Giả sử (Yn)n∈N là dãy các biến ngẫu nhiên khả tích xác địnhtrên không gian xác suất (Ω, F, P) hội tụ yếu đến biến ngẫu nhiên khả tích Y,khi đó với mỗi σ−trường G ⊂ F, dãy các biến ngẫu nhiên (EYn|G)n∈N hội

tụ yếu đến biến ngẫu nhiên EY |G

Chứng minh Với bất kỳ biến ngẫu nhiên ξ bị chặn, xác định trên không gianxác suất (Ω, F, P) ta có

EξE(Yn|G) = EE{ξE(Yn|G)|G} = EE(ξ|G)E(Yn|G)

= EE{YnE(ξ|G)|G} = EYnE(ξ|G)

Mặt khác,

lim

n→∞EYnE(ξ|G) = EY E(ξ|G) = EξE(Y |G)

Điều đó kéo theo

lim

n→∞EξE(Yn|G) = EξE(Y |G)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Định nghĩa 1.2.18 Quá trình ngẫu nhiên X được gọi là thuộc lớp (DL) nếuvới mỗi T ∈ Ta thì {Xτ : τ là thời điểm dừng thỏa mãn a 6 τ 6 T } khảtích đều

1.3 Kết luận chương 1

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản

về giải tích tất định và quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian, nhằm phục vụcho việc trình bày các kết quả chính của Luận án ở các chương sau

Chương 2

Tích phân ngẫu nhiên trên

thang thời gian

Trong chương này, Mục 2.1, chúng tôi phát biểu và chứng minh định lýkhai triển Doob - Meyer đối với submartingale trên thang thời gian, đây là sự mởrộng các định lý khai triển Doob - Mayer đối với submartingale với thời gian rờirạc và liên tục Trong Mục 2.2, chúng tôi xây dựng tích phân ngẫu nhiên theomartingale bình phương khả tích, martingale địa phương bình phương khả tích và

mở rộng đối với semimartingale trên thang thời gian Kết quả là sự trình bày thốngnhất tích phân ngẫu nhiên theo nghĩa thông thường và phép biến đổi martingalevới thời gian rời rạc Mục 2.3 và 2.4, chúng tôi xây dựng công thức Itô đối với

bộ d−semimartingale trên thang thời gian và phát biểu bài toán martingale Cáckết quả chính trong chương này được viết dựa vào [9], một phần của [10] và [7]

2.1 Định lý khai triển Doob - Meyer

Định nghĩa 2.1.1 Giả sử A = (At)t∈Ta là một quá trình liên tục phải Khi đó,

A được gọi là quá trình tăng nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

i) Aa = 0 và A = (At)t∈Ta là quá trình (Ft)−phù hợp;

ii) Quỹ đạo của A là hàm số tăng theo t trên Ta hầu chắc chắn

Quá trình tăngA = (At)t∈Ta được gọi làkhả tíchnếuEAt < ∞, ∀ t ∈ Ta.Mệnh đề 2.1.2 Giả sử A là một quá trình tăng, khả tích và M là martingale

bị chặn Khi đó, với mọi t ∈ Ta ta có

EMtAt = E

Z t a

Mτ∇Aτ.Chứng minh Xét phân hoạch π(n) của đoạn [a, t]

n→∞

Z t a

Định nghĩa 2.1.3 Giả sử A = (At)t∈Ta là một quá trình tăng khả tích Khi đó,

A được gọi là tăng tự nhiên nếu với mọi martingale M bị chặn thì đẳng thứcsau thỏa mãn

˘EMtAt = E

Z t a

Mặt khác, As là Fs−−đo được với mọi giá trị s ∈ I1 ∩ (a, t], nên ta có

E(Ms − Ms−)(As− As−) = E E(Ms− Ms−)(As − As−)|Fs−



= E(As− As−)E{(Ms − Ms−)|Fs−} = 0

Do đó,

E

Z t a

(Mτ − Mτ−)∇Aτ = 0

Sử dụng Mệnh đề 2.1.2, suy ra

E

Z t a

Mτ−∇Aτ = E

Z t a

Mτ∇Aτ = EMtAt,nghĩa là A = (At)t∈Ta là quá trình tăng tự nhiên

2) Giả sử A = (At)t∈Ta là quá trình tăng tự nhiên, chúng ta cần chỉ ra rằng

At là Ft−−đo được với t ∈ Ta Với mỗi martingale Mt xác định trên Ta và

a 6 s < t, áp dụng (2.3) ta có

E

Z t s

Mτ−∇Aτ = E

Z t a

Mτ−∇Aτ − E

Z s a

Mτ−∇Aτ

= EMtAt − EMsAs.Theo tính chất của tích phân Lebesgue-Stieltjes, ta có

lim

σ(s)↑tE

Z t s

Mτ−∇Aτ = EMt−(At − At−)

Từ đó suy ra

EMt −(At − At−) = EMtAt − EMt −At−,hay

Khi đó, (Mτ)τ ∈Ta là (Fτ)−martingale Thay vào (2.6) ta được

E At − E[At | Ft−]
2 = E(Mt − Mt−)(At − E[At | Ft−]) = 0

Từ đó suy ra, At − E[At | Ft−] = 0 h.c.c

Ví dụ 2.1.5 Giả sử (At) là một quá trình tăng, khả tích trên thang thời gian T.Khi đó, ta có:

i) Nếu T = N thì (At) là quá trình tăng tự nhiên khi và chỉ khi (At) là dãytăng và Ft−1−đo được ∀ t = 1, 2,

ii) Nếu T = R thì mọi quá trình tăng khả tích, liên tục (At) là quá trình tăng

với Bi = (ti−1, ti−1+ δ] ∩ [a, T ] (2.7)

Khi đó, ta có dãy phân hoạch {ti} của đoạn[a, T ] thỏa mãn: nếu |ti+1− ti| > δ

thì ρ(ti+1) = ti Với mỗi phân hoạch Pδ của đoạn[a, T ], đặt

Sδ := E(αt1|Fa) + (E(αt2|Ft1) − αt1) + ã ã ã + (E(αtn|Ftn−1) − αtn−1) (2.8)

Định lý 2.1.6 Giả sử α = (αt) tăng tự nhiên và liên tục Khi đó,

lim

trong L1

Chứng minh Trước hết, giả sử Eα2

T < ∞ chúng ta chỉ ra Sδ hội tụ theo trungbình bậc hai về αT khi δ → 0 Ta có,

6 E

X

Ta thấy, αT supi{∆αi : ti+1−ti 6 δ} 6 α2T và Eα2

T < ∞ Hơn nữa, từ tính liêntục của (αt) trên tập compact [a, T ] kéo theo supi{∆αi : ti+1 − ti 6 δ} → 0với xác suất 1, khi δ → 0 Do đó, theo định lý hội tụ bị chặn của Lebesgue suy

ra rằng

E(Sδ − αT)2 −→ 0 khi δ → 0

Bây giờ chúng ta chứng minh cho trường hợp tổng quát Đặt

α(n)t := αt ∧ n, γt(n) := αt − α(n)t

Định lý 2.1.8 (Định lý khai triển Doob-Meyer) Giả sử X = (Xt)t∈Ta là martingale liên tục phải thuộc lớp (DL) Khi đó, tồn tại duy nhất một martin-gale M và một quá trình tăng tự nhiên A sao cho đẳng thức sau thỏa mãn

Bτ−∇Aτ − E

Z t a

Từ đó suy ra At = A0t h.c.c, với mọi t ∈ Ta

Tiếp theo, chúng ta chứng minh sự tồn tại M và A Từ tính duy nhấtchúng ta thấy rằng chỉ cần chứng minh tồn tại quá trình M và A trên đoạn

[a; b] với mỗi b ∈ Ta Không mất tính tổng quát, giả sử rằng Xa = 0 Xétdãy phân hoạch π(n) : a = t(n)0 < t(n)1 < ã ã ã < t(n)k

n = b của [a, b] thỏa mãnmax

i (ρ(t(n)i+1) − t(n)i ) 6 21n và π(n) ⊂ π(n+1) áp dụng định lý khai triển Doob Meyer đối với dãy submartingale X(n) = (Xtj)tj∈π(n) ta có

Lấy Π = Wn∈Nπ(n) và a 6 s 6 t 6 b với s, t ∈ Π cố định Khi đó,

At − As = Xt− Xs − [E(Mb|Ft) − E(Mb|Fs)]

= Xt− Xs −weak- lim

k→∞

hE(Mb(nk)|Ft) − E(M(nk )

Z b a

Từ tính khả đoán của A(m k ) kéo theo

.Nên

E

Z b a

ξs−∇As = lim

n→∞E

Z b a

ξsπ(n)∇As = EξbAb

Do đó,

E

Z b a

ξs−∇As = EξbAb,nghĩa là A = (At) là quá trình tăng tự nhiên

LấyM ∈ M2 VìM2 là submartingale, nên tồn tại duy nhất một quá trìnhtăng tự nhiên hM i = (hM it)t∈Ta sao cho Mt2 − hM it là một martingale Quátrình tăng tự nhiênhM i được gọi là đặc trưng của martingale M

Mệnh đề 2.1.9 Với T ∈ Ta bất kỳ, lấy (ti) xác định bởi (2.7) Giả sử rằng,

đặc trưng của martingale M liên tục Khi đó,

E{(Mt i − Mti−1)2|Fti−1}

Chứng minh Từ giả thiết ta có hMit là quá trình tăng tự nhiên liên tục

áp dụng Định lý 2.1.6 suy ra

hM iT = lim

δ→0Sδ,trong đó

E{(Mt i − Mti−1)2|Fti−1}

Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2.1.10 i) Nếu T = N, dãy (Mn)n∈N là dãy (Fn)−martingale bìnhphương khả tích thì

hM in =

n

X

i=1

E(Mi2|Fi−1) − Mi−12

ii) Giả sử T = R Khi đó, ta có:

1 Nếu (Wt)t>0 là quá trình chuyển động Brown với W0 = 0thì hW it = t

2 Nếu (Nt)t>0 là quá trình Poisson với tham số λ thì hNit = λt

3 Nếu Mt là martingale liên tục, bình phương khả tích thì