Nhị phân mũ của phương trình động lực trên thang thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNKHOA TOÁN CƠ TIN TRẦN THỊ LOAN NHỊ PHÂN MŨ CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành:

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN CƠ TIN

TRẦN THỊ LOAN

NHỊ PHÂN MŨ CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC

TRÊN THANG THỜI GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số : 60 46 01 02

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS LÊ HUY TIỄN

Hà Nội - Năm 2014

Mục lục

Lời cảm ơn ii

Lời nói đầu iii

1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Các khái niệm cơ bản về thang thời gian 1

1.2 Nhị phân mũ của phương trình vi phân và sai phân 9

1.3 Nhị phân mũ trên thang thời gian 9

1.4 Bổ đề Gronwall 17

2 Nhị phân mũ trên thang thời gian 20 2.1 Nhị phân mũ trên thang thời gian rời rạc 20

2.2 Định lý chính 28

Kết luận 35

Lời cảm ơn

Để hoàn thành được chương trình đào tạo và hoàn thiện luận văn này, trongthời gian vừa qua tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ quí báu của gia đình,thầy cô và bạn bè Vì vậy, nhân dịp này, tôi muốn được gửi lời cảm ơn tới mọingười

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, thầy

đã rất nhiệt tình hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong quá trình hoàn thành luận văn.Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả các thầy cô trong khoa, nhữngngười đã trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy tôi trong quá trình học caohọc

Tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán-Cơ-Tin học, phòng Sau Đại Họctrường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiệncác thủ tục bảo vệ luận văn

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn cha mẹ tôi, những người luôn yêu thương và ủng

hộ tôi vô điều kiện

Lời nói đầu

Nhị phân mũ của phương trình tuyến tính không ôtônôm là khái niệm suyrộng của tính hyperbolic của phương trình tuyến tính ôtônôm Nhị phân mũđóng vai trò quan trọng trong nhiều bài toán của lý thuyết các hệ động lựckhông ôtônôm, chẳng hạn bài toán nhiễu

Nhị phân mũ của phương trình vi phân có thể tìm thấy trong sách [3,5] Nhịphân mũ của phương trình sai phân có trong chẳng hạn [4] và [6, mục 7.6] Cảhai khái niệm trên đều được thống nhất trong Phép tính trên thang thời gian(xem trong [7,12,13]) Phép toán này cho phép đồng thời nghiên cứu phươngtrình vi phân, phương trình sai phân như các trường hợp riêng của phương trìnhđộng lực trên thang thời gian (xem [2])

ta thay thế giá trị q bởi hàm q∗(t) biến đổi chậm theo thời gian Khi đó phươngtrình x. = A(t, q∗(t))x cũng có nhị phân mũ Đây chính là điều kiện đủ đặt lên

hệ số toán tử để phương trình động lực có nhị phân mũ

Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi sử dụng các kỹ thuật cơ bản của phươngtrình động lực trên thang thời gian, tính bị chặn của hệ số toán tử, và xây dựng

hệ tuyến tính phụ thuộc tham số trên thang thời gian có nhị phân mũ Nội dungchính của luận văn dựa trên bài báo [C Poetzsche, Exponential Dichotomies

of Linear Dynamic Equations on Measure Chains under Slowly Varying cients, J Math Anal Appl., 289 (2004), 317–335.]

Coeffi-Luận văn được chia thành hai chương

Chương 1: trình bày các khái niệm cơ bản trên thang thời gian, nhị phân mũ

trên không gian hữu hạn chiều, nhị phân mũ trên thang thời gian và bất đẳngthức Gronwall.

Chương 2: chứng minh hệ tuyến tính nhiễu có nhị phân mũ với giả thiết hệtuyến tính ban đầu phụ thuộc tham số có nhị phân mũ Đây chính là mục đíchchính của luận văn

Do thời gian và năng lực có hạn, có thể trong luận văn còn những sai sót.Tác giả mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy, các cô và các bạn đồngnghiệp

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Trần Thị Loan

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, luận văn sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản trên thangthời gian, nhị phân mũ trong không gian hữu hạn chiều, bổ đề Gronwall Qua

đó đưa ra khái niệm nhị phân mũ trên thang thời gian

1.1 Các khái niệm cơ bản về thang thời gian

Gọi X là không gian Banach thực hoặc phức với chuẩn k.k; L(X) là khônggian tuyến tính các tự đồng cấu liên tục trên X với chuẩn xác định bởi

Tập số thực R, tập số nguyên Z, tập số tự nhiên N và tập số nguyên dương

N0, là các thang thời gian Tập các số hữu tỷ, các số vô tỷ, khoảng mở (0,1) không là thang thời gian

Ta sẽ định nghĩa đạo hàm f∆ của một hàm f xác định trên T sao cho

(i) f∆ =f0 là đạo hàm thông thường nếu T = R.

(ii) f∆= ∆f nếu T = Z.

Các toán tử nhảy tiến và toán tử nhảy lùi trên thang thời gian mô phỏngcách thời gian biến thiên trên thang thời gian

Định nghĩa 1.2 Giả sử T là một thang thời gian Với t ∈T toán tử nhảy tiến

Những điểm vừa trù mật phải vừa trù mật trái gọi là trù mật

Định nghĩa 1.3 Giả sử T có một điểm cô lập trái lớn nhất m, khi đó tập

Với các số thực h 0 , h > 0 và thang thời gian T thì Shh

0(T) là tập hợp tất cảcác thang thời gian rời rạc (eT, eµ) với eT ⊆ T thỏa mãn (1.1) Ngoài ra ta nói

đó là một (h0, h) - thang thời gian (T, ≤, µ) nếu với mỗi điểm t0 ∈ T thì tồntại tk, t−k ∈ T, k ∈N thỏa mãn {tk}k∈Z ∈ S h

h 0(T). Với bất kì thang thời gian màkhông bị chặn trên và dưới, hàm hạt graininess µ xác định, gọi là một (h0, h) -thang thời gian với h0>0 và h ≥ h0+supt∈Tµ(t).

Ví dụ 1.2 (i) R là một (h 0 , h) - thang thời gian với 0< h 0 ≤ h.

(ii) Thang thời gian rời rạc hZ, h >0 có σ(t) =t+h, µ(t) =h trên hZ và hZ làmột (h0, h) - thang thời gian với h ≤ h0 ≤ h.

Định nghĩa 1.6 Giả sử hàm f : T→R khả vi tại t ∈Tκ Khi đó với mọi ε >0,tồn tại một lân cận U của t sao cho

| f(σ(t))− f(s)]− f∆(t)[σ(t)− s]| ≤ ε|σ(t)− s|, s ∈ U. (1.2)Khi đó f∆(t) là đạo hàm của hàm f tại t Kí hiệu là f∆(t)

• Cho T = R thì f∆(t) = df(t)

dt .

• Cho T = Z thì f∆(t) =f(t+ 1)− f(t).

Ví dụ 1.3 (i) Giả sử f : T →R xác định bởi f(t) = α, t ∈ T, trong đó α ∈ R

là hằng số, khi đó f∆= 0 Bởi vì với mọi ε >0,

| f(σ(t))− f(s)]−0.[σ(t)− s] =|α − α|

= 0≤ ε|σ(t)− s|, s ∈T.(ii) Giả sử f : T→R xác định bởi f(t) =t, t ∈ T, thì f∆= 1 Bởi vì với ∀ε >0,

| f(σ(t))− f(s)]−1.[σ(t)− s] =|σ(t)− s −(σ(t)− s)|

= 0≤ ε|σ(t)− s|, s ∈T.Định nghĩa 1.7 Ánh xạ φ : T −→ X được gọi là khả vi (tại t0 ∈ T), nếu tồntại duy nhất đạo hàm φ∆(t0) ∈ X, sao cho với mọi ε >0, khi đó

Định lý 1.1 Giả sử f : T→R là một hàm và t ∈Tκ. Khi đó,

(i) Nếu f khả vi tại t, thì f liên tục tại t

(ii) Nếu f liên tục tại t và t là điểm cô lập phải, thì f khả vi tại t với

Định lý 1.2 Giả sử f, g: T→R là các hàm khả vi tại t ∈Tκ. Khi đó

(i) Tổng các hàm f+g : T→R cũng là hàm khả vi tại t với

(f +g)∆(t) =f∆(t) +g∆(t).(ii) Với bất kì hằng số α, αf : T →R khả vi tại t với

(αf)∆(t) =αf∆(t).(iii) Tích của các hàm f g: T→R cũng là hàm khả vi tại t với

(f g)∆(t) =f∆(t)g(t) +f(σ(t))g∆(t) = f(t)g∆(t) +f∆(t)g(σ(t)).

(iv) Giả sử f(t)f(σ(t))6= 0, thì 1

f khả vi tại t với

 1f

∆

= f

∆(t)g(t)− f(t)g∆(t)

f(t)f(σ(t)) .

Định nghĩa 1.8 Hàm f : T→R gọi là rd - liên tục nếu thỏa mãn

(i) Hàm f liên tục tại điểm trù mật phải t ∈ T.

(ii) Tồn tại hữu hạn lims→t− f(s) tại điểm trù mật phải t ∈T.

Tập hợp các hàm rd - liên tục kí hiệu là Crd

Chú ý 1.1 (i) Giả sử f : T→R Khi đó

• Nếu hàm f liên tục, thì hàm f là rd - liên tục

• Toán tử nhảy tiến σ là rd - liên tục

(ii) Trên thang thời gian T = R, rd - liên tục nghĩa là liên tục, trên T =hZ, h >0

do vậy mọi hàm là rd - liên tục

Định nghĩa 1.9 Hàm p : T → R gọi là regressive nếu 1 + µ(t)p(t) 6= 0 với

f(t)∆t=

Z b a

f(t)dt.

(ii) Giả sử T = Z thì

Z b a

−Pb−1 t=a f(t) nếu a > b.

Định nghĩa 1.10 Giả sử p ∈ R khi đó, ta định nghĩa hàm số mũ trên thangthời gian như sau

ep(t, s) = exp

Z t s

ξµ(τ )(p(τ))∆τ

, t, s ∈T. (1.5)

Ta có ea⊕b(t, s) =ea(t, s)eb(t, s), t, s ∈T (xem [7]).

τ =s(1 +p(τ)). Hơn nữa giả sử T =hZ, h >0 và p

là hằng số nên

ep(t, s) = (1 +hp)(t−s)/h.Định lý 1.5 Giả sử các hàm p, q ∈ R Khi đó ta có các công thức

(v) ep(t, s)

eq(t, s) =ep q(t, s).

Ngoài ra ta có một số kí hiệu sau

N(T) := T−1(0) là không gian nhân

R(T) := TX là khoảng biến thiên của T

(1 +µ(t)b(t)), t ∈T.

Ta kí hiệu bac:=inft∈Ta(t), dae:=supt∈Ta(t)

Định nghĩa 1.11 Giả sử a, b: T→R, a / bkhi và chỉ khi 0< bb − ac.

Khi đó a ∈ CrdR+(T,R) gọi là rời rạc bị chặn dưới nếu Γ(a) := 1 +b µac >0.Trong phép cộng a gọi là rời rạc bị chặn trên nếu Γ(a) := 1 +b µac < ∞.Với a ∈ CrdR +(Tκ ,R) ta có bất đẳng thức Becnuli

ea(t, τ)≥1 +

Z t τ

a t, τ ∈T.Với hằng số a(t) ≡ α ∈ Rµ(t), t ∈Tκ khi đó

ea(t, τ) ≥1 +αµ(t, τ), t, τ ∈T.Với h >0, ta định nghĩa số phức Hilger, trục số thực Hilger như sau

Ch={z ∈ C : z 6= −1

h }.

Rh={z ∈ R: z > −1

h }.

Ta định nghĩa phép biến đổi trụ

Định nghĩa 1.12 ξh : Ch → Zh xác định bởi ξh(z) = log(1 +zh)

h , h >0 gọi làphép biến đổi trụ

Khi h= 0, ξ0(z) = z, ∀z ∈ C.

Nghịch đảo của phép biến đổi trụ ξ−1 : Zh →Ch xác định bởi ξh−1 = e

zh −1

h .Trong đó Zh ={z ∈ C : −Π

Ea−(h0, h) := inf

h 0 ≤µ(t,s)≤h ea(t, s), Eb+(h0, h) := sup

h 0 ≤µ(t,s)≤h

eb(t, s)

thỏa mãn

(i) Giả sử 0 / a, khi đó với C ∈ R tồn tại các số thực 0< h 0 ≤ h, dµe ≤ h thỏamãn C ≤ Ea−(h0, h)

(ii) Với b bị chặn trên thì Eb+(h0, h) < ∞.

Chứng minh Xem [13, trang 115]

Bổ đề 1.2 Giả sử eT = {tk}k∈T là thang thời gian rời rạc với eT ⊆ T và ec, d ∈e

CrdR +(eT,R). Khi đó, c0, d0 : T→R,

c0(t) := ϑµ(t)

supln(1 +µ(tk+1, tk)ec(tk))

µ(tk+1, tk)



d0(t) := ϑµ(t)

infln(1 +µ(tk+1, tk) ed(tk))

µ(tk+1, tk)



là quay ngược dương và thỏa mãn

ee

e

c(tk, tl) ≤ e c 0(tk, tl), ee

e

d(tk, tl) ≤ ed0(tk, tl) (1.6)trong đó ee

1.2 Nhị phân mũ của phương trình vi phân và

sai phân

Xét phương trình

˙

trong đó x ∈Rd, A ∈ C(R,Rd), t ∈R và X(t, s) là nghiệm của (1.7)

Định nghĩa 1.13 Hệ (1.7) gọi là có nhị phân mũ α, K trên R nếu tồn tại phépchiếu P(t), t ∈R thỏa mãn

P(t)X(t, s) =X(t, s)P(s), t, s ∈ R

|X(t, s)P(s)| ≤ Ke−α(t−s), t ≥ s

|X(t, s)Q(s)| ≤ Keα(t−s), t ≤ s, Q(t) =I − P(t),trong đó α, K là các hằng số, α >0, K ≥1.

Xét phương trình

x n+1 =A n x n , x ∈Rn, n ∈Z. (1.8)Định nghĩa 1.14 Phương trình (1.8) được gọi là có nhị phân mũ nếu tồn tại

N ≥1, λ ≥0, họ phép chiếuPn thỏa mãn

sup

n

kPnk <+∞, Rn =ImPn⊕ Im(IX − Pn)sao cho

kΦn,mPmxk ≤ N λnkxk, n ≥ m,

Φn,m khả nghịch trênIm(IX − Pn),

kΦ−1n,mPmxk ≤ N λ−nkxk, n ≤ m,trong đó, xn = Φn,mxm là nghiệm của (1.8)

1.3 Nhị phân mũ trên thang thời gian

Trong phần này, chúng ta sẽ giới thiệu khái niệm nhị phân mũ trên thangthời gian, tính bị chặn của toán tử dịch chuyển Với phương trình động lực trên

thang thời gian chúng ta giả sử hệ số toán tử A không regressive (xem [2], [7]).Xét phương trình động lực tuyến tính

kΦA(t, τ)k ≤ Ced(t, τ), τ ≤ t.

Dễ thấy ΦA có các tính chất sau

ΦA(σ(t), t) = IX +µ(t)A(t), t ∈T. (1.10)

ΦA(t, τ) = ΦA(t, s)ΦA(s, τ), τ ≤ s ≤ t. (1.11)Chú ý 1.2 (i) Với điều kiện c bị chặn trên thì ta có thể chỉ ra rằng mọi hệ(1.9) có c+ - tăng bị chặn ( xem [1])

(ii) Trên thang thời gian rời rạc thì hệ (1.9) có c+ - tăng bị chặn với một số cnào đó nếu và chỉ nếu A bị chặn

Định nghĩa 1.15 Ánh xạ P : T→ L(X) gọi là phép chiếu bất biến của phươngtrình (1.9) nếu thỏa mãn

P2(t) =P(t), P(t)ΦA(t, τ) = ΦA(t, τ)P(t), τ ≤ t; t, τ ∈T.

Ánh xạ P thỏa mãn điều kiện chính quy nếu ánh xạ

[IX +µ(t)A(t)]|N (P (t)):N(P(t))→ N(P(σ(t)))

là song ánh Khi đó, ánh xạ

ΦA(t, τ) := ΦA(t, τ)|N (P (τ )) :N(P(τ))→(N(P(t)))

là một đẳng cấu

Ta định nghĩa toán tử dịch chuyển mở rộng (xem [12]) như sau

Định nghĩa 1.16 Ánh xạ ΦA(t, s) :KerP(s) −→ KerP(t) được xác định bởi

ΦA(t, s) :=

(

ΦA(s, t)|KerP (t)−1, t ≤ s

ΦA(t, s)|KerP (s), s ≤ tvới (t, s)∈T×T. Khi đó, ΦA(t, s) gọi là toán tử dịch chuyển mở rộng

Định nghĩa 1.17 Hệ tuyến tính (1.9) có nhị phân mũ với a, b, K1, K2 nếu cómột phép chiếu chính quy P : T→ L(X) thỏa mãn điều kiện

kΦA(t, s)P(s)k6K 1 e a(t, s), s ≤ t, s, t ∈T

kΦA(t, s)[IX − P(s)]k6K2eb(t, s), t ≤ s, s, t ∈T,với K1, K2 > 1 là các số thực và a, b ∈ CrdR +(T,R), a Cb

Ví dụ 1.4 Giả sử α, β, h ≥0 là những số thực với α < β Trên thang thời gianthuần nhất với µ(t)≡ h và A(t) ≡ t trên T ta có

(i) Trong trường hợp h = 0, phương trình (1.9) có nhị phân mũ với α, β, nếuphổ σ(A)⊆C được tách rời khỏi dải dọc

{λ ∈ C :α ≤Rλ ≤ β}

trong mặt phẳng phức

(2) Tương tự, trong trường hợp h > 0 phương trình (1.9) có nhị phân mũ với

α, β nếu phổ σ(IX +hA) không giao với hình khuyên

{λ ∈C : α ≤ |λ| ≤ β},

và phép chiếu bất biến được đưa ra bởi phổ {λ ∈C : |λ| ≤ α}.

Chú ý 1.3 Trong định nghĩa nhị phân mũ các hàm tăng trưởng a, bkhông đượcgiả sử là các hằng số Với các phương trình vi phân thường điều này đã đượcnghiên cứu trong [10] Một điểm nữa cần chú ý trong nhị phân mũ là chúng takhông đòi hỏi điều kiện hyperbolic như là a /0/ b Do vậy thực chất khái niệmnhị phân mũ đang xét ở đây là khái niệm nhị phân mũ giả hyperbolic ( xem [6,trang 229, định nghĩa 7.6.4], [9]).

ΦA(t, σ(s))[B(s)− A(s)]ΦB(s, τ)∆s, τ ≤ t.Suy ra

ΦB(t, τ)−ΦA(t, τ) =

Z t τ

ΦA(t, σ(s))[B(s)− A(s)]ΦB(s, τ)∆s, τ ≤ t.

Do vậy

kΦB(t, τ)−ΦA(t, τ)k ≤

Z t τ

kΦA(t, σ(s))kk[B(s)− A(s)]kkΦB(s, τ)k∆s, τ ≤ t

≤ C

Z t τ

ec(t, σ(s))ε(s)kΦB(s, τ)k∆s, τ ≤ t. (do (1.13), (1.14))

≤ C2

Z t τ

ε(s)ec(t, σ(s))ec+Cε(s, τ)∆s, τ ≤ t. (do (1.15))

=Cec(t, τ)

Z t τ

ΦA(t, σ(s))[B(s)− A(s)]ΦB(s, τ)∆s, τ ≤ t.

Hay

ΦB(t, τ)−ΦA(t, τ) =

Z t τ

ΦA(t, σ(s))[B(s)− A(s)]ΦB(s, τ)∆s, τ ≤ t.

Suy ra

kΦB(t, τ)−ΦA(t, τ)k ≤

Z t τ

kΦA(t, σ(s))kkB(s)− A(s)kkΦB(s, τ)k∆s, τ ≤ t

≤ C1C2

Z t τ

ec(t, σ(s))kB(s)− A(s)kec(s, τ)∆s, τ ≤ t

=C1C2ec(t, τ)

Z t τ

Chứng minh Với phương trình tuyến tính(1.9) và phép chiếu P, hàm Greenđược xác định như sau

rs,x0 = [B(t)− A(t)]GB(t, s)x0.

v s,x 0 : T→ X xác định bởi

vs,x0 = [GB(t, s)− GA(t, s)]x0.Theo định nghĩa hàm Green thì (c, d) tựa bị chặn Khi đó

với số thực  ≥0 sao cho C

e a,e b(ec, de)<1

Γ+(ec) ≤Γ+( ed).

Cố định s ∈ T và x0 ∈ X Xét phương trình động lực tuyến tính không thuầnnhất

x∆=Be(t)x+ [A −e Be]x+δ(t, ρ−(s))x0 (1.18)với hàm δ : eT×Te →T xác định như sau

k Be(t)− Ae(t)k ≤ , C

e a,e b(ec, de) <1nên phương trình (1.18) có đúng một nghiệm λ∗s,x0 ∈ B±

(e

e

c(t, s) vớis ≤ t e

e

d(t, s) với t ≤ s.

Phép chiếu bất biến Qe: eT→ L(X) thỏa mãn

k Qe(t)k ≤ Ce a,e b(ec, de)Γ+( ed)

1− εC

e a,e b(ec, de) , t ∈ Te.

Do ec, d ∈ Ce rdR+(eT,R) và ec / denên theo hệ quả của nhị phân mũ thì phươngtrình (1.17) có nhị phân mũec, d, Le 1, L2 trong đó

1− εC

e a,e b(ec, de) ee c(t, s)k Qe(s)xk s ≤ t, x ∈ X ,

e a,e b(ec, de)Γ+( ed)ed e(t, s)k[I − Qe(s)]xk s ≤ t, x ∈ X ,

w(τ)u(τ)dτ. (1.19)

Khi đó

u(t)≤ v(t) +

Z t p

w(τ)v(τ) exp

Z t p

w(r)dr



với mọi t ∈[p, q]

Chứng minh Xét hàm y(t) :=Rptw(r)u(r)dr, t ∈[p, q] Khi đó y(p) = 0 và

y0(t) =w(t)u(t) ≤ w(t)v(t) +w(t)

Z q p

w(r)

dr.

Lấy tích phân trên đoạn [p, t],

y(t) exp



−

Z t p

w(r)dr



≤

Z t p

v(τ)w(τ) exp



−

Z τ p

w(r)

dτ.

Suy ra

y(t)≤

Z t p

v(τ)w(τ) exp



−

Z t τ

w(τ)dτ

+

Z t p

exp

Z t τ

w(r)dr



v0(τ)dτ (1.21)với mọi t ∈[p, q]

Z t τ

w(r)dr



q p

+

Z t p

exp

Z t τ

w(r)dr

+

Z t p

exp

Z t τ

w(r)dr



v0(τ)dτ

dτ

=v(p) exp

Z t p

w(τ)dτ

+

Z t p

exp

Z t τ

x4 =B(t)x với điều kiện hệ đó đủ gần phương trình x4 =A(t, q)x với tham số

q biến thiên chậm

2.1 Nhị phân mũ trên thang thời gian rời rạc

Bổ đề 2.1 Giả sử K1, K2, M1, M2 ≥1, (eT, ≤,eµ) là một thang thời gian rời rạcvới eT ={tk}k∈Z, các hàmea,eb ∈ CrdR +(eT,R), ea /eb, một dãy Ab: Z→ L(X) và

Khi đó, hệ tuyến tính

x4 =Ae(t)x, Ae(tk) := 1

e

µ(tk)(Ab(k)− IX) vớik ∈Z (2.6)trên eT có nhị phân mũ với ea,eb, các hằng số M 1 K 1 , M 2 K 2 và phép chiếu bất biến

e

P : eT→ L(X), Pe(tk) :=Pb(k).Chứng minh Trước tiên ta chứng minh Pe : eT → L(X), Pe(tk) :=Pb(k) là phépchiếu bất biến của hệ tuyến tính (2.6)

Vì Ae(tk) := 1

e

µ(tk)(Ab(k)− IX) vớik ∈Z nên

IX +eµ(tk)Ae(tk) :=Ab(k) (2.7)Giả thiết cho Pb(k+ 1)Ab(k) = Ab(k)Pb(k) mà Pe(tk) := Pb(k) dẫn đến

b

P(tk+1)[IX +µe(tk)Ae(tk)] = [IX +µe(tk)Ae(tk)]Pb(tk).Suy ra

Tiếp theo ta cần chứng minh kΦ

q biến thiên chậm

2.1 Nhị phân mũ thang thời gian. .. IX) vớik ∈Z (2.6)trên eT có nhị phân mũ với ea,eb, số M K , M K 2... ≥1, (eT, ≤,eµ) thang thời gian rời rạcvới eT ={tk}k∈Z,