Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C

PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ TRONG MẠCH NỐI TIẾP R,L,CBài toán 1: Mạch có R thay đổi Cho mạch điện xoay chiều RLC không phân nhánh trong đó R có thể thay đổi được R còn được gọi là

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG MẠCH ĐIỆN KHÔNG PHÂN NHÁNH R,L,C

Tác giả: Đào Thị Loan

Giáo viên trường : THPT Yên Lạc

Đối tượng bồi dưỡng : Học sinh lớp 12

Số tiết dự kiến: 12 tiết

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

LỜI NÓI ĐẦU

Theo chương trình cải cách giáo dục thì từ năm học 2007 – 2008 thì bộ môn vật lí đãchuyển hình thức từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm Lượng kiến thức trong mỗi bài thi rất lớngần như bao quát toàn bộ chương trình mà thời gian thi cũng ít hơn khi các em thi tự luận vìvậy đòi hỏi các em phải có cách tư duy làm bài nhanh nhưng đòi hỏi phải chính xác Phần điệnxoay chiều là phần rất quan trọng trong bố cục đề thi vì vậy tôi đã viết chuyên đề “ Một số bàitoán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C” để đưa ra cho các em một số dạng bàiđặc biệt giúp các em nhận diện và có cách giải nhanh nhất

PHẦN 1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT MẠCH R – L – C KHÔNG PHÂN NHÁNH

1 Mạch R – L – C không phân nhánh:

Mắc vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u = U0 cos(  t +  ) gồm một điện trởu

thuần R, cuộn dây có độ tự cảm L, điện trở trong r và một tụ điện có điện dung C ta có :

*) Biểu thức cường độ dòng điện : i = I0 cos(  t +  ) i (A) Với I0 là cường độ dòng điện cực đại, và  lµ tần số góc, ilà pha ban đầu của dòng điện

- Biểu thức hiệu điện thế : u = U0 cos(  t +  ) u (V) Với U0 là hiệu điện thế cực đại, ulà pha ban đầu

*) Công suất tiêu thụ của mạch:

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

+ Nếu cuộn dây thuần cảm: P = I2 R = UI cos

+ Nếu cuộn dây có điện trở trong r : P = I2 (R+ r); PR= I2R; Pd= I2r

VD: Nếu trong mạch không có phần tử nào ta bỏ phần tử đó trong công thức tổng quát

* Mạch có điện trở thuần mắc nối tiếp với tụ điện R – C:

PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ TRONG MẠCH NỐI TIẾP R,L,C

Bài toán 1: Mạch có R thay đổi

Cho mạch điện xoay chiều RLC không phân nhánh trong đó R có thể thay đổi được (R còn được gọi là biến trở) Các giá trị khác L; C; ; U là các hằng số Tìm giá trị của R để :

1 Điện áp hiệu dụng hai đầu R đạt cực đại

2 Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại (cuộn dây thuần cảm)

3.Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại (cuộn dây có điện trở trong r); Pmach cực đại

* Hướng dẫn giải:

Nguyên tắc chung: Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất phát từ công

thức tổng quát của chúng, thực hiện các phép biến đổi theo quy tắc nếu tử số và mẫu số đều là đại lượng biến thiên thì chỉ để một biểu thức thay đổi theo đại lượng thay đổi

Bổ đề :

• Bất đẳng thức Cosi : Cho hai số không âm a, b khi đó a b 2 ab

Nên ( a b  )min  2 ab, Dấu bằng xảy ra khi a = b

• Hàm số bậc hai yax2bx c , với a > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

2 min

2 Công suất tỏa nhiệt trên R:

Khảo sát bài toán công suất trên R của mạch gồm R, L, C không phân nhánh

*) Nếu trong mạch khuyết phần tử nào ta bỏ phần tử đó trong công thức (1.4)

+ Mạch chỉ có R – C mắc nối tiếp Có hai giá trị của R khi thay đổi cho cùng một công suất thì

6.Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại (cuộn dây có điện trở trong r)

Trong mạch điện RLC mà cuộn dây có thêm điện trở hoạt động r thì ta có thể tìm công suất mạch cực đại và công suất tỏa nhiệt trên R cực đại

Trường hợp 1: Công suất tỏa nhiệt P trên toàn mạch cực đại:

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

2 2 2 2 2

Dấu bằng xảy ra khi R = R + rM Z L Z C  R = Z -Z - rL C (1.12)

+ Hiệu điện thế 2 đầu của điện trở thuần khi đó

(1.13)

*) Nếu r Z L Z C  RM   r ZL  ZC ta có bảng biến thiên

Nếu ZL  Zc  r thì ta lấy R = 0 và công suất khi đó

Trường hợp 2: Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R, (P R ) cực đại:

Cho mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L và một

tụ điện có điện dung C Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u U c  0 os( )  t

1 Thay đổi R ta thấy hiệu điện thế trên hai đầu của điện trở thuần R và tụ điện (R mắc liên tiếpvới C) có giá trị không đổi Tính URC và tần số cộng hưởng trong mạch

2 Thay đổi R ta thấy điện áp giữa hai đầu của URL vuông góc với hai đầu của đoạn mạch Tính

R

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

(1.18)

Bài toán 3: Mạch R – L – C không phân nhánh gồm điện trở thuần R, tụ điện C và cuộn dây

thuần cảm có độ tự cảm L có thể thay đổi được Mắc vào hai đầu mạch một điện áp xoay chiều

+ UR =URmax; UC =UCmax ; URC = URcmax

+ Hệ số công suất cos=1 ; u,i cùng pha.

2 Xác định L để ULmax

3 Xác định L để URL cực đại (R mắc liên tiếp với L)

4 Khi thay đổi L ta thấy với L = L1 và L = L2 thì UL có giá trị không đổi thiết lập công thức giữa L1 ; L2 với L sao cho UL cực đại

5 Khi thay đổi L ta thấy với L = L1 và L = L2 thì ta thấy P1 = P2 Xác định L để mạch cộng hưởng

1 Ta thấy khi xác định cực trị của các đại lượng I; P; UR; URC; UC; cos thì ta nhận thấy độ tựcảm L chỉ xuất hiện ở mẫu số ( có đồng thời cả ZL và ZC) thì khi đó để các đại lượng đạt cực đại thì

2 2

1 2

4

C C

L

C C

Vậy khi L thay đổi UL đạt cực đại thì U               RC               U

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

Ta thấy URL cực đại khi Y = Ymin

Mặt khác ta khảo sát hàm số Y theo ZL ta được : Y =

*) Từ công thức (3.8) ta thấy ZL > ZC khi đó mạch có tính cảm kháng

*) Khi URL đạt giá trị cực đại thì ta có UL2  U UL C  UR2  0 (3.9)

`

*) Khi URL đạt cực đại ax 2 2

2 R4

RLM

U U



4 Ta có theo giả thiết

2 2

1 2

1 2

L L L

L L



 (3.11)

Với L sao cho UL = ULmax

5 Khi L = L 1 và L = L 2 ta thấy công suất P1 = P2 ta có:

Từ công thức (3.12) thì tan 1 -tan2  1  2 (3.14)

Hệ số công suất trong hai trường hợp đó bằng nhau c os 1  c os 2

(3.12)

PHẦN 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VÍ DỤ:

Ví dụ 1: (ĐH – 2009) Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn

mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với tụ điện Dung kháng của tụ điện là 100Ω Khi điều chỉnh

R thì tại hai giá trị R1 và R2 công suất tiêu thụ của đoạn mạch như nhau Biết điện áp hiệu dụnggiữa hai đầu tụ điện khi R = R1 bằng hai lần điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R2 Các giá trị R1 và R2 là:

* Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có P1 = P2 theo công thức (1) phần 5 ta có R1R2 = ZC2 = 1002

Mặt khác, gọi U1C là điện áp tụ điện khi R = R1 và U2C là điện áp tụ điện khi R = R2

Ví dụ 2: Một mạch điện gồm một tụ điện C, một cuộn cảm L thuần cảm kháng và một biến trở

R được mắc nối tiếp Đặt vào hai đầu mạch điện một hiệu điện thế xoay chiều

120 2 os(120 )( )

u c t V Biết rằng ứng với hai giá trị của biến trở: R1 = 18Ω và R2 = 32Ω thìcông suất tiêu thụ P trên đoạn mạch là như nhau Tính công suất cực đại của mạch và công suấtP

Ví dụ 3 (ĐH 2011): Một đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB mắc nối tiếp Đoạn

mạch AM gồm điện trở thuần R1 mắc nối tiếp với tụ điện có điện dung C, đoạn mạch MB gồm điện trở thuần R2 mắc nối tiệp với cuộn cảm thuần có độ tự cảm L Đặt điện áp xoay chiều có tần số và giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn mạch AB Khi đó, đoạn mạch AB tiêu thụ công suất bằng 120 W và có hệ số công suất bằng 1 Nếu nối tắt hai đầu tụ điện thì điện áp hai đầu đoạn mạch AM và MB có cùng giá trị hiệu dụng nhưng lệch pha nhau

3

, công suất tiêu thụ trên đoạn mạch AB trong trường hợp này bằng

* Hướng dẫn giải:

+ Khi tụ điện chưa bị nối tắt mạch gồm hai đoạn AM có R1 nốitiếp với tụ điện C, đoạn mạch

MB có R2 mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần L vì hệ số công suất bằng 1 nên trong mạch có hiệntượng cộng hưởng -> ZL = ZC

Theo đầu bài công suất của mạch khi đó là P1 = 120W

Vì mạch có cộng hưởng điện nên ta có : P1 =

2 1

2

R R

U



+ Khi tụ điện bị nối tắt đoạn mạch AM còn R1 khi đó uAM cùng pha với i, còn uMB sớm pha hơn

i là φMB

- Theo đầu bài uAM lệch pha π/3 so với uMB nên uMB sớm pha hơn i là φMB = π/3 → ZL = 3 R 2

Do UAM = UMB ( vì mạch nối tiếp) nên R1 = ZMB → R1 = R2 + Zl2 = 4R2 →R1 = 2R2

u = 240 2cos(100 t) V; C = 1

 10 F 4 Khi mạch có R = R1 = 90 u và R = R2 = 160 thì mạch có cùng công suất P

Công suất của mạch là P = 100 2W

1 Chứng minh rằng P = 100 2W chính là giá trị công suất cực đại của mạch

2 Với hai giá trị R1và R2 thì mạch có cùng công suất P’ Tính P’ và R2 biết R1 = 200

Ví dụ 6 : Cho mạch điện RLC; u = 300 2 cos100 t (V).R thay đổi được ; Khi mạch có R =

R1 = 90 thì độ lệch pha giữa u và i là 1 Khi mạch có R = R2 = 160 thì độ lệch pha giữa u

và i là 2 biết 1 2

2



a) Tính công suất ứng với R1 và R2

b) Viết biểu thức của cường độ dòng điện ứng với R1, R2

b) Z L  Z C  R R1 2 120  Z L  Z C 120 1

1

U I Z

2

U I Z

Ví dụ 7 : Đoạn mạch xoay chiều gồm có tụ điện mắc nối tiếp với biến trở R rồi mắc vào mạch

điện xoay chiều u = U0 cos ( t) ta thấy khi R = R1 và R= R2 thì độ lệch pha của u và i là

Ví dụ 8 : Đặt vào hai đầu đoạn mạch không phân nhánh gồm một biến trở R, cuộn dây thuần

cảm có độ tự cảm L và một tụ điện có điện dung

3

10 13

u U c   t (V) Thay đổi biến trở R khi R = 60 ta thấy điện áp giữa hai đầu của uRL

vuông góc với hai đầu của đoạn mạch Biết cường độ dòng điện trong mạch khi đó I = 1 A Hãy tính Hiệu điện thế cực đại U0 của mạch

* Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có UR = 60 V; UC = 130 V

Theo giả thiết khi điện áp giữa hai đầu điện trở và cuộn dây vuông pha với điện áp hai đầu

* Hướng dẫn giải:

*) Nhận xét: Thông thường khi viết biểu thức điện áp của hai đầu đoạn mạch nào đó ta phải

tính được điện áp cực đại giữa hai đầu đoạn mạch đó và độ lệch pha của nó so với cường độ

dòng điện trong mạch Đối với bài này thì để làm như vậy rất dài so với thời gian của một bài trắc nghiệm.

Tuy nhiên ta có thể làm việc đó tương đối đơn giản nếu chú ý đến những giữ kiện bài toán cho

+ Theo giả thiết UC = UR  ZC  Rnên từ công thức (3.2)

U R Z

U Z

U R Z Z



100 3(V)

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

Ví dụ 11 : Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u  50 10 os(100 ) c  t (V) gồm một điện trở thuần R = 100 , cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi được và một

tụ điện có điện dung C Khi thay đổi L ta thấy là độ lệch pha giữa u và i; RLlà độ lệch pha giữa uRL và i thì: +RL=

3

C L

C

R Z Z

U R Z

V Z



Ví dụ 12 : Đặt điện áp xoay chiều u = U 2 cos100πt (U không đổi, t tính bằng s) vào hai đầu

đoạn mạch mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R, cuộn cảm thuần có độ tự cảm L thay đổi được

và tụ điện có điện dung C =

* Hướng dẫn giải:

Khi điều chỉnh L để ULmax thì khi đó uRC vuông pha với uAB nên ta có

2 2 2 2 2

U LMAX  RC   R  C 

VỚI U R2 U2 (U LMAX U C)2nên ta có :

V U

U U

U U

U U

U LMAX2 LMAX C 2 0 LMAX 2 LMAX C 80

Ví dụ 14: Cho mạch điện RLC,điện áp hai đầu mạch điện là u = 200 2cos(100πt) (V) L thay

đổi được Khi mạch có L = L1

Do ZL1  300 3 ,  ZL2  100 3  nên i1 nhanh pha hơn u còn i2 chậm pha hơn u

 Suy ra I2=I1  P2=P1 = 100W

Ví dụ 16: Cho đoạn mạch xoay chiều sau:

Hiệu điện thế giữa hai đầu AB của đoạn mạch có biểu thức:

-Hệ số công suất của đoạn mạch là: 2 2

(100 )2

* Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết khi L thay đổi UL đạt cực đại thì :

+ uRC vuông góc với uAB : U LMAX2 U RC2U2 U R2U C2 U2

Biểu thức điện áp hai đầu uRC = 200 cos(100 t -

a) Xác định công suất cực đại của mạch

b) Xác định công suất cực đại trên R

Bài 2: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, Hiệu điện thế hai đầu mạch là u = 200 2

a Hệ số công suất của mạch là 3 2

b Hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai đầu điện trở là UR = 100V

c Mạch tiêu thụ công suất P = 100W

Bài 3: Cho mạch điện như hình vẽ, u = U 2cos100πt (V), C = 10 3

Bài 5(CĐ-20Ω, R10Ω, R): Đặt điện áp u = 200cos100t (V) vào hai đầu đoạn mạch gồm một biến trở R

mắc nối tiếp với một cuộn cảm thuần có độ tự cảm 1

 H Điều chỉnh biến trở để công suất tỏa nhiệt trên biến trở đạt cực đại, khi đó cường độ dòng điện hiệu dụng trong đoạn mạch bằng

Bài 6(ĐH-20Ω, R0Ω, R8): Đoạn mạch điện xoay chiều gồm biến trở R, cuộn dây thuần cảm có độ tự

cảm L và tụ điện có điện dung C mắc nối tiếp Biết hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu đoạn mạch

là U, cảm kháng ZL, dung kháng ZC (với ZC  ZL) và tần số dòng điện trong mạch không đổi Thay đổi R đến giá trị R0 thì công suất tiêu thụ của đoạn mạch đạt giá trị cực đại Pm, khi đó R0

và công suất có giá trị:

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc

Bài 7(ĐH-20Ω, R0Ω, R7): Đặt hiệu điện thế u = U0sinωt (U0 và ω không đổi) vào hai đầu đoạn mạch

RLC không phân nhánh Biết độ tự cảm và điện dung được giữ không đổi Điều chỉnh trị số

điện trở R để công suất tiêu thụ của đoạn mạch đạt cực đại Khi đó hệ số công suất của đoạn

mạch bằng

Bài 8: Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ Điện trở R = 20, cuộn dây thuần cảm có độ

tự cảm thay đổi được, tụ điện có điện dung C cũng thay đổi được

Hiệu điện thế hai đầu đoạn mạch u  200cos(100 )(V)  t

1) Điều chỉnh L và C để L = 31,8 mH và C = 106  F

Tính công suất của mạch

2) Thay đổi L và C sao cho hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu cuộn dây gấp 2 lần hiệu điện thế

hiệu dụng hai đầu tụ và cường độ dòng điện qua mạch lệch pha

3



so với hiệu điện thế hai đầumạch Tính công suất của mạch trong trường hợp này và các giá trị của L và C

3) Thay đổi L sao cho LC 2  1 tính công suất trong mạch khi đó

Bài 9: Cho mạch điện như hình vẽ: L là cuộn thuần cảm

Có độ tự cảm thay đổi được; R là biến trở

200 3 os(100 )( )

AB

1 Đặt khóa K ở vị trí số 1 và điều chỉnh L có giá trị L1, điện trở có giá trị R1 người ta thấy UAM

= 100 6( ) V , UMB = 200 2( ) V Viết biểu thức uAM.

2 Chuyển khóa K sang vị trí 2, điện trở R2 = 100 2 Điều chỉnh độ tự cảm L = 3

2

BL

R

K

Bài 10Ω, R: Cho mạch AB gồm cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L = 1,6

Câu 1 Một mạch gồm điện trở thuần R , một tụ điện có điện dung C và cuộn dây thuần cảm có độ

tự cảm L thay đổi được mắc nối tiếp Mắc vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u =

U0cost Khi điện áp hai đầu cuộn dây đạt cực đại Kết luận nào sau đây là đúng?

A uL sớm pha hơn uR một góc /2

B uRC cùng pha với u giữa hai đầu đoạn mạch

C uRC trễ pha hơn điện áp hai đầu mạch u một góc /2

D uRL sớm pha hơn u một góc /2

Câu 2 Đặt một hiệu điện thế xoay chiều có giá trị hiệu dụng U không đổi nhưng tần số f thay đổi

vào hai đầu một đoạn mạch R,L,C nối tiếp Công suất toả nhiệt trên điện trở

Câu 3 Cho một đoạn mạch điện xoay chiều gồm một biến trở R mắc nối tiếp với một cuộn thuần

cảm L = 2/ H Điện áp đặt vào hai đầu mạch u = 100 2cos100t (V) Thay đổi R, ta thu đượccông suất toả nhiệt cực đại trên biến trở giá trị đó bằng

Câu 4 Cho mạch điện xoay chiều gồm biến trở R, cuộn dây thuần cảm L, và điện dung của tụ điện

C mắc nối tiếp Đặt vào hai đầu đoạn mạch hiệu điện thế xoay chiều có biểu thức

120 2 cos(120 )

suất tiêu thụ P trên đoạn mach như nhau Công suất cực đại của mạch đạt được:

Câu 5: Đặt một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng U = 240V vào hai đầu đoạn mạch biến trở

R, cuộn dây có độ tự cảm L và tụ điện có điện dung C nối tiếp Điều chỉnh R ở hai giá trị R1 và R2

sao cho R1 + R2 = 150 thì thấy công suất tiêu thụ của đoạn mạch ứng với hai trường hợp này nhưnhau và bằng:

A 348W B 384W C 192W D 129W.

Câu 6: Cho một mạch điện LRC nối tiếp theo thứ tự trên với cuộn dây thuần cảm Biết L = 1/(H),

C = 2.10-4/(F), R thay đổi được Đặt vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế có biểu thức: u =

U0.cos100t (V) Để uC chậm pha /3 so với uAB thì:

A R = 25 3  B R = 50 3  C R = 100  D R = 

3

350

Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc