Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có tử là hằng số, mẫu số là tam thức bậc hai.. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một số phân thức dạng khác.. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Trang 1Nội dung chuyên đề gồm các phần sau
A Lí do chọn đề tài.
B Nội dung giải quyết
I Cơ sở lý thuyết
1 Định nghĩa
2 Một số tính chất cần chú ý
3 Nội dung - phơng pháp biến đổi tam thức bậc hai
II áp dụng giải một số bài toán
1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của tam thức bậc hai
Dạng : ax2 + bx + c (a ≠ 0) 2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng cách đặt ẩn phụ
Để đa về dạng tam thức :ax2 + bx + c (a ≠ 0) 3 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của đa thức nhiều biến
4 Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của đa thức bậc cao
Dạng P = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e ( a.c > 0) 5 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có tử là hằng số, mẫu số là tam thức bậc hai
6 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một phân thức
Có mẫu là một bình phơng Tử là tam thức bậc hai
7 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một số phân thức dạng khác
8 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức biết quan hệ Giữa các biến
C Kết quả giảng dạy
D Điều kiện áp dụng
E Những vấn đề còn bỏ ngỏ
G Bài học kinh nghiệm
H Kết luận
A- Lý do chon đề tài
Trang 2Toán học là môn học chiếm vị trí quan trọng trong nhà trờng phổ thông Dạy toán tức là phơng pháp suy luận khoa học Học toán tức là rèn khả năng t duy lôgic
Giải các bài toán là phơng tiện rất tốt trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo
Trong toán học phân môn đại số là phân môn lâu đời và đầy hấp dẫn, các bài toán số học đã làm cuốn hút và say mê lòng ngời, trong các bài toán ở lớp 8, 9 số học luôn đóng góp phần quan trọng
Là một bộ phận đại số, kiến thức " Tìm cực trị của biểu thức đại số dạng tam thức bậc hai" cũng tựu chung đầy đủ các yếu tố trên Làm quen với mảng kiến thức này và yêu thích nó, chúng ta càng thấy rõ chân lí:
" Toán học là môn thể dục trí tuệ"
Nó giúp học sinh rèn luyện tính kiên trì, vợt khó, sáng tạo, tính t duy lôgic cao
Trong chơng trình môn toán lớp 8,9 các em đợc tiếp cận với các bài toán cực trị, khái niệm về " Cực trị " Không đợc xây dựng thành một hệ thống khái quát, không đợc trình bày ở một khối lớp nào, mà chỉ đợc trình bày thành từng phần riêng lẻ, thông qua các bài tập Lợng bài tập " Tìm cực trị " Rất đa dạng và phong phú, có những bài đơn giản, thuần tuý, có những bài đòi hỏi phải t duy, phải suy luận, khai thác nó, từ đó tìm ra phơng pháp giải
Vì vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để có thể giúp học sinh hiểu rõ bản chất của loại toán này, vận dụng kiến thức vào để giải hay cụ thể hơn là tìm phơng pháp giải
Trong năm học 2005-2006 này tôi đợc phân công giảng dạy môn toán lớp 9
và bồi dỡng đội tuyển toán lớp 9 Sau khi đã dạy và cho các em làm một số dạng bài tập trong sách giáo khoa Tôi đã ra một số bài tập để kiểm tra kiến thức học sinh, đề bài nh sau:
* Bài 1:
a Tìm giá trị lớn nhất của A =
3
1
2
x
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của B =
2
2
1
4 3
x
x x
c, Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của C = 2 2
1
1
x
x
d Tìm giá trị lớn nhất của D = - x2 + 6x - 15
e Tìm giá trị nhỏ nhất của E = 2x2 + 3x + 1
Kết quả hầu nh các em không làm đợc, chỉ có một số học sinh giải đợc câu d và f Bởi vì các em cha nắm đợc phơng pháp làm các bài tập dạng này Chính vì vậy, trong quá trình giảng dạy và bồi dỡng, tôi đã giới thiệu và cung cấp cho các em,
Trang 3các phơng pháp một hệ thống bài tập từ đơn giản tới phức tạp Qua nghiên cứu kỹ thực tế giảng dạy của giáo viên, cách học tập của học sinh Tôi xin đợc trình bày đề tài:
" Tìm cực trị của biểu thức đại số dạng tam thức bậc hai"
B- Nội dung giải quyết
I Cơ sở lý thuyết:
1 Định nghĩa
a M là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền (D) nếu nh hai điều kiện sau đợc thoả mãn :
+ f(x) M, x (D)
+ x0 (D) : f(x0) = M. Kí hiệu M= max f(x)
b m đợc gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên miền (D) nếu nh hai điều kiện sau
đồng thời thoả mãn
+f(x) m ; x (D)
+ x0 (D) : f(x0) = m Kí hiệu m = min f(x)
2 Một số tính chất cần chú ý
a) A2(x) 0 A(x), dấu "=" xảy ra A(x) = 0
b) - A2(x) 0 A(x), dấu "=" xảy ra A(x) = 0
Trang 4c) (ax - by)2 0 , dấu "=" xảy ra ax = by
d) a.b 0 Nếu ab
b
1 1
Nếu a b
b
1 1
3 Nội dung - ph ơng pháp biến đổi tam thức bậc hai
Sử dụng trực tiếp định nghĩa về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thông qua việc biến đổi tổng quát tam thức bậc hai về dạng bình phơng của một nhị thức bậc nhất một biến và hạng tử tự do
Cho tam thức bậc hai
P(x) = ax2 +bx + c (a,b,c R; a 0)
Ta viết P(x) dới dạng
P(x) = a x 2 + k
Ta biến đổi nh sau :
P(x) = a(x2 +
a
b
x) +c
P(x) = a(x2 + 2
a
b
2 x + 2
2
4a
b ) +c -
a
b
4
2
P(x) = a(x+
a
b
2 )2 + c-
a
b
4
2
Đặt c =
a
b
4
2
= k (= const)
Do (x+
a
b
2 )2 0 x nên + Nếu a >0 a(x+
a
b
2 )2 0 do đó P(x) k + Nếu a<0 a(x+
a
b
2 )2 0 do đó P(x) k Suy ra tam thức bậc hai P(x) = ax2 +bx + c
Nếu a>0 thì P(x) đạt min P(x) = c -
a
b
4
2
x = -
a
b
2
Nếu a>0 thì P(x) đạt maxP(x) = c -
a
b
4
2
x = -
a
b
2
II áp dụng giải một số bài toán:
Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai
Dạng : ax2 +bx + c (a 0)
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của A= 2x2 - 8x +1
Giải:
ĐKXĐ: x R
A = 2x2 - 8x +1
A = 2(x2 - 4x) + 1
Trang 5A = 2(x2 - 4x +4) - 8 + 1
A = 2(x- 2)2 - 7
min A= -7 x= 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của
B = - 5x2 - 4x +1
B = -5(x2 +
5
4
x) +1
B = -5(x+
5
2
)2 +
5
9
5 9
max B =
5
9
x+
5
2
= 0 x = -
5 2
Nhận xét : Qua các ví dụ trên, muốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai dạng ax2 +bx + c (a 0), ta làm nh sau:
+ Bớc 1: Tìm ĐKXĐ
+ Bớc 2: Nhóm các hạng tử chứa ẩn
+ Bớc 3: Đặt hệ số a làm nhân tử chung
+ Bớc 4: Thêm bớt vào trong ngoặc để bài toán trở thành bình phơng một nhị thức một hạng tử tự do
+ Bớc 5: Dựa vào định nghĩa để trả lời
Khai thác mở rộng
Phơng pháp này còn áp dụng để chứng minh một số biểu thức luôn dơng (luôn âm ở mọi biến)
Ví dụ 1: Cho phơng trình : x2 - 2mx +2m - 3 =0
Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m
Giải:
Ta có ' = m2 - 2m +3
= (m -1)2 + 2 2 m > 0 m
Vậy phơng trình có nghiệm với mọi m
Ví dụ 2: Cho phơng trình : x2 - (3m2 + 5m)x - (m2 - 2m +2) = 0
Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m
Giải: Ta đi chứng minh tích a.c < 0 m
Ta có a.c = - (m2 - 2m +2)
= - (m2 - 2m) - 2 = - (m2 - 2m +1)+ 1 - 2 = - (m -1)2 - 1 -1 m a.c < 0 m
Vậy phơng trình có nghiệm với mọi m
Trang 6Bài tập đề nghị
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của
a) A = 3x2 + 4x + 1 b) B = x(x - 5) c) C= x2 + 16x - 4
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất
a) A= - 1
6 4
2
x x
b) B = 1 + 6x - x2
2
x x
Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng cách đặt ẩn phụ để đa
về dạng tam thức ax 2 +bx + c (a 0)
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất
A = x + 2 x
Giải:
ĐKXĐ: 2 x 0 x2
Đặt 2 x =y 0
Ta có : y2 = 2 - x Vậy A = 2 - y2 + y
A = - (y2 - y) + 2
A = - (y2 - y +
4
1
)+
4 9
A = - (y -
2
1
)2 +
4
9
4 9
Vậy max A=
4
9
y -
2
1
= 0 y =
2
1
y2 =
4
1
2 - x =
4
1
x =
4
7
(Thoả mãn)
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của B = y4 - 6y2 - 7
Giải:
Đặt y2 = x 0
Vậy B = x2 - 6x - 7
= (x2 - 6x +9) - 9 - 7
= (x -3)2 - 16 16
Vậy min B = -16 x-3 = 0 x = 3(Thoả mãn)
y = 3
Trang 7Tổng quát : Muốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của dạng trùng phơng
ax4+bx2+ c (a 0), ta làm nh sau :
+ Bớc 1: Tìm điều kiện xác định
+ Bớc 2: Tìm mối liên hệ đặt ẩn phụ và đặc biệt chú ý điều kiện của ẩn phụ + Bớc 3: Đa về dạng tam thức bậc hai ax2 +bx + c (a 0) rồi tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
+ Bớc 4: kết luận (chú ý các điều kiện xảy ra dấu "=")
Bài tập đề nghị
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) A = x- 2 x 1
b) B = (x -1) (x- 3) (x2 - 4x +5) c) C = (x + 8)4 + (x+6)4
d) D = x(x-3)(x+1)(x+4) Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
a) A = (6 -2x2) b) B = 6 x - x c) C = 4 x 1 - x d) D =x + 10 x
Dạng 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của đa thức nhiều biến
Ví dụ 1: Tìm giá trị của m và p để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất
A = m2 - 4mp +5p2 +10m - 22p +28 Giải: ĐKXĐ: m, p R
A = m2 - 4pm + 5p2 + 10m - 22p + 28
= (m - 2p)2 + 2 (m - 2p) 5 + (p - 1)2 + 28
= (m - 2p + 5)2 + (p - 1)2 + 2 2 Vậy min A = 2 m - 2p + 5 = 0
p - 1 = 0 p = 1
m = - 3
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của
B = - x2 - 4y2 - z2 + 2x + 12y + 6z - 12 Giải: ĐKXĐ: x, y, z R
B = - x2 - 4y2 - z2 + 2x + 12x + 6z - 12
= - (x2 - 1)2 - (2y - 3)2 + (z - 3)2 + 1 1 Vậy max B = 1 x - 1 = 0 x = 1
Trang 82y - 3 = 0 y =
3 2
z - 3 = 0 z = 3
Nhận xét: Muốn tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của đa thức nhiều biến ta làm
nh sau:
Bớc 1: Tìm điều kiện xác định
Bớc 2: Biến đổi biểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm (không
d-ơng) và hạng tử tự do
Bớc 3: Kết luận (Chú ý đến điều kiện xảy ra dấu "=")
Khai thác mở rộng:
Loại toán trên còn có thể hỏi
Ví dụ 1: Tìm x, y thoả mãn 9x - 12 x - 2 7y + y2 + 11 = 0
Giải:
9x - 12 x - 2 7y + y2 + 11 = 0
(3 x)2 - 2.2.3 x + 4 + y2 - 2 7y + 7 = 0
(3 x- 2)2 + (y - 7)2 = 0 (*)
Ta có (3 x- 2)2 0 x
(y - 7)2 0 y Nên phơng trình (*) tơng đơng với 3 x- 2 = 0 x =
9 4
y - 7 = 0 y = 7
Ví dụ 2: Tìm x, y, z thoả mãn biểu thức
x + y + z + 4 = 2 x 2 + 4 y 3 + 6 z 5 ( * * ) Giải:
ĐKXĐ: x 2 ; y 3 ; z 5
Ta có x + y + z + 4 = 2 x 2 + 4 y 3 + 6 z 5
(x - 2 - 2 x 2 + 1) + (y - 3 - 2.2 y 3 + 4) + (z - 5 + 2.3 z 5 + 9)
( x 2 - 1)2 + ( y 3 - 2)2 + ( z 5 - 3)2 = 0
Do ( x 2 - 1)2 0 x 2
( y 3 - 2)2 0 x 3 ( z 5 - 3)2 0 x 5 Phơng trình (* *) tơng đơng với x 2 = 1 x = 3 (thoả mãn)
3
y = 2 y = 7 (thoả mãn)
5
z = 3 z = 11 (thoả mãn)
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Trang 9A = x2 + y2 - 2 (x - y) Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B = 4x + 6y = x2 - y2 + 2 Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức
x2 + 2y2 - 2xy + 2x - 4y + 3 > 0 x, y
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức bậc cao dạng
P = ax4 + bx3 + cx2 + dx + c (a.c > 0)
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của
B = - x4 + 4x3 - 5x2 + 4x - 4 Giải:
B = - x4 + 4x3 - 5x2 + 4x - 4
= - x2 (x2 - 4x + 4) + 4x2 - 5x2 + 4x - 4
= - x2 (x - 2)2 - (c2 - 4x + 4)
= - x2 (x - 2)2 - (x - 2)2 o x Vậy max B = 0 x (x - 2) = 0 x = 2
x - 2 = 0
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của
A = x4 + 2x3 + 2x2 + 2x - 8 Giải:
A = x4 + 2x3 + 2x2 + 2x - 8
= x2 (x2 + 2x + 1) - x2 + 2x2 + 2x + 1 - 9
= x2 (x + 1)2 - (x + 1)2 - 9 - 9 x Vậy min A = -9 khi và chỉ khi x (x + 1) = 0 x = - 1
x + 1 = 0
Nhận xét:
Muốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức bậc cao dạng:
P = ax4 + bx3 + cx2 + dx + c (a.c > 0) ta làm nh sau:
Bớc 1: Biến đổi
P = ax4 + bx3 + cx2 + dx + c = [f(x)]2 [g(x)]2 + [h(x)]2 + m (a c > 0) ta biến
đổi nh sau:
P = ax2 (x2 +
a
b
x) + cx2 + dc + e
= ax2 (x2 +
a
b
2 )2 +
a
b ac
4
x2 + dx + e
= ax2 (x +
a
b
2 )2 + kx2 + dx + e
Ta đặt
a
b ac
4
= k (với a k > 0)
Trang 10= ax2 (x2 +
a
b
2 )2 + k (x2 +
k
d
2
2
x + 22
4k
d ) -
k
d
4
2
+ e
= ax2 (x2 +
a
b
2 )2 + k (x +
k
d
2 )2 +
k
d ke
4
4 2
Bớc 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P
Bớc 3: Kết luận (Chú ý điều kiện xảy ra dấu "=")
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
A = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 1 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
B = (x2 + x) (x2 + 3x + 2) Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
C = (2x2 + 2x + 5)2 Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của:
D = - x4 + 2x3 - 3x2 + 2x + 1
Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có tử là hằng số,
mẫu số là tam thức bậc hai
Ví dụ 1:
Tìm giá trị lớn nhất của A = 2
9 5 6
2
x
x
Giải: Xét mẫu
- 6x + 5 + 9x2 = (3x - 1)2 + 4 4 > 0 x
) 1 3 (
1
x
4 1
9 5 6
2
x
x
2 1
max A =
2
1
x =
3 1
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của
B =
6 4
6
2
x x
Giải: Ta có - x2 + 4x - 6 = - (x2 - 4x) - 6
= - (x - 2)2 - 2 - 2 < 0
2 ) 2 (
1
2
2 1
Trang 112 ) 2 (
6
2
2
6
2 4
6
2
x
x - 3
Vậy min B = - 3 khi x = 2
Chú ý: Với hai số cùng dấu a và b (a, b 0)
a b
a
1
b
1
a b
a
1
b
1
Giải ví dụ trên là ta đã sử dụng tính chất này
(3x - 1)2 + 4 4 > 0
4 ) 1 3
(
1
2
4 1
ở ví dụ dạng này nhiều khi học sinh hay mắc phải sai lầm khi lập luận khẳng
định "A có tử số không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất"
Sai vì: cha đợc ra nhận xét tử và mẫu là các số dơng
Ta lấy ví dụ:
Xét biểu thức B =
4
1
2
x nên lập luận nh trên B có tử không đổi nên B lớn
nhất khi x2 - 4 đạt min (bằng - 4) x = 0
Tức là giá trị lớn nhất của B =
4
1
x = 0 Kết quả này không đúng, -
4 1
không phải là giá trị lớn nhất của B (chẳng hạn x = - 3 B =
5
1
> -
4
1
)
Nhận xét:
Muốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có tử là hằng số, mẫu số là tam thức bậc hai ta làm nh sau:
Bớc 1: Xét mẫu thức, biến đổi mẫu thức trở về dạng bình phơng một nhị thức
và một hạng tử tự do
Bớc 2: Dựa vào bất đẳng thức
a b > 0 Nếu a b
a
1
b
1
Nếu a b
a
1
b
1
Bớc 3: Kết luận
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Trang 12a) A =
1
5
2
x x
b) B =
10 6 2
13
2
x x
c) C =
12 6
9
2
x x
Bµi 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña
a) A =
52 14
21
x
b) B =
6 4 4
15
x x
D¹ng 6: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña mét ph©n thøc cã mÉu lµ mét
b×nh ph¬ng, tö lµ tam thøc bËc hai.
VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña
x
x
x
Gi¶i:
§KX§: x # 0
A = 1 -
x
2
- 20052
x
= - 2005 ( 12
x + 2 2005
1
-
x
1
+ 2
2005
1
) +
2005
1
+ 1
= - 2005 (
x
1
+
2005
1
)2 +
2005
2006
2005
2006
( x # 0)
VËy max A =
2005
2006
x = - 2005 TX§
VÝ dô 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
A =
1 2
6 8 3
2 2
x x
x x
Gi¶i: §KX§ x # 1
1 2
6 8 3
2 2
x x
x x
2
) 1 (
6 8 3
x
x x
2 2
) 1 (
4 2 2
4 2
x
x x x x
Trang 13= 2
2 2
) 1 (
) 2 ( ) 1 ( 2
x
x x
2
) 1 (
) 2 (
x
x
2 x # 1 Vậy min A x = 2
Nhận xét:
Ngoài phơng pháp xét miền giá trị của hàm số Nếu giải theo cách này ta làm nh sau:
Bớc 1: Nhận dạng bài toán, tìm ĐKXĐ
Bớc 2: Chia tử cho mẫu để biến đổi về dạng bình phơng biểu thức với hạng
tử tự do
Bớc 3: Kết luận
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của
x
x
b) B = ( 3)2 2000
x
x
x
c) C =
1 2
5 6 2
2 2
x x
x x
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của:
x
x
3
x
x
x
Dạng 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một số phân thức dạng khác.
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị lớn nhất của:
1 3
1
x
Giải:
* Tìm giá trị lớn nhất
ĐKXĐ x 1
Ta có 1 x 2 1
3 - 1 x 2 2 > 0
Trang 14 2
1 3
1
x
2 1
Vậy max C =
2
1
x = 0
* Tìm giá trị nhỏ nhất
Ta có 0 1 x 2 1
2 3 - 1 x 2 3
1 3
1
x
3 1
Vậy min C =
3
1
với x = 1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của:
B =
1
4 3
2
x x
Giải
ĐKXĐ: x
Ta có B =
1
4 3
2
x
x
1
4 4
2
2
x
x x
=
) 1 (
) 2 (
2 2
x
x
- 1 - 1 x Vậy min B = - 1 x = 2
Ta có B =
1
4 3
2
x
x
= 4 -
1
1 4
2 2
x
x x
= 4 -
1
) 1 2 ( 2 2
x
x
4 x
Vậy max B = 4 x =
2 1
Nhận xét: Ngoài phơng pháp tìm miền giá trị của hàm số Phơng pháp giải dạng này là:
Bớc 1: Nhận dạng bài tập Tìm ĐKXĐ
Bớc 2: Dựa vào định nghĩa tìm cực trị của biểu thức để biến đổi xuất hiện bình phơng biểu thức với hạng tử tự do
Bớc 3: Kết luận
Bài tập đề nghị: