SKNN TOÁN 8

Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giờ của các giáo viên trong trờng, thông qua các kỳ thi chất lợng và kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện của cỏc em học sinh, bản thân tôi nhận thấy các em

A Mở đầu

I Lý do chọn đề tài

Năm học 2010 -2011 tôi đợc nhà trờng phân công giảng bộ môn toán lớp 8 Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giờ của các giáo viên trong trờng, thông qua các kỳ thi chất lợng và kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện của cỏc em học sinh, bản thân tôi nhận thấy các em học sinh cha có kỹ năng thành thạo khi làm các dạng bài tập nh: Quy đồng mẫu thức, giải các loại phơng trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất vì lý do để giải đợc các loại bài tập này cần phải có kỹ năng phân tích các đa thức thành nhân tử

Để phân tích một đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp Việc tìm ra phơng pháp thích hợp cho lời giải một bài toán đợc ngắn gọn, chính xác, khoa học hay tìm

ra nhiều cách giải khác nhau trong một bài toán tất cả đều phụ thuộc vào việc tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh Khi lựa chọn các phơng pháp để phân tích giúp cho học sinh phát triển t duy toán học, óc tìm tòi sáng tạo, kỹ năng vận dụng kiến thức đã học khi giải một bài toán cụ thể Không những thế khi phân tích đa thức thành nhân tử học sinh đợc ôn lại hay sử dụng các kiến thức liên quan nh : Hằng

đẳng thức, kỹ năng thêm bớt tách các hạng tử, tính nhẩm nghiệm của đa thức Nói chung ,các thủ thuật toán học để giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi học sinh phải t duy nhiều nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt , sáng tạo các kiến thức đó

Nếu nh các em học sinh lớp 8 không có thủ thuật và kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử thì việc nắm bắt các phơng pháp để giải các dạng toán và kiến thức mới trong quá trình học toán là một vấn đề khó khăn

Để giúp đỡ các em học sinh tiếp cận và khai thác lời giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử trong quá trình giải, cũng nh nhằm nâng cao kiến thức cần thiết giúp các em học tốt môn toán

và đồng thời phát huy đợc trí tuệ của học sinh Qua quá trình giảng dạy bộ môn Toán

8 tôi mạnh dạn đa ra sáng kiến và giải pháp thực hiện về việc “ Rốn kỹ năng giải bài

toỏn phõn tớch đa thức thành nhõn tử ” nhằm giúp các em nắm vững một số phơng

pháp phân tích đa thức thành nhân tử, một số bài tập nâng cao, một số bài tập có áp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, thấy đợc đó là công cụ đắc lực trong giải một số loại toán Và qua đó cũng nhằm phát huy trí lực của học sinh, góp phần nâng cao chất lợng dạy và học

II/ Mục tiêu của sáng kiến

1/ Nhằm đào sâu nội dung về phân tích đa thức thành nhân tử , giúp học sinh nắm đợc các phơng pháp phân tích, rèn luyện nhiều kĩ năng giải toán loại này và nhằm phát tiển năng lực t duy, năng lực sáng tạo của học sinh

2/ Giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản, có hệ thống về phân tích đa thức thành nhân tử

a/ Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

b/ Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử góp phần rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận, sáng tạo của ngời nghiên cứu khoa học

c/ Bài tập có áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử nhằm củng cố kiến thức và phân tích đa thức của học sinh thấy đợc tác dụng rất nhiều của kiến thức này trong giải một số dạng bài tập, đồng thời qua đó phát triển trí tuệ của học sinh, kĩ năng vận dụng của kiến thức đã học và những kiến thức tiếp theo, t duy logic toán học, tính sáng tạo

1 Đối tợng nghiên cứu:

Là học sinh lớp 8

2 Phạm vi nghiên cứu:

Một số phơng pháp, một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử ở môn toán lớp 8

IV Tài liệu tham khảo

- Sách giáo khoa Đaị số 8

- Sách giáo viên Đại số 8

- Sách bài tập đại số 8

- Sách toán bồi dỡng học sinh lớp 8

- Các dạng toán đại số 8

- Nõng cao và phỏt triển toỏn 8 _ Tập 1

B nội dung

ChơngI:Các phơng pháp cơ bản

I Phơng pháp đặt nhân tử chung

Khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp này thờng làm nh sau:

tử ở trong dấu ngoặc với dấu của chúng

Khi phân tích bằng phơng pháp này ta dựa vào tính chất phân phối của phép nhân

đối với phép cộng các đa thức: A.B + A.C =A.(B +C)

Vớ dụ 1: Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử:

x4 + x3 + 2x2 + x + 1

Giải:

x4 + x3 + 2x2 + x + 1 = (x4 + 2x2 + 1) + (x3 + x)

= (x2 + 1)2 + x (x2 + 1) = (x2 + 1)(x2 + x + 1)

Vớ dụ 2: Phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử:

P = x2(y - z) + y2 (z - x) + z2 (x - y)

Giải:

Cỏch 1: Khai triển cỏc hạng tử cuối rồi nhúm cỏc hạng tử làm xuất hiện nhõn tử chung y – z

P = x2(y - z)/ + y2z – xy2 + xz2 – yz2

= x2 (y - z) + yz (y - z) – x(y2 – z2)

= (y - z)(x2 + yz – xy - xz)

= (y - z)[ x (x - y) – z (x - y)]

= (y - z)(x – y )(x - z)

Cỏch 2: Tỏch z – x thành – [ (y - z) + (x - y) ], ta cú:

P = x2 (y - z) – y2 [(y - z) + (x - y)] + z2 (x - y)

= (y - z) (x2 – y2 ) – (x - y)(y2 – z2)

= ( y - z)(x + y)( x - y) /-/ (x - y)(y + z)(y - z)

= (y - z)(x - y)(x + y – y - z)

= (y – z )(x - y)(x – z )

II Phơng pháp dùng hằng đẳng thức

áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử Kiến thức cơ bản là :

1 Bình phơng của một tổng : ( A + B )2= A2+ 2AB +B2

2 Bình phơng của một hiệu: ( A - B )2= A2- 2AB +B2

3 Hiệu hai bình phơng: A2- B2 =( A + B ).( A - B )

4 Lập phơng của một tổng: ( A + B )3= A3+ 3A2B +3AB2+ B3

5 Lập phơng của một hiệu: ( A - B )3= A3- 3A2B + 3AB2- B3

6 Tổng hai lập phơng : A3+ B3 =( A +B ).(A2 - AB + B2 )

7 Hiệu hai lập phơng : A3 - B3 =( A - B ).(A2 + AB + B2 )

Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 8x3y6 -1 =(2xy2)3 - 13

Giải

8x3y6 - 1 =(2xy2)3 - 13 = ( 2xy2 - 1 ).(4x2y4 + 2xy2 + 1)

Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

Giải

25x4 + 10x2y + y2 = (5x2)2 + 2.5x2 .y + y2 = ( 5x2 + y)2

III phơng pháp nhóm nhiều hạng tử

Khi sử dụng phơng pháp này ta cần nhận xét đặc điểm của các hạng tử rồi kết hợp các hạng tử thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng dẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung của các nhóm rồi dùng các phơng phap đã biết để phân tích đa thức thành nhân tử

Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 4x2+8xy - 3x - 6y

Giải

4x2+8xy - 3x - 6y = (4x2+ 8xy ) - (3x + 6y) = 4x.(x+2y) - 3(x+2y)

= (x+2y)(4x-3)

Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 - y2+ 2xz + z2

Giải

x2 - y2+ 2xz + z2=( x2 + 2xz + z2) - y2=(x+z)2 - y2=(x+y+z)(x-y+z)

IV Phối hợp nhiều phơng pháp

Thờng đợc tiến hành theo các trình tự sau :

+ Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức còn lại đơn giản hơn dễ nhận xét hơn + Nhóm hạng tử

+ Dùng hằng đẳng thức

Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2 + 2xy + y2- xz – yz

Giải

x2 + 2xy + y2- xz – yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x+y).(x+y-z)

Ví dụ 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

3x3y - 6x2y- 3xy3- 6axy2- 3a2 xy +3xy

Giải

3x3y - 6x2y-3xy3- 6axy2 -3a2 xy +3xy

= 3xy(x2-2x-y2-2ay-a2+1)

= 3xy[(x2-2x+1)-(y2+2ay+a2)]

= 3xy[(x-1)2-( y+a)2]

= 3xy(x-1-y-a)(x-1+y+a)

Chơng II : Các phơng pháp đặc biệt

I phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

Trong một số trờng hợp bằng các phơng pháp đã học không thể giải đợc mà ta phải nghĩ tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để có thể áp dụng đợc các phơng pháp đã biết

Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x2- 6x + 8

Giải

Cách 1 : x2- 6x + 8 = x2 - 2x- 4x+8 =x(x-2)-4(x-2) =(x-2)(x-4)

Cách 2 : x2- 6x + 8 = x2 - 6x +9-1 = (x-3)2 -12=(x-3+1)(x-3-1)= (x-2)(x-4)

Cách 3 :

x2- 6x + 8 = x2 - 4-6x +12 =(x+2)(x-2)-6(x-2) = (x-2)(x+2-6)= (x-2)(x-4) Cách 4 : x2- 6x + 8 = x2 - 4x +4-2x+4=(x-2)2- 2(x-2)= (x-2)(x-4)

Có nhiều cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khảc trong đó có 2 cách thông dụng là :

Cách 1 : Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung

Cách 2 : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng hiệu hai bình phơng

Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x2+6x-8

Giải

Hoặc =9x2-6x+1 – 9 =(3x+1)2-32 =(3x+1-3)(3x+1+3) =(3x -2)(3x+4)

*Chú ý : Khi tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử ta có thể dựa vào hằng đẳng

Nh vậy trong tam thức bậc hai :a x2+bx+c hệ số b = b1+ b2 sao cho b1 b2 = a.c Trong thực hành ta làm nh sau :

Ví dụ 3: Khi phân tích đa thức 9x2+6x-8 thành nhân tử

Ta có : a = 9 ; b = 6 ; c = -8

+ Tích a.c =9.(-8) =-72 + Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 6)

-72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).12 = (-6).12 = (-8).9 + Chọn hai thừa số có tổng bằng 6, đó là -6 và 12

Từ đó ta phân tích

Ví dụ 4 : Khi phân tích đa thức x 2 –x -6 thành nhân tử

Ta có : a = 1 ; b = -1 ; c = -6

+ Tích a.c =1.(-6) = -6 + Phân tích -6 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn vì b=-1 < 0 (để tổng hai thừa số bằng -1)

-6 = 1.(-6) = 2.(-3)

+ Chọn hai thừa số có tổng bằng -1, đó là : 2 và -3

Từ đó ta phân tích

x2 -x -6 = x2 + 2x -3x -6 = x(x+2) -3(x+2) = (x+2)(x-3)

là bình phơng của một số nguyên thì nên giải theo cách một gọn hơn so với cách hai

II Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử

Khi đa thức đã cho mà các hạng tử trong đa thức đó không chứa thừa số chung, không có dạng của một hằng đẳng thức nào cũng nh không thể nhóm các số hạng thì ta phải biến đổi hạng tử để có thể vận dụng đợc các phơng pháp phân tích đã biết

1 Thờm và bớt cựng một hạng tử làm xuất hiện hiệu của hai bỡnh phương

Ví dụ 5 : Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử

Ta thấy x4 =(x2)2 ; 4 = 22 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng

tử 4x2

x4 + 4 = (x4 + 4 + 4x2)– 4x2= (x2+2)2 – (2x)2 = (x2+ 2x +2)( x2- 2x +2)

Ví dụ 6 : Phân tích đa thức 64a2 + b4 thành nhân tử

Ta thấy 64a4 =(8a2)2 ; b4 = (b2)2 Do đó ta có thể thêm bớt vào đa thức đã cho cùng hạng tử 16a2b2

64a2 + b4 = 64a2 + b4 + 16a2b2 - 16a2b2

= (8a2 + b2)2 - (4ab)2 = (8a2 + b2-4ab)( 8a2 + b2+4ab)

2 Thờm và bớt cựng một hạng tử làm xuất hiện nhõn tử chung

Vớ dụ 7: Phõn tớch đa thức thành nhõn tử:

x5 + x – 1

Giải:

Cỏch 1:

x5 + x – 1 = x5 – x4 + x3 + x4 – x3 + x2 – x2 + x – 1

= x3 (x2 – x + 1) + x2 (x2 – x + 1) – (x2 – x + 1)

= ( x2 – x + 1) (x3 + x2 - 1)

Cỏch 2: Thờm và bớt x2:

x5 + x – 1 = x5 + x2 – x2 + x – 1 = x2 (x3 + 1) – (x2 – x + 1)

= (x2 – x + 1) [ x2 (x + 1 ) – 1 ] = (x2 – x + 1) (x3 + x2 - 1)

III Phơng pháp đổi biến số ( Đặt ẩn phụ)

Ví dụ 7 : Phân tích đa thức (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 thành nhân tử

Ta có : (x2+x)2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2+x)2 + 4(x2 + x) - 12 Nhận thấy nếu đặt x2 + x = y thì có đa thức đơn giản hơn y2 + 4y -12 là tam thức bậc hai của biến y

Ta có : y2 + 4y -12 = y2 +6y - 2y -12 = (y+6)(y-2) = (x2 + x+6)( x2 + x -2) =(x2 + x+6)( x2 +2x-x -2)

=(x2 + x+6)[x ( x +2)- ( x +2) ]

=(x2 + x+6)(x+2)(x-1)

6 = 1.6 =2.3 không có hai thừa số nào có tổng bằng 1 - cách 1 phần I)

Ví dụ 8 : Phân tích đa thức (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- 6 thành nhân tử

Giải Đặt (x2+ 3x + 1) = y

Ta có : (x2+ 3x + 1) (x2+ 3x + 2)- 6 =y(y + 1 ) - 6 = y2 + y - 6 = y2 + 3y - 2y - 6

= (y + 3)(y - 2) = (x2+ 3x + 1 +3)( x2+ 3x + 1 -2) = (x2+ 3x + 4)( x2+ 3x -1)

IV Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức

( phơng pháp hạ bậc đa thức )

Tổng quát : cho đa thức f(x); a là nghiệm của f(x) nếu f(a) = 0 nh vậy nếu f(x)

chứa nhân tử x - a thì a phải là nghiệm của đa thức

tử không đổi

Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử x + 1

Ví dụ 9 : Phân tích đa thức x3 + 3x2 -4 thành nhân

Nếu đa thức có nghiệm là a thì nhân tử còn lại có dạng x2 + bx +c

Suy ra: a.c = -4, tức là a phải là ớc của -4 (± 1; ± 2; ±4) Kiểm tra thấy 1 là nghiện của đa thức Nh vậy đa thức chứa nhân tử x – 1 Do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1

Cách 1: x3 + 3x2 -4 = x3 - x2+ 4x2 -4 = x2(x-1) +4(x-1) = (x-1)(x2 +4x+4)

= (x-1)(x+2)2

Cách 2: x3 + 3x2 -4 = x3 -1+ 3x2 -3 =(x-1)(x2 + x +1) +3(x-1)(x+1)

=(x-1)( x2 + x +1 +3x+3) =(x-1)(x2 +4x+4) = (x-1)(x+2)2

ở ví dụ trên ta càng nhận thấy tổng các hệ số của đa thức là 1+3-4 = 0 nên đa thức chứa nhân tử x-1 Do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1

Ví dụ 10 : Phân tích đa thức 2x 3 - 5x 2 + 8x - 3 thành nhân tử

Các ớc của -3 là : ± 1 ; ± 3 mà ± 1; ± 3 không là nghiệm của đa thức Nh vậy

p

với p là ớc của hạng tử không đổi, q là ớc dơng của hạng tử cao nhất.

Nh vậy trong đa thức trên nghiệm hữu tỉ nếu có chỉ có thể là : -1 ; -

2

1

; - 3 ; -

2 3

Kiểm tra thấy x=

2

1

là một nghiệm của đa thức nên đa thức chứa nhân tử

x-2

1 hay 2x-1

Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung 2x-1

Ta có: 2x 3 - 5x 2 + 8x - 3 =2x3 - x2-4x2+2x+6x-3

=x2(2x-1)-2x(2x-1)+3(2x-1) =(2x-1)(x2-2x-3)

V Phơng pháp hệ số bất định

Ví dụ 11: Phân tích đa thức 2x3-5x2+8x-3 thành nhân tử

Giải : Nếu đa thức tiện phân tích đợc thành nhân tử thì phải có dạng

(ax+b)(cx2+dx+ m) = acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm

Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho 2x3-5x2+8x-3 , ta đợc:

2x3-5x2+8x-3 = acx3+(ad+bc)x2+(am+bd)x+bm

Suy ra : a.c = 2 ; ad+bc = -5 ; am+bd = 8 ; b.m = -3

Có thể giả thiết a>0 (vì nếu a <0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử) Do đó a =2 hoặc

a =1

Xét a =2 thì c =1 suy ra : 2d+b = -5 ; 2m+bd =8 ; bm = - 3

=> b có thể là ± 1 hoặc ± 3

Xét b = - 1 thì m = 3 => d = - 2 thoả mãn các điều kiện trên

=> a = 2 ; b = - 1 ; c = 1 ;d = - 2 ; m = 3

VI Phơng pháp xét giá trị riêng

Ví dụ 12 : Phân tích đa thức P= ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) thành nhân tử

Giải

Sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng ta có Nếu ta thay a bởi b thì P= 0+ bc(b-c) + bc(c-b) =0 ,nên p chia hết cho a-b vai trò của a,b,c nh nhau trong đa thức nên p chia hết cho (a-b)(b-c)(c-a)

Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức chia (a-b)(b-c)(c-a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thơng là hằng số k

ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)=k(a-b)(b-c)(c-a)

Trong đẳng thức trên cho ta các biến nhận giá trị riêng a=2 ; b=1 ; c=0, ta đợc : 2.1.1+0 +0 =k.1.1.(-2)

2 = -2k => k=-1 Vậy P = (a-b)(b-c)(c-a)

Ví dụ 13 : Phân tích đa thức Q = (a+b+c)3-a3-b3-c3 thành nhân tử

Giải Sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng ta có Nếu ta thay a bởi -b thì Q= (0+c)3+b3-b3-c3=0 Vậy Q chia hết cho (a+b) vai trò của a,b,c nh nhau trong

đa thức nên Q chia hết cho (a+b)(b+c)(c+a)

Trong phép chia đó, đa thức bị chia Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức chia (a+b)(b+c)(c+a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thơng là hằng

số k

(a+b+c)3-a3-b3-c3 = k(a+b)(b+c)(c+a)

Cho biến nhận các giá trị riêng a=0; b=1; c=2 ta có : (0+1+2)3-0 -13-23 = k(0+1)(1+2)(2+0)

18 = 6 k => k=3

Vậy : (a+b+c)3-a3-b3-c3 = 3(a+b)(b+c)(c+a)

*Chú ý : Khi đa thức có nhiều biến số và vai trò các biến nh nhau trong đa thức thì ta sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng nh trên.

Chơng III

phát huy trí lực của học sinh qua việc Phân tích đa thức thành nhân tử

I Bài toán chứng minh sự chia hết

Ví dụ 1 : Chứng minh rằng : x3 - x chia hết cho3 với mọi số nguyên x

Giải : Ta có P = x3 - x =x(x2 -1) = x(x+1)(x-1)

Vì x nguyên nên x+1,x-1 là số nguyên Do đó:

P = (x+1) x (x-1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp sẽ chia hết cho 3 Vậy P 3 ∀x ∈Z.

Ví dụ 2 : Chứng minh rằng : x5 - 5x3 + 4x chia hết cho 120 với mọi số nguyên x

Giải : Ta có M = x5 -5x3 + 4x

= x(x4-5x2+4)=x( x4- x2-4x2+4)

=x[ x2 (x2-1)-4(x2-1)]= x(x2-1) (x2-4)

=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)

M Là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên M 2;3;4;5 Vì M 2 và M 4 nên M 8 ( 8 là BCNN của 2và 4)

Vậy M 8.3.5 =120 ( vì 3;8;5nguyên tố cùng nhau từng đôi một )

Ví dụ 3 : Chứng minh đa thức x3- x2 +x -1 chia hết cho đa thức x-1

Giải : Ta có P = x3- x2 +x -1= x2(x-1)+(x-1) = (x-1)(x2 +1)

Đa thức P chứa nhân tử x-1 nên P  (x-1)

Để giải các bài toán trên tôi đã đi phân tích các đa thức bị chia thành nhân tử (

sử dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử ) để biến đa thức chia thành tích sau

đó tiếp tục sử dụng các kiến thức về tính chia hết suy ra điều phải chứng minh