Chuyên B i d ng HSG Toán 9 n m h c 2011-2012
DÙNG NG TH C
CH NG MINH B T NG TH C
-A Ki n th c s d ng:
Các B T s d ng trong chuyên :
1 2(a2 + b2 ) (a + b)2 2 a3 + b3 ab(a + b) 3 a2 + b2 + c2 -2(ab + bc + ca)
Ví d 1: Cho x, y là các s th c sao cho x + y ≠ 0 Ch ng minh r ng: x 2 + y 2 + 1 2
( xy)
x y
+ + 2
Bài gi i:
t z = 1 xy
x y
+
− + ⇒ xy + yz + zx = -1 Khi ó ta có: VT = x2+ y2 + z2 -2(xy + yz + zx) = 2
Ví d 2: Cho x, y z, là các s th c d ng Ch ng minh r ng:
2
x y z x y z P
x y y z z x
+ +
= + + ≥ + + +
Bài gi i:
Cách 1: Dùng B T Cauchy
Ta có:
2
4
x x y
x
x y
+ + ≥
2
4
y y z
y
y z
+ + ≥
2
4
z z x
z
z x
+ + ≥
P=
2
x y z x y z
x y z
x y y z z x
+ + + + + ≥ + +
2
x y z x y z
x y y z z x
+ + + + ≥
+ + + Cách 2: Áp d ng b t ng th c Svac-x ta có: P =
x y z x y z x y z
y z z x x y x y z
+ + + +
+ + + + + Cách 3: Ta có: (x –y) + (y – z) + (z – x) = 0 Mà x – y =
x y
x y
− + ; y - z =
y z
y z
− + ; z – x =
z x
z x
− + nên
P = Q, trong ó:
P
x y y z z x
= + + + + + và
Q
x y y z z x
= + + + + +
Do ó: 2P = P + Q =
x y
x y
+ + +
y z
y z
+ + +
z x
z x
+ +
2
x y
x y
+ + +
2
y z
y z
+ + +
2
z y
z x
+ + = x + y +z Suy ra:
2
x y z x y z P
x y y z z x
+ +
= + + ≥
BÀI T P LUY N T P
Bài 1: Cho x, y, z là các s th c d ng Ch ng minh r ng:
a/
3
x xy y y yz z z zx x
+ +
+ + + + + +
b/
x y x y y z y z z x z x
+ +
Bài gi i:
Câu a: Ta có: x– y+ y– z+ z– x= 0 nên:
x xy y y yz z z zx x
− + − + − = + + + + + +
Trang 2Chuyên B i d ng HSG Toán 9 n m h c 2011-2012
P
x xy y y yz z z zx x
+ + + + + + ;
Q
x xy y y yz z z zx x
+ + + + + +
Ta có b t ng th c:
1 3
a ab b
a ab b
− + ≥ + + .
Th t v y:
a ab b a ab b a ab b a b
a ab b a ab b a ab b
− + = − + = + + + − ≥
Khi ó: 2P = P + Q =
x xy y y yz z z zx x
+ + + + + + + + + + +
(x y x)( xy y ) (y z y)( yz z (z x z)( zx x )
x xy y y yz z z zx x
+ − + + − + + − +
x+y y+z z+x x+ +y z
≥ + + =
ó suy ra:
3
P
x xy y y yz z z zx x
+ +
Câu b: Ta có:
x y x y y z y z z x z x
P
x y x y y z y z z x z x
+ + + + + + ;
Q
x y x y y z y z z x z x
Xét 2P = P + Q =
x y x y y z y z z x z x
Áp d ng b t ng th c 2(a2 + b2 ) (a + b)2⇔ a2 + b2 1
2(a + b)2 , ta có:
x4 + y4 1
2(x2 + y2)2 1
4 (x2 + y2)(x + y)2⇒ 2 42 4
x y x y
x y x y
+ ≥ + + +
ng t :
y z y z z x z x
y z y z z x z x
+ ≥ + + ≥ +
x+ +y z
≥ ⇒ P
4
x+ +y z
≥
Bài 2: Cho a, b, c ôi m t khác nhau t M =
b c c a + c a a b + a b b c
− − − − − −
Ch ng minh r ng:
a/ M = -1 b/
b c + c a + a b ≥
i gi i:
a/ Dành cho các h c sinh yêu quý!
b/ Áp d ng b t ng th c: x2+ y2 + z2 -2(xy + yz + zx) ta có:
b c + c a + a b ≥ −
− − − (( )( ) ( )( ) ( )( )
b c c a + c a a b + a b b c
Trang 3Chuyên B i d ng HSG Toán 9 n m h c 2011-2012
Bài 3: Cho a, b, c phân bi t khác 0 t N = ( )( ) ( )( ) ( )( )
a b b c b c c a c a a b
a b b c b c c a c a a b
+ + + + + + + +
− − − − − −
Ch ng minh r ng:
9
a ab b b bc c c ca a
a b b c c a
+ + + + + + + + ≥
i gi i:
a b
+
=
− ⇒ x 1 2a ;x 1 2b
a b a b
+ = − =
b c y
b c
+
=
− ⇒ y 1 2b ;y 1 2c
b c b c
+ = − =
c a z
c a
+
=
− ⇒ z 1 2c ;z 1 2a
c a c a
+ = − =
Do ó: (x + 1)(y + 1)(z + 1) = (x - 1)(y - 1)(z - 1)⇒ xy + yz + zx = -1 ( pcm)
b/ Ta có 4(a2 + ab + b2) = 3(a + b)2 + (a – b)2
a b b c c a
a b b c c a
+ + + + + +
Áp d ng B T: x2+ y2 + z2 -2(xy + yz + zx) ta có:
a b b c c a
a b b c c a
+ + + + + ≥ −
a b b c b c c a c a a b
a b b c b c c a c a a b
+ + + + + + + +
a b b c c a
a b b c c a
+ + + + + +
9 4
Bài t p tham kh o:
Bài 1: Cho a, b, c là các s th c d ng Ch ng minh r ng:
a b a ab b b c b bc c c a c ca a
+ +
+ + + + + + + + +
Bài 2: Cho a, b, c là các s d ng th a mãn ab + bc + ca = 3abc Ch ng minh r ng:
a a ab b +b b bc c +c c ca a ≥
+ + + + + +
Bài 3: Cho a, b, c khác -1 Ch ng minh r ng:
1 (a 1) +(b 1) +(c 1) +(a 1)(b 1)(c 1)≥
+ + + + + +
Bài 4: Cho a, b, c d ng và ôi m t khác nhau Ch ng minh r ng:
(a b) +(b c) +(c a) ≥ab bc ca
(a b b c)( )+(b c c)( a)+(c a a b)( ) =
− − − − − − )
- Còn ti p …