ÔN TẬP VỀ TỔ HỢP

Tính xác suất để trong 10 tấm thẻ được chọn ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 10.. Tính xác suất để 4 viên bi được

ÔN TẬP VỀ TỔ HỢP – XÁC SUẤT - NHỊ THỨC NEWTON

I Tổ hợp – xác suất

1.Tổ hợp – xác suất cơ bản

Bài 1 Có 40 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 40 Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ Tính xác suất để trong 10

tấm thẻ được chọn ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 10

Bài 2 Một hôp đựng chứa 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 viên

bi Tính xác suất để 4 viên bi được chọn có đủ 3 màu và số bi đỏ nhiều nhất

Bài 3 Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp anh em

sinh đôi Có bao nhiêu cách chọn một nhóm gồm 3 học sinh trong số 50 học sinh nói trên đi dự Đại hội cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào?

Bài 4 Cho tập E={1, 2,3, 4,5} Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số gồm 3 chữ số đôi một

khác nhau thuộc tập E Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5.

Bài 5 Một đội xây dựng gồm 3 kĩ sư, 7 công nhân lập một tổ công tác gồm 5 người Hỏi có bao nhiêu

cách lập được tổ công tác gồm 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công nhân tổ viên

Bài 6 Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 6 viên bi vàng (các viên bi có kích thước giống nhau,

chỉ khác nhau về màu) Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó Tính xác suất để 4 viên bi chọn ra không có

đủ cả ba màu

Bài 7 Cho tập A = {1, 2, 3, … , 11} Chọn ngẫu nhiên 3 số từ tập A Tính xác suất để tổng ba số được

chọn bằng 12

Bài 8 Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai

chữ số 1 và 3

b) Một chiếc hộp có chín thẻ đánh số liên tiếp từ 1 đến 9 Rút ngẫu nhiên hai thẻ (không kể thú tự) rồi nhân hai số ghi trên hai thẻ với nhau Tính xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn

Bài 9 Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 12 đội bóng tham dự, trong đó có 9 đội nước ngoài và 3 đội của

Việt Nam Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A, B, C mỗi bảng 4 đội Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở ba bảng khác nhau

Một nhóm gồm 6 học sinh có tên khác nhau, trong đó có hai học sinh tên là An và Bình Xếp ngẫu nhiên nhóm học sinh đó thành một hàng dọc Tính xác suất sao cho hai học sinh An và Bình đứng cạnh nhau

Bài 10 Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường

thẳng d2 có n điểm phân biệt ( n≥2,n N∈ ) Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho Tìm

n

Bài 11 Cho m bông hồng trắng và n bông hồng nhung khác nhau Tính xác suất để lấy được 5 bông hồng

trong đó có ít nhất 3 bông hồng nhung? Biết m, n thỏa mãn các điều kiện sau:

3

9 19

m

C − +C + + < A và P n−1=720

Bài 12 Có 20 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 20, chọn ngẫu nhiên ra 6 tấm thẻ Tính xác suất để có 3 tấm thẻ

mang số lẻ ,3 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 4

Bài 13 Có 7 cuốn sách giáo khoa toán giống nhau, 8 cuốn sách giáo khoa vật lý giống nhau và 9 cuốn

sách giáo khoa Hóa Học giống nhau Đem làm giải thưởng cho 12 học sinh, mỗi học sinh hai cuốn sách khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách nhận phần thưởng của các học sinh nói trên

ĐA: 27720

Bài 14 Có bao nhiêu cách chia 60 đồ vật giống nhau cho 4 người sao cho mỗi người được ít nhất 5 đồ vật.

ĐA: 12341

2 Sử dụng các quy tắc tính xác suất

Bài 15 Có 2 bình, mỗi bình chứa 3 viên bi chỉ khác nhau về màu.Một bi xanh, một bi vàng, một bi đỏ

Lấy ngẫu nhiên mỗi bình một viên bi Tính xác suất để được hai viên bi khác màu

Bài 16 Trong một hộp có 20 quả cầu giống nhau gồm 12 quả trắng và 8 quả màu đen

1/ Tính xác suất để khi lấy bất kì 3 quả cầu có đúng 1 quả màu đen

2/ Tính xác suất để khi lấy bất kì 3 quả có ít nhất 1 quả màu đen ( ĐHNNHN/96)

Bài 17 Một bình đựng 5 viên bi xanh , 3 viên bi vàng , 4 viên bi trắng chỉ khác nhau về màu Lấy ngẫu

nhiên 3 viên bi Tính xác suất các biến cố sau :

1/ A : Lấy được 3 bi xanh

2/ B : Lấy được ít nhất 1 bi vàng

3/ C : Lấy được 3 viên bi cùng màu (ĐHNN1HN/96)

Bài 18 Một hộp có 20 viên bi , trong đó có 12 viên bi màu đỏ và 8 viên bi màu xanh Lấy ngẫu nhiên 3

viên bi Tìm xác suất để :

a/ Cả 3 viên bi đều màu đỏ ;

b/ Cả 3 viên bi đều màu xanh ;

c/ Có ít nhất một viên bi màu đỏ ( ĐHCS KC/97)

Bài 19 Trong một hộp có 12 bóng đèn giống nhau , trong đó có 4 bóng hỏng Lấy ngẫu nhiên 3 bóng

.Tính xác suất để :

a/ Được 3 bóng tốt

b/ Được 3 bóng hỏng

c/ Được đúng 1 bóng tốt (ĐHAN tpHCM99)

d/ Được ít nhất 1 bóng tốt

Bài 20 Một đợt xổ số phát hành 20 000 vé trong đó có 1 giải nhất , 100 giải nhì , 200 giải ba , 1000 giải

tư và 5000 giải khuyến khích Tìm xác suất để một người mua 3 vé , trúng 1 giải nhì và hai giải khuyến khích (ĐHGTVT/ 97)

Bài 21 Một hộp đựng 6 viên bi xanh , 4 viên bi đỏ có kích thước và trọng lượng như nhau Lấy ngẫu

nhiên 5 viên bi Tìm xác suất để lấy được ít nhất 3 viên bi đỏ ( ĐHDL KTCN99)

Bài 22 Hai máy bay nem bom một mục tiêu, mỗi máy bay ném 1 quả với xác suất trúng mục tiêu lần lượt

là 0,7 và 0,8 Tìm xác suất để mục tiêu bị trúng bom (0,94)

Bài 23 Một nhà xuất bản phát hành ba tên sách A, B, C Có 50% học sinh mua sách A; 70% học sinh mua

sách B; 60% học sinh mua sách C; 30% học sinh mua sách A và B; 40% học sinh mua sách B và C; 20% mua sách A và C; 10% học sinh mua cả ba tên sách A, B, C Chọn ngẫu nhiên một học sinh a Tính xác suất để học sinh đó mua sách A hoặc sách B

a Tính xác suất để em đó mua mua ít nhất một trong ba tên sách trên

b Tính xác suất để em đó mua đúng hai trong ba tên sách nói trên

ĐS: 0,9 – 1 – 0,6

Bài 24 Trong 100 xe máy ở cửa hàng có 20 xe máy không bị trầy xước Lấy ngẫu nhiên 3 xe máy liên

tiếp Tính xác suất để cả 3 xe không bị trầy xước

Bài 25

a Gieo một con súc sắc liên tiếp 6 lần Tính xác suất để ít nhất có một lần ra mặt lục

b Gieo một cặp hai con súc sắc 24 lần Tính xác suất để ít nhất có một lần cả hai con đều ra mặt

lục ( 1- (5/6)6 – 1-(35/36)24 )

Bài 26 Gieo đồng thời 3 con súc sắc Anh là người thắng cuộc nếu có xuất hiện ít nhất “ hai mặt lục”

Tính xác suất để trong 5 ván chơi anh thắng ít nhất là 5 ván (52032/275 )

Bài 27 Một sọt cam rất lớn dược phân loại theo cách sau Chọn ngẫu nhiên 20 quả cam làm đâị diện Nếu

mẫu không có quả cam nào hỏng nào thì sọt cam được xếp loại 1 Nếu có 1 hoặc 2 quả hỏng thì sọt cam xếp loại 2 Nếu có 3 quả hỏng trở lên thì sọt cam xếp loại 3 Giả sử tỉ lệ cam hỏng là 3% Hãy tính xác suất để :

1 Sọt cam được xếp loại 1

2 sọt cam được xếp loại 2

3 Sọt cam được xép loại 3

Bài 28 một máy bay có 5 động cơ, trong đó có 3 động cơ ở cách phải, hai động cơ ở cánh trái Mỗi động

cơ ở cánh phải có xác suất bị hỏng là 0,1, còn mỗi động cơ ở cánh trái có xác suất bị hỏng 0,05 Các động

cơ hoạt động độc lập Tính xác suất để máy bay thực hiện chuyến bay an toàn trong các trường hợp sau đây:

a Máy bay chỉ bay được nếu có ít nhất hai động cơ làm việc (0,99984)

b Máy bay chỉ bay được khi trên mỗi cánh của nó có ít nhất một động cơ làm việc (0,9965)

Bài 29 Một máy bay có ba bộ phận A, B, C cố tầm quan trọng khác nhau Máy bay sẽ rơi khi có hoặc 1

viên đạn trúng vào A, hoặc hai viên đạn trúng vào B, hoặc 3 viên đạn trúng vào C Giả sử các bộ phận A,

B, C lần lượt chiếm 15%, 30%, 55% diện tích máy bay Tính xác suất để máy rơi, nếu

a Máy bay bị trúng hai viên đạn (0,3675)

b Máy bay trúng ba viên đạn (

Bài 30 Một người bắn 3 viên đạn Xác suất để trúng cả 3 viên vòng 10 là 0,008, xác suất để 1 viên trúng

vòng 8 là 0,15 và xác suất để 1 viên trúng vòng dưới 8 là 0,4 Tính xác suất để xạ thủ đạt it nhất 28 điểm ( Các vòng bắn dĩ nhiên độc lập với nhau) (0,0935)

Bài 31 Trong một thành phố, tỉ lệ người thích xem bóng đá là 65% Chọn ngẫu nhiên 12 người Tính xác

suất để trong đó có đúng 5 người thích xem bóng đá (0,0591)

Bài 32 Chọn ngẫu nhiên một vé số có 5 chữ số Tính xác suất để số của vé ấy không có chữ số 1, hoặc

không có chữ số 5

Bài 33 Hai hộp bi mỗi hộp chứa 8 bi trắng, 2 bi đỏ Cho hai người mỗi người một hộp Từ hộp của mình,

mỗi người lấy ngẫu nhiên 3 viên Tính xác suất để hai người lấy được số bi đỏ như nhau (33/75)

Bài 34 Một bài thi trắc nghiệm gồm 12 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 5 câu trả lời, trong đó chỉ có một câu trả

lời đúng Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 4 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 1 điểm Một học sinh kém làm bài bằng cách chọn hú họa một câu trả lời Tính xác suất để

a Anh ta được 13 điểm (0,0532)

b Anh ta bị điểm âm (0,5583)

Bài 35 Trong một trò chơi điện tử, xác suất để game thủ thắng trong một trần là 0,4 (không có hòa) Hỏi

phải chơi tối thiểu bao nhiêu trận để xác suất thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó lớn hơn 0,95?

Bài 36 Phải gieo ít nhất bao nhiêu con súc sắc để xác suất có ít nhất một mặt 6 chấm xuất hiện là p >0,9

II Nhị thức Newton

Bài 37 Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 7 2 2

n

x x

 − 

  , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 4C n3+1+2C n2 =A n3

Bài 38 Cho x là số thực dương Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newtơn của

, biết rằng : A n2 =C n n−2+C n n−1+4n+6 (n N và * A C theo thứ tự lần lượt là số chỉnh n k, n k

hợp , số tổ hợp chập k của n phần tử )

Bài 39 Tìm số hạng chứa x2 trong khai triển Niu–tơn của 2 3

n

x x

  , với x > 0 và n là số nguyên dương thỏa C n3+A n2 =5C n2(trong đó C n k, A lần lượt là tổ hợp chập k và chỉnh hợp chập k của n) n k

Bài 40 Với n là số nguyên dương , chứng minh: C n0+2C1n+3C n2 + + + (n 1)C n n = +(n 2)2n−1

Bài 41 Tính tổng S=C n0−2C1n +3C n2−4C n3+ + − ( 1) (n n+1)C n n

Bài 42 Tính tổng: S =12 1C2011+22C20112 +32C20113 + + 20102C20112010+20112C20112011

Bài 43 Tìm số hạng chứa x trong khai triển biểu thức:3

1

( 3 )n

x

+

n n

Bài 44 Tìm số nguyên dương n thỏa

( ) 0 1 1 1 2 1 3 1

n

n

+

Bài 45 Tính tổng: 20130 22 1.2 12013 23 1.2 2 20132 22014 1.22013 20132013

Bài 46 Tìm hệ số của số hạng chứa x2 trong khai triển nhị thức niwtơn của

4

1 2

n

x x

  ,biết rằng n là

số nguyên dương thảo mản: 2 0 22 1 23 2 2 1 6560

n n

+

Bài 47 Tìm hệ số của x trong khai triển của đa thức 4 f x( ) =(x2+ +x 1)n biết rằng n là số tự nhiên thỏa

n n

Bài 48 Chứng minh rằng:

Bài 49 Tìm hệ số chứa số hạng x9 trong khai triển

3 3 4

6

2 x n x

x

+

, x > 0 Trong đó n là số tự nhiên thỏa

n

n

Bài 50 Tìm số n nguyên dương thỏa mãn:

C12 1n+ 22n−2C2 12n+ 3.22 1n− +3C2 13n+ 3 22 2n−2 − −L 2nC2 12n n+ 32 1n−.2 (2+ n+1)C2 12 1 2n n++ 3 n =2013

Bài 51 Tìm hệ số của x trong khai triển 7 (1+x2+x3)n thành đa thức, biết n là số nguyên dương thỏa

mãn biểu thức: C n0+C1n +C n2+C n3 =64

Bài 52 Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 6C n n+−11=A n2+160 Tìm hệ số của x trong khai triển 7

(1 2− x3) (2+x)n

Bài 53 Tính: 20 20100 21 12010 22 20102 23 20103 22010 20102010

Bài 54 Khai triển đa thức: (1 3 )− x 20 =a0+a x a x1 + 2 2+ + a x20 20 Tính tổng:

0 2 1 3 2 21 20

Bài 55 Chứng minh rằng C1000 −C1002 +C1004 −C1006 + − C10098 +C100100 = −2 50

Bài 56 Tính tổng S C= 12013+C20135 + +C20132013

Bài 57 Tính tổng: S C= 20090 +C20094 +C20098 + + C20092004+C20092008

Bài 58 Tính tổng S C= 12011−3C20013 +5C20115 − 2011− C20112011