Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn tâm O và G là trọng tâm của tam giác ABC.. Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB và G’ là trọng tâm tam giác MNP.. Chứng
Trang 1VÉC TƠ VÀ HỆ THỨC LƯỢNG
Bài 1 Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp Chứng minh rằng
sin A IAuur+sin B IBuur+sin C ICuur=0.r
Bài 2 Cho hình bình hành ABCD Lấy M, N lần lượt trên cạnh AB, CD Gọi
thứ tự di chuyển trên AB, CD
Bài 3 Cho hình vuông ABCD cạnh có độ dài là a Gọi ; E F là các điểm xác định bởi =
uur 1uuur
, 3
1
,
2
đường thẳng BF cắt đường thẳng AE tại điểm I.
a Tính giá trị của
EA CE theo a
b Chứng minh rằng AIC900.
Bài 4 Cho tam giác ABC M thuộc cạnh AC sao cho 2
MA MC , N thuộc BM sao cho
⃗ NB=−3.⃗ NM , P thuộc BC sao cho uurPB=k PC.uuur Tìm k để ba điểm A, N, P thẳng hàng.
Bài 5 Cho tam giác ABC không cân nội tiếp đường tròn tâm O và G là trọng tâm của tam giác
ABC Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm tam giác OBC, OCA, OAB và G’ là trọng tâm tam giác MNP Chứng minh rằng O, G, G’ thẳng hàng.
Bài 6 Cho tam giác ABC không vuông và có các cạnh BC=a CA, =b AB, =c Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn a2+ =b2 2c và 2 tanA+tanC=2 tanB thì tam giác ABC đều.
Bài 7 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi P, Q là hai điểm thoả mãn:3 PA 2 PB 0, ⃗
QA QC ⃗
Chứng minh rằng ba điểm P, Q, G thẳng hàng.
Bài 8 Cho tam giác ABC, M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC không trùng với B và C Gọi a, b, c
lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng:
Bài 9 Cho ABC có cạnh BC= ;a CA= ;b AB=c và S là diện tích.
a Chứng minh rằng
2 cot cot
2
c
S
b Cho M là điểm tùy ý, xác định vị trí của M để: f M( ) MA MB MB MC MC MA
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 10 Cho hình bình hành ABCD Gọi M là trung điểm cạnh CD; N là điểm thuộc cạnh AD
sao cho
1 3
Gọi G là trọng tâm tam giác BMN , đường thẳng AG cắt BC tại K Tính tỉ
Trang 2số
BK
BC
Bài 11 Cho tam giác ABC không có góc vuông và có các cạnh BC=a CA, =b AB, =c Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn a2+ =b2 2c và 2 tanAtanC2tanB thì tam giác ABC
đều
Bài 12 Cho tứ giác ABCD Gọi M N P , , tương ứng là trung điểm của AD BC , và AC Biết
=
MP PN Chứng minh rằng: uuuurAD =uuurBC.
Bài 13 Cho tam giác ABC có diện tích bằng
1
4 Đặt a = BC b , = AC c , = AB Chứng minh rằng cot A + cot B + cot C = + + a2 b2 c2.
Bài 14 Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :
+
=
+
sin 2 sin sin
2 cos os
A
B c C
Bài 15 Cho tứ giác MNPQ gọi A, B, C, D lần lượt là trung điểm của MN, NP, PQ, QM Chứng
minh rằng: MB NC PD QA 0
Bài 16 Lấy điểm M nằm bên trong tam giác ABC, đường thẳng AM cắt đường thẳng BC tại D
Chứng minh:
a S ABD.DCuuur+S ACD.DBuuur r=0
b S MBC.MA Suuur+ MCA.uuurMB S+ MAB.MCuuur=0.r Kí hiệu S XYZ để chỉ diện tích tam giác XYZ.
Bài 17 Cho tam giác ABC cân tại C (CA = CB) H là trung điểm của AB, D là hình chiếu của H
trên AC, M là trung điểm của HD Chứng minh rằng: CM BD
Bài 18 Cho DABC đều cạnh 3a P trên các cạnh AB sao cho AP=x (0< <x 3a)
và M, N thỏa
a Xác định vị trí điểm M, N và tính
uuuur
b Tìm x để AM PN
Bài 19 Cho có diện tích S, độ dài các cạnh a, b, c thỏa mãn
Tính góc A
Bài 20 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, điểm M thuộc cạnh AB, điểm N thuộc cạnh AD
sao cho uuuurAM=x AB.uuur, DNuuur=y DA.uuur (0£ x y, £1)
Tìm mối liên hệ giữa x, y sao cho CM vuông góc với BN
Bài 21 Cho tam giác ABC vuông ở A, gọi α là góc giữa hai đường trung tuyến BM và CN của
tam giác Chứng minh rằng
3 sin
5
2BM CM 0, CN 2AN 0
,
AB AC
ABC
2
Trang 3Bài 22 Cho tam giác ABC Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn:
2
3
4
Tìm
vị trí của điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng
Bài 23 Cho tam giác ABC vuông ở A; BC = a; CA = b; AB = c Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức:
b IB c IC a IA ; Tìm điểm M sao cho biểu thức ( 2 2+ 2 2- 2 2
2
b MB c MC a MA ) đạt giá trị
lớn nhất
Bài 24 Cho tam giác ABC có (b ≠ c) và diện tích là Kí hiệu lần lượt là độ dài của các đường
trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C Biết rằng 2m a2³ m2b+m c2
a Chứng minh rằng a2£ 4 cot S A
b Gọi O và G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác ABC; M là trung điểm của BC Chứng minh rằng góc ÐMGO không nhọn.
Bài 25 Cho tứ giác ABCD, gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc cạnh AD, BC sao cho
= = 2015
MA NB Chứng minh rằng uuuur=2015uuur+ 1 uuur
Bài 26 Cho tam giác ABC Điểm M thuộc cạnh BC sao cho MC 3 MB, I là điểm thuộc đoạn AM sao cho AI= 3IM Xác định điểm K thuộc cạnh AC sao cho ba điểm B I K , , thẳng hàng
Bài 27 Cho tam giác ABC có đường cao CH, HAB Các điểm I, K lần lượt là trung điểm của
các đoạn AB và CH Một đường thẳng d di động luôn song song với cạnh AB cắt cạnh AC tại M
và cạnh BC tại N
Vẽ hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q thuộc cạnh AB Gọi J là tâm của hình chữ nhật MNPQ Chứng minh I, J, K thẳng hàng
Bài 28 Cho tam giác ABC đều cạnh 3a Lấy các điểm M N P lần lượt trên các cạnh, , , ,
BC CA AB sao cho
4 , 2 ,
5
a
BM a CN a AP
Chứng minh AM^PN
Bài 29 Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A Trên các cạnh AB BC CA ta lần lượt lấy các , ,
điểm M N P sao cho , , = =
MB NC PA Chứng minh AN vuông góc với MP
Bài 30 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Gọi S là diện tích tam giác ABC, chứng
2
2 cot cot
c S
=
+
Bài 31 Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, E trên các đoạn AB, BC, CA sao cho
AM= AB BN= BC CE= CA
Chứng minh rằng: ANuuur uur uuur+BE+CM=0r
Trang 4Bài 32 Cho tam giác ABC có
b c
m c
b m Chứng minh rằng 2 cotA=cotC+cotB
Bài 33 Tính: cos 02 0+cos 12 0+cos 22 0+cos 32 0+cos 42 0+ + cos 1802 0
Bài 34 Cho tam giác đều ABC và các điểm M N P thỏa mãn BM k BC, , uuur= uuur,
2 3
CNuuur= CAuuur
,
4
15
AP= AB
uuur uuur
Tìm k để AM vuông góc với PN