BÀI TẬP KHỐI NÓN- KHỐI TRỤ -KHỐI CẦUBài 1: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng a.. a Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hì
Trang 1BÀI TẬP KHỐI NÓN- KHỐI TRỤ -KHỐI CẦU
Bài 1: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nó
c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60 0 Tính diện tích của thiết diện này
Giải:
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S
nên A∧ = B∧ = 45 0
* S xq = πRl = π.OA.SA = π.
2
a
.a =
2
2
a
π
Tính: OA =
2
a
(∆∨SOA tại O)
* S tp = S xq + S đáy =
2
2
a
π
+
2
2
a
π = 1 1 2
2
+ π
b) V = 1 2
3 π R h = 1 2
3 π OA SO =
1
Tính: SO =
2
a
(∆∨SOA tại O) c) * Thiết diện (SAC) qua đỉnh tạo với đáy 1 góc 60 0 :
Kẻ OM ⊥ AC ⇒ SM ⊥ AC ⇒ SMO∧
= 60 0
* S SAC = 1
2SM.AC =
1
2.
6 3
a .2 3
3
a = 2 2
3 a
* Tính: SM = 6
3
a
(∆∨SMO tại O⇒ SM = SO sin 600)
* Tính: AC = 2AM = 2 3
3 a
* Tính: AM = OA2 − OM2 = 3
3
a
* Tính: OM = 6
6
a (
∨
∆ SMO tại O)
Bài 2: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm Tính diện tích của thiết diện đó
Giải:
HD: a) * S xq = πRl = π.OA.SA = π.25.SA = 25π 1025
(cm 2 )
Tính: SA = 1025 (∆∨SOA tại O)
C M
45 a
S
B
Trang 2* S tp = S xq + S đáy = 25π 1025 + 625π
b) V = 1 2
3 π R h = 1 2
3 π OA SO = 1 2 2
25 20
3 π (cm 3 ) c) * Gọi I là trung điểm của AB và kẻ OH ⊥SI ⇒OH =
12cm
* S SAB = 1
2.AB.SI =
1
2.40.25 = 500(cm
2 )
* Tính: SI = OS.OI
OH =
20 12
.OI
= 25(cm) (∆∨SOI tại O)
* Tính: 12
OI = 2
1
OH - 2
1
OS ⇒ OI = 15(cm) (∆∨SOI tại O)
* Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm)
* Tính: AI = OA2 − OI2 = 20(cm) (∆∨AOI tại I)
Bài 3: Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
a) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 60 0 Tính diện tích tam giác SBC
Giải:
a) * Thiết diện qua trục là ∆SAB vuông cân tại S nên A∧ = B∧ =
45 0
* S xq = πRl = π.OA.SA = π. 2
2
a .a = 2 2
2
a
π
Tính: OA =
2
AB
= 2 2
a ; Tính: SA = a (
∨
∆ SOA tại O)
* S tp = S xq + S đáy =
2
a
π + 2
2
a
π = 2 1 2
2 ( + π ) a
b) V = 1 2
3 π R h = 1 2
3 π OA SO =
* Tính: SO = 2
2
a (
∨
∆ SOA tại O)c) * Kẻ OM ⊥BC ⇒SMO∧
= 60 0 ; * S SBC = 1
2 SM.BC = 1 2 2
3 a
* Tính SM = 2
3
a
(∆∨SOM tại O) * Tính: BM =
3
a
(∆∨SMB tại M)
Bài 4: Một hình trụ có đáy là đường tròn tâm O bán kính R ABCD là hình vuông nội tiếp trong đường tròn tâm O Dựng các đường sinh AA’ và BB’ Góc của mp(A’B’CD) với đáy hình trụ là 60 0
l
h O I H
B A
S
C
M
a 2
S
B
Trang 3a) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình trụ.
b)Tính thể tích khối đa diện ABCDB’A’.
Giải:
a Thể tích và diện tích toàn phần của hình trụ:
Ta có AA' (ABCD) '
⊥
0
' 60
ADA
AOD
∆ vuông cân nên AD=OA 2=R 2
Trong tam giác vuông ADA’, ta có:
0
h AA= =AD =R
Vậy V =πR h2 =πR3 6
TP
S = πRh+ πR = πR +
b Thể tích khối đa diện ABCDB’A’:
Ta có: CD⊥(AA D' ) và các đoạn AB, CD,A’B’ song song
và bằng nhau nên khối đa diện ABCDB’A’ là lăng trụ
đứng có đáy là tam giác AA’D và chiều cao là CD.
1
2
K
V =S CD= A
Bài 5: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh 2 3cm với AB là đường kính của đường tròn đáy tâm O Gọi M là điểm thuộc »AB sao cho ·ABM = 600.Tính thể tích của khối tứ diện ACDM.
Giải:
Ta có:
BM ^ AD, BM ^ AM Þ BM ^ (ADM)
BC AD P Þ BC (ADM) P
d[C, (ADM)] = d[B,(ADM)] = BM
Þ
ADM
OBM
D đều Þ BM = 3 Þ AM = AB 2 - BM 2 = 3
1
(1) V 3.3.2 3 3 cm
6
Bài 6: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho
c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 30 0 Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ
Giải:
HD: a) * S xq = 2πRl = 2π.OA.AA ’ = 2π.r r 3 = 2 3 πr 2
* S tp = S xq + 2S đáy = 2πr 2 3 + 2πr 2 = 2 ( 3 1) + πr 2
b) * V = π R h2 = π OA OO2 ′= π r r2 3 = π r3 3
c) * OO ’ //AA ’ ⇒ BA A∧
′ = 30 0
A
A’
C
B B’
O
r 3
H
A
O
O' A'
r
Trang 4* Kẻ O ’ H ⊥A ’ B ⇒O ’ H là khoảng cỏch giữa đường thẳng AB
và trục OO ’ của hỡnh trụ
* Tớnh: O ’ H = 3
2
r (vỡ ∆BA ’ O ’ đều cạnh r)
* C/m: ∆BA ’ O ’ đều cạnh r * Tớnh: A ’ B = A ’ O ’ = BO ’ = r
* Tớnh: A ’ B = r (∆∨AA ’ B tại A ’ )
Cỏch khỏc: * Tớnh O’ H = O A ′ ′2 − A H ′ 2 =
2
∨
∆ A ’ O ’ H tại H)
* Tớnh: A ’ H =
2
A B ′
=
2
r
* Tớnh: A ’ B = r (∆∨AA ’ B tại A ’
Bài 7: Một hỡnh trụ cú bỏn kớnh đỏy r = 5cm và khoảng cỏch giữa hai đỏy bằng 7cm.
a) Tớnh diện tớch xung quanh và diện tớch toàn phần của hỡnh trụ
b) Tớnh thể tớch của khối trụ
c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cỏch trụ 3cm Hóy tớnh diện tớch của thiết diện được tạo nờn
Giải:
HD: a) * S xq = 2πRl = 2π.OA.AA ’ = 2π.5.7 = 70π(cm 2 )
* OA = 5cm; AA ’ = 7cm
* S tp = S xq + 2S đỏy = 70π + 50π = 120π(cm 2 )
b) * V = π R h2 = π OA OO2 ′= π.5 2 7 = 175π(cm 3 )
c) * Gọi I là trung điểm của AB ⇒OI = 3cm
* SABB A′ ′ = AB.AA ’ = 8.7 = 56 (cm 2 ) (hỡnh chữ nhật)
* AA ’ = 7 * Tớnh: AB = 2AI = 2.4 = 8
* Tớnh: AI = 4(cm) (∆∨OAI tại I)
Bài 8: Bờn trong hỡnh trụ cú một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà A, B thuộc đờng tròn
đáy thứ nhất và C, D thuộc đờng tròn đáy thứ hai của hình trụ mặt phẳng hình vuông tạo với
đáy hình trụ một gúc 45 0 Tớnh thể tớch khối trụ.
Giải:
Gọi I, J là trung điểm của AB và CD
Ta cú : OI AB; IJ cắt OO ’ tại trung điểm M của
OO ’ MIO = 45 o là góc của mặt (ABCD) với đáy,
Do đú :
O I = ’
2
2
a
; R =
8
3 4
8
2 2
h = 2OM =
2
J
B
M' C'
D
O'
O
h
r
l
B' A' O'
I
A
Trang 5Vậy : V = πR 2 h = π 3 3 3 . 3 2
8a . a2 = π 16a
KHỐI CẦU
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA⊥(ABCD) và SA = a Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hính chóp theo a
Giải:
HD: a) * Gọi O là trung điểm SC
* Chứng minh: Các ∆SAC, ∆SCD, ∆SBC lần lượt
vuơng tại A, D, B
* OA = OB = OC = OD = OS =
2
SC ⇔
S(O;
2
SC
)
b) * R =
2
SC
= 1 2
2 a
* S =
2
2
3
2
π ÷ = π
; * V =
3 3
π ÷ =
Bài 3: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và đường chéo tạo
với đáy một góc 45o Tính thể tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ
Bài 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SA = a AC cắt BD tại O
a/ Chứng minh rằng O là tâm của mặt cầu (S) đi qua 5 điểm S, A, B, C, D và tính bán kính R của nó.
b/ Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
Giải:
∩
⇒
g
g
g
2
a) Gọi O = AC BD
a 2 Khi đó : OA = OB = OC = OD = (1)
2
2a
Vì SO (ABCD) SOA vuông tại O SO SA AO
4
a 2
2
a 2 Từ (1),(2) suy ra : OA = OB = OC = OD = OS =
2 năm điểm A,B,C,D,S cùng nằm trên mặt cầu tâm O ,
a 2 bán kính : R =
2
b/ V S ABCD SO
3
1
=
2
2
3
a a
2
3
1 3
a
V = (đvtt
Trang 6·
3
CAC' 45 ,AC' 2a
tâm O là trung điểm của AC'
= → = π
o
g
g
g
Bài 4 : Cho tứ diện ABCD cĩ DA = 5a và vuơng gĩc với mp(ABC), ∆ABC vuơng tại B và AB = 3a, BC = 4a
a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D
b) Tính bán kính của mặt cầu nĩi trên Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
Giải:
a) * Gọi O là trung điểm của CD.
* Chứng minh: OA = OB = OC = OD;
* Chứng minh: ∆DAC vuơng tại A ⇒ OA = OC = OD = 1
2CD
(T/c: Trong tam giác vuơng trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng
nửa cạnh ấy)
* Chứng minh: ∆DBC vuơng tại B ⇒OB = 1
2CD
* OA = OB = OC = OD = 1
2CD ⇔A, B, C, D ∈ mặt cầu S(O;
2 CD
)
b) * Bán kính R =
2
CD
= 1 2
AD AC = 1
2
AD +AB BC+
= 1
2
2
a
a + a + a =
* S =
2
2
5 2
2
π ÷÷ = π
; * V =
4
3 πR 3 =
3
3
π ÷÷ =
Bài 5: Cho hình chĩp S.ABC cĩ 4 đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba
cạnh SA, SB, SC đơi một vuơng gĩc Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đĩ.
Giải:
HD: * Gọi I là trung điểm AB Kẻ ∆ vuơng gĩc với mp(SAB)
tại I
* Dựng mp trung trực của SC cắt ∆ tại O ⇒ OC = OS (1)
* I là tâm đường trịn ngoại tiếp ∆SAB (vì ∆SAB vuơng tại S)
⇒OA = OB = OS (2)
* Từ (1) và (2) ⇒ OA = OB = OC = OS
Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA)
* R = OA =
+ = ÷ + ÷
4
+ +
O D
C
B A
c
b
O S
C
B
Trang 7* S =
2
4
4
+ +
π ữữ = π + +
* V =
3
+ +
π ữữ = π + + + +
Bài 6: Cho tứ diện SABC cú ba cạnh SA,SB,SC vuụng gúc với nhau từng đụi một với SA = 1cm,
SB = SC = 2cm Xỏc định tõm và tớnh bỏn kớnh của mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tớnh diện tớch của mặt cầu và thể tớch của khối cầu đú
Giải:
Gọi I là trung điểm của AB Từ I kẻ đường thằng ∆
vuụng gúc với mp(SAB) thỡ ∆ là trục của SAB∆ vuụng
Trong mp(SCI) , gọi J là trung điểm SC , dựng đường
trung trực của cạnh SC của ∆SCI cắt ∆ tại O là tõm của
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC
Khi đú : Tứ giỏc SJOI là hỡnh chữ nhật
Ta tớnh được : SI = 1AB 5
2 = 2 , OI = JS = 1 , bỏn kớnh R
= OS = 3
2
Diện tớch : S = 4 Rπ 2 = π9 (cm )2
Thể tớch : V = 4 R3 9 (cm )3
3π = π2
Bài 7: Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = a; AB = AC= b,
BAC= ° Xác định tâm và bán hình cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC.
Giải:
Gọi I là trọng tâm tam giác ABC thì I là tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác ABC; đờng thẳng (d) đi qua I , vuông
góc với mp(ABC).
mp trung trực của SA cắt (d) tại O, OA =OB = OC = OS nên
O là tâm mặt cầu.
2
= = + = ữ + ữ ữ = +
Bài 8: Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc đều ABC.A’B’C’ cú tất cà cỏc cạnh đều bằng a Tớnh thể tớch
của hỡnh lăng trụ và diện tớch của mặt cầu ngoại tiếp hỡnh lăng trụ theo a
Giải:
S
B O
I
Trang 82 3
Vlt AA '.SABC a
Gọi O , O’ lần lượt là tõm của đường trũn ngoại tiếp
ABC , A 'B'C '
∆ ∆ thớ tõm của mặt cầu (S) ngoại tiếp hỡnh
lăng trụ đều ABC.A’B’C’ là trung điểm I của OO’
Bỏn kớnh R IA AO2 OI2 (a 3)2 ( )a 2 a 21
Diện tớch : Smc 4 R2 4 (a 21)2 7 a2
π
Bài 9: Cho lăng trụ tam giác đều có đáy là tam giác đều các cạnh đều bằng a, cạnh bên bằng b
Tính thể tích mặt cầu đi qua các đỉnh của lăng trụ
Giải:
-Gọi O và O là tâm ’ ∆ABC và ∆A B C thì OO là’ ’ ’ ’
trục của các đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC và∆A B C’ ’ ’
-Gọi I là trung điểm OO thì IA = IB =IC = IA = IB’ ’ ’
= IC hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ’
-Bán kính mặt cầu là R = IA
Tam giác vuông AOI có: AO =
3
3 2
3 3
2
1
3
OI = 12OO ' = 21 AA ' = 2b
⇒AI 2 = OA 2 +OI 2 = 712
4 3
2 2
a + = ⇒ AI = 2a 37 V=
54 21 3
7 18
7 3
7
72.28 3
7 3
7 8 3
4
3
3
a
π
AI 2 = a + b ⇒ AI = a + b = R
3 2 3 4
123
V=
3π R = 3π 8.3 3 (4 a + 3 ) b =18 3.(4 a + 3 ) b
a
C
C' O
O'
A1
A1' B'
B I
A'
Bài 10: Cho hỡnh chúp tam giỏc đều cú cạnh đỏy bằng 6 và đường cao h = 1 Hóy tớnh diện tớch của mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp
Giải:
Trang 9Gọi hỡnh chúp đó cho là S.ABC và O là tõm đường trũn ngoại
tiếp của đỏy ABC Khi đú SO là trục đường trũn ngoại tiếp
tam giỏc ABC Suy ra : SO⊥(ABC)
Trong mp(SAO) dựng đường trung trực d của cạnh SA , cắt
SO tại I
I d IA IS IA IB IC IS
I SO IA IB IC
∈ ⇒ =
∈ ⇒ = =
Suy mặt cầu ngoại tiếp S.ABC cú tõm I và bỏn kớnh R = SI
Ta cú 2 2 3 2
Vỡ∆SAO vuụng tại O nờn SA = SO2+OA2 = 1 2 = 3+
Ta cú : Tứ giỏc AJIO nội tiếp đường trũn nờn :
SJ.SA SI.SO= ⇒SI = SJ.SA
SO =
2 SA 2.SO=
3 2.1=
3
2 Vậy bỏn kớnh
R = SI = 3
2.
Diện tớch mặt cầu : S 4 R= π 2 = π9 (đvdt)
Bài 11: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 30o Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Giải:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD Ta có SO b (ABCD),
SO là trục của ABCD, (SA, (ABCD)) = SAO = 30 o
Gọi M là trung điểm SA
Trung trực của SA cắt SO tại I ⇒ I là tâm mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp
⋄OIMA là từ giác nội tiếp ⇒ SI.SO = SM.SA
⇒ SI = SM SO SA
Với AO =
2
2
a ,
AS =
3
2 2
2 3
2 30
cos
a a
AO
SO = SA sin30 o =
6
a ⇒SI =
6 3
2 6
a
a a
= a 32
⇒ V Mcầu = 34π a3 32 32 = 98 32a3
a O
S
M
B A
I
Bài 12 : Cho hỡnh nún cú bỏn kớnh đỏy R và đường sinh tạo với mặt đỏy một gúc 60 0
1/ Tớnh diện tớch hỡnh xung quanh và thể tớch của hỡnh nún.
2/ Tớnh bỏn kớnh của mặt cầu nội tiếp trong hỡnh nún, suy ra thể tớch khối cầu đú.
3/ Một hỡnh trụ được gọi là nội tiếp hỡnh nún nếu một đường trũn đỏy nằm trờn mặt xung quanh của hỡnh nún, đỏy cũn lại nằm trờn mặt đỏy của hỡnh nún Biết bỏn kớnh của hỡnh trụ bằng một nửa bỏn kớnh đỏy của hỡnh nún Tớnh thể tớch khối trụ.
Trang 10* Câu 1:
SAB
∆ đều ⇒ SA=2R,SO=R 3
2
2 2
2
1
R SA
R
S xq = ∏ = Π ;
3
3
3
SO R
V = Π =Π
.* Câu 2
Tâm O ’ của mặt cầu thuộc SO
Bán kính mặt cầu r = O ’ O
3
3 3
SO
r = = ; V=
27
3 4 3
Π
* Câu 3
N trung điểm OB.; ON bán kính hình trụ: ON=
2
R
2
3 2
1
SO IO
8
3
3
IO
ON =Π