bài tập tiểu luận môn lý thuyết nội suy

Các dạng phương trình bậc ba giải bằng công thức Các Đa Nô tương đối phức tạp và khó nhớ tiểu luận này trình bài cách giải các dạng phương trình bậc ba bằng phương pháp nội suy dễ nhớ hơn và có nhiều ứng dụng trong toán học, nâng cao tư duy toán học cho học sinh khá ,giỏi.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC THÁI NGUYÊN

KHOA SAU ĐẠI HỌC

——————–o0o——————–

BÀI GIỮA KÌ MÔN LÝ THUYẾT NỘI SUY

Giáo viên giảng dạy: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

Học viên: Cù Thị Ngọc Mai

Lớp: K7Y

HƯNG YÊN 06 - 2015

Mở đầu

Trong chương trình toán học phổ thông đa số học sinh chỉ biết cách giải và biện luận các phương trình bậc thấp như phương trình bậc hai và phương trình bậc nhất Khi gặp phương trình bậc ba nếu như không phải là các phương trình dạng đặc biệt hay nhẩm được nghiệm là các em lúng túng Đây

là lí do em chọn viết bài tiểu luận "Giải phương trình bậc ba bằng phương pháp nội suy" dựa trên những kiến thức được thầy Nguyễn Văn Mậu giảng dạy Em muốn có nhiều thầy cô biết được phương pháp này để dạy cho các

em học sinh giải được tất cả các phương trình bậc ba mà không cần dùng số phức

Chương 1

Nội dung

1.1 Lý thuyết

Ta có các bất đẳng thức sau:

cos 3α = 4 cos3α − 3 cos α (1)

Nếu x ∈ (−1, 1) thì ta đặt x = cos α

Nếu x < −1 hoặc x > 1 thì ta đặt x = 1

2(a +

1

a)

4x3− 3x = 41

2(a +

1

a)

3

− 31

2(a +

1

a)

= 1

2(a

3 + 1

a 3 )

Như vậy

1

2(a

3 + 1

a3) = 4

1

2(a +

1

a)

3

− 31

2(a +

1

a) (2) 1

2(a

3 − 1

a 3 ) = 41

2(a −

1

a)

3

+ 31

2(a −

1

a) (3)

Bài toán 1.1.1 Giải phương trình 4x3− 3x = m,|m| < 1

Lời giải

m = cos α = cos(3.α

3)

Khi đó phương trình có các nghiệm là:

x1= cosα

3, x2,3= cos(α ± 2π

3 )

Bài toán 1.1.2 Giải phương trình 4x3− 3x = m,|m| > 1

Lời giải

m = 1

2(a

3 + 1

a3) suy ra a =p3 m ± √

m 2 − 1

Khi đó x 1 = 1

2(a +

1

a =

1 2

3

p

m + √

m 2 − 1 +p3 m − √

m 2 − 1
là nghiệm của phương trình đã cho

Ta chứng minh đây là nghiệm duy nhất.Thật vậy,

x 1 > 1 và 4x31− 3x 1 = m Khi đó phương trình:

4(x3− x 3

1 ) − 3(x − x1) = 0

⇔ (x − x1)(4x2+ 4x1x + 4x21− 3) = 0

Phương trình4x 2 + 4x 1 x + 4x21− 3 = 0 có∆0 = 4x21− 4(4x21− 3) = 12(1 − x21) < 0

Vậy x = x1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Bài toán 1.1.3 Giải phương trình 4x3− 3x = 1

Lời giải

4x3− 3x = 1 ⇔ (x − 1)(2x + 1)2 = 0

Do vậy phương trình đã cho có một nghiệm đơn x = 1 và một nghiệm kép

x = −1

2

Bài toán 1.1.4 Giải phương trình 4x3− 3x = −1

Lời giải

4x3− 3x = −1 ⇔ (x + 1)(2x − 1)2 = 0

Do vậy phương trình đã cho có một nghiệm đơn x = −1 và một nghiệm kép

x = 1

2

Bài toán 1.1.5 Giải phương trình 4x3− 3x = m, m ∈R

Lời giải

Phương trình này luôn có nghiệm duy nhất với mọi m do

• Phương trình bậc ba luôn có nghiệm

• Vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm hằng

Đặt m = 1

2(a

3 − 1

a 3 ) suy ra a =p3 m ± √

m 2 + 1

Khi đó x1 = 1

2(a −

1

a =

1 2

3

p

m + √

m 2 + 1 +p3 m − √

m 2 + 1
là nghiệm của phương trình đã cho

Bài toán 1.1.6 Giải và biện luận phương trình:

at3+ bt2+ ct + d = 0, a 6= 0, a, b, c, d ∈R

Lời giải

Đặt t = − b

3a + y ta được phương trình y3+ py + q = 0

• Nếu p = 0 thì y = √ 3

−q suy ra t = − b

3a +

3

√

−q

• Nếu p > 0 Đặt y = 2

qp

3x ta được 4x3+ 3x = m (Bài toán (1.1.5))

• Nếu p < 0 Đặt y = 2

r

−p

3 x ta được 4x3− 3x = m (Bài toán (1.1.1), (1.1.2), (1.1.3) hoặc (1.1.4))

Kết luận: Theo cách này thì không có phương trình bậc ba không giải được

1.2 Một vài ví dụ áp dụng

Bài toán 1.2.1 Giải phương trình x3− 12x + 16 = 0

Lời giải

Đặt x = 4y ta được phương trình

64y3− 48y + 16 = 0

⇔4y3− 3y = −1 (∗)

Theo bài (1.1.4) phương trình (*)có hai nghiệm y1 = −1, y2 = 1

2 Suy ra

x 1 = −4, x 2 = 2

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = −4, x2 = 2

Bài toán 1.2.2 Giải phương trình 2x3− 3x2+ 6x + 4 = 0

Lời giải

Đặt x = y + 1

2 ta được phương trình

2(y + 1

2)

3 − 3(y + 1

2)

2 + 6(y + 1

2) + 4 = 0

⇔2(y3+3

2y

2 +3

4y +

1

8) − 3(y

2 + y + 1

4) + 6y + 3 + 4 = 0

⇔2y3+ 3y2+ 3

2y +

1

4 − 3y2− 3y − 3

4+ 6y + 7 = 0

⇔2y3+ 9

2y +

13

2 = 0

⇔y3+ 9

4y +

13

4 = 0

Đặt y = √

3t ta được phương trình

3 √ 3t3+ 9

4.

√ 3t + 13

4 = 0

⇔t3+3

4t +

13

12 √

3 = 0

⇔4t3+ 3t = − 13

3 √

3 (∗)

Theo bài (1.1.5) phương trình (*) có nghiệm duy nhất

t = 1 2

3

s

− 13

3 √

3 +

r

169

27 + 1 +

3

s

− 13

3 √

3 −

r

169

27 + 1

= 1 2

3

r

1

3 √

3 +

3

r

− 27

3 √ 3

= 1 2

1

√

3 −√3

= − √1 3

Suy ra y = −1.Do đó x = −1

2 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −1

2

Bài toán 1.2.3 Giải phương trình 2x3+ 3x2− x − 1 = 0

Lời giải

Đặt x = y −1

2 ta được phương trình

2(y −1

2)

3 + 3(y − 1

2)

2 − (y − 1

2) − 1 = 0

⇔2(y3− 3

2y

2 + 3

4y −

1

8) + 3(y

2 − y +1

4) − y +

1

2 − 1 = 0

⇔2y3− 3y2+3

2y −

1

4+ 3y

2 − 3y +3

4 − y − 1

2 = 0

⇔2y3− 5

2y = 0

⇔y(2y2− 5

2) = 0

Do đó phương trình ẩn y có ba nghiệm y1= 0, y2 =

√ 5

2 , y3 = −

√ 5 2

Suy ra x1= −1

2, x2 =

√

5 − 1

2 , x3 = −

√

5 + 1

2 Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x 1 = −1

2, x2 =

√

5 − 1

2 , x3= −

√

5 + 1

2

Bài toán 1.2.4 Giải phương trình x3− 6x 2 + 9x − 10 = 0

Lời giải

Đặt x = y + 2 ta được phương trình

(y + 2)3− 6(y + 2)2+ 9(y + 2) − 10 = 0

⇔y3+ 6y2+ 12y + 8 − 6(y2+ 4y + 4) + 9y + 18 − 10 = 0

⇔y3+ 6y2+ 12y + 8 − 6y2− 24y − 24 + 9y + 8 = 0

⇔y3− 3y = 8

Đặt y = 2t ta được phương trình

8t3− 6t = 8

⇔4t3− 3t = 4 (∗)

Theo bài (1.1.2) thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất

t = 1 2

3

q

4 +p4 2 − 1 + 3

q

4 −p4 2 − 1

= 1 2

3

p

4 + √

15 +p3 4 − √

15

Suy ra y = p3 4 + √

15 +p3 4 − √

15

Suy ra x = 2 +p3 4 + √

15 +p3 4 − √

15

Bài toán 1.2.5 Giải phương trình x3− 3x − 1 = 0

Lời giải

Đặt x = 2t ta được phương trình

8t3− 6t − 1 = 0 ⇔ 4t3− 3t = 1

2 (∗) 1

2 = cos

π

3 = cos(3.

π

3)

Theo bài (1.1.1) ta có phương trình (*) có ba nghiệm

t1 = cosπ

9; t2 = cos

5π

9 ; t3 = cos

7π 9

Suy ra x1= 2 cosπ

9; x2 = 2 cos

5π

9 ; x3 = 2 cos

7π 9

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệmx1 = 2 cosπ

9; x2= 2 cos

5π

9 ; x3 = 2 cos

7π 9

Bài toán 1.2.6 Giải phương trình x3+ 12x2+ 40x + 16 = 0

Lời giải

Đặt x = y − 4ta được phương trình

(y − 4)3+ 12(y − 4)2+ 40(y − 4) + 16 = 0

⇔y3− 12y2+ 48y − 64 + 12(y2− 8y + 16) + 40y − 160 + 16 = 0

⇔y3− 12y2+ 48y − 64 + 12y2− 96y + 192 + 40y − 144 = 0

⇔y3− 8y = 16

Đặt y = 4

√

6

3 t ta được phương trình

384 √ 6

27 t

3 − 32

√ 6

3 t = 16

⇔4t3− 3t = 3

√ 6

Theo bài (1.1.2) thì phương trình (*) có nghiệm duy nhất

t = 1 2

3

s

3 √ 6

4 +

r

(3

√ 6

4 )

2 − 1 + 3

s

3 √ 6

4 −

r

(3

√ 6

4 )

2 − 1

= 1

2 √ 2

3

p

3 √

3 + √

15 +p3 3 √

3 − √

15

Suy ra y = √2

3

3

p

3 √

3 + √

15 +p3 3 √

3 − √

15

Suy ra x = √2

3

3

p

3 √

3 + √

15 +p3 3 √

3 − √

15
− 4

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

x = √2

3

3

p

3 √

3 + √

15 +p3 3 √

3 − √

15
− 4

Bài toán 1.2.7 Giải phương trình 2x3− 5x 2 − 4x + 3 = 0

Lời giải

Đặt x = y + 5

6 ta được phương trình

2(y + 5

6)

3 − 5(y + 5

6)

2 − 4(y + 5

6) + 3 = 0

⇔2y3+ 5y2+75

18y +

125

108 − 5y2−25

3 y −

125

36 − 4y −10

3 + 3 = 0

⇔2y3− 49

6 y −

143

54 = 0

⇔y3−49

12y −

143

108 = 0

Đặt y = 7

3t ta được phương trình

343

27 t

3 − 343

36 t =

143 108

⇔4t3− 3t = 143

343 (∗)

143

343 = cos α Suy ra cosα

3 =

13 14 cosα + 2π

3 = −

11 14 cosα − 2π

3 = −

1 7

Theo bài (1.1.1) thì phương trình (*) có ba nghiệm

t 1 = cosα

3 =

13 14

t2 = cosα + 2π

3 = −

11 14

t3 = cosα − 2π

3 = −

1 7

Suy ra y1 = 13

6

y2 = −11

6

y3 = −1

3

Do vậy x1= 3

x 2 = −1

x3= −1

2

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm

x1= 3; x2= −1; x3= −1

2

Kết luận

Tiểu luận “Giải phương trình bậc ba bằng phương pháp nội suy” đã giải quyết được những vấn đề sau:

1 Tiểu luận đã trình bày phương pháp giải phương trình bậc ba

2 Tiểu luận trình bày ứng dụng của phương pháp trong một vài bài toán đại số

Kết quả của Tiểu luận góp phần nâng cao chất lượng dạy và học Toán ở trường phổ thông trong giai đoạn hiện nay

Tài liệu tham khảo

1 Nguyễn Văn Mậu, 2007, Các bài toán nội suy và áp dụng, NXB Giáo Dục

2 Nguyễn Văn Mậu, 1994, Phương pháp giải phương trình và bất phương trình, NXB Giáo Dục