Luận văn thạc sĩ: Ma trận đơn Modula và các đa diện nguyên

luận văn thạc sĩ toán ứng dụng về ma trận đơn modula: tổng hợp và giới thiệu có chọn lọc có kết quả về ma trận đơn modula, modula tuyệt đối, về tập đa diện nguyên và một số bài toán tối ưu nguyên hay gặp trong lý thuyết và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ SỸ DŨNG

MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA VÀ CÁC ĐA DIỆN NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

VŨ SỸ DŨNG

MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA VÀ CÁC ĐA DIỆN NGUYÊN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TS TRẦN VŨ THIỆU

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1.1 TẬP LỒI VÀ TẬP LỒI ĐA DIỆN 4

1.1.1 Tập afin 4

1.1.2 Tập lồi 5

1.2 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 7

1.2.1 7

1.2.2 Thuật toán đơn hình (gốc và đối ngẫu) 8

1.3 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH NGUYÊN 11

1.3.1 Qui hoạch tuyến tính nguyên là bài toán tìm cực tiểu (cực đại) của một hàm tuyến tính trên một tập điểm rời rạc, thường là tập điểm nguyên: 11

1.3.2 Sau đây là hai ví dụ về bài toán nguyên phi tuyến ( mở rộng ILP) 13

2 MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA VÀ ĐƠN MÔĐULA TUYỆT ĐỐI 16 Chương 2: MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA VÀ ĐƠN MÔĐULA TUYỆT ĐỐI 16 2.1 MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA 16

2.2 MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA TUYỆT ĐỐI 22

Chương 3: ĐA DIỆN NGUYÊN VÀ GẦN NGUYÊN 28

3.1 ĐIỀU KIỆN NGUYÊN 283.1.1 Cơ sở đơn môđula và ma trận đơn môđula tuyệt đối 293.1.2 Ví dụ về tập đa diện nguyên 313.1.3 Ma trận cân đối, ma trận hoàn hảo và ma trận lý tưởng 323.2 ĐA DIỆN GẦN NGUYÊN 35

Mở đầu

Trong lĩnh vực tối ưu hóa, các ma trận giữ một vai trò quan trọng và thường cóliên quan tới các lớp bài toán tối ưu khác nhau Chẳng hạn, các ma trận (nửa) xác địnhdương (âm) gắn với các bài toán tối ưu lồi hay lõm, ma trận không xác định gắn vớicác bài toán tối ưu toàn cục (tối ưu phi tuyến không lồi)v.v

Trong các ma trận thực, các ma trận đơn môđula (vuông cấp n, nguyên, định thức

±1) và các ma trận đơn môđula tuyệt đối (cấp mxn, mọi định thức con của nó bằng 0hay ±1) có các tính chất đặc biệt, rất được chú ý trong tối ưu nguyên

Các ma trận đơn môđula tuyêt đối và các mở rộng (ma trận cân đối, hoàn hảo và

lý tưởng) liên quan chặt chẽ với tập đa diện nguyên (mọi đỉnh của nó có các tọa độnguyên) và gần nguyên (các điểm nguyên của nó là đỉnh) Chẳng hạn, đa diện của bàitoán vận tải, bài toán ghép cặp, bài toán phủ cạnh trong đồ thị hai phần, bài toán phânhoạch tập, có mọi đỉnh là nguyên

Nhiều vấn đề thực tế có thể diễn đạt dưới dạng bài toán qui hoạch tuyến tínhnguyên trên các tập đa diện nguyên hay gần nguyên Vì thế có thể sử dụng các thuậttoán đơn hình quen thuộc để tìm nghiệm nguyên của bài toán

Các tác giả sách tham khảo [2] - [6] đề cập tới các ma trận đơn môđula, đơnmôđula tuyệt đối và các tập đa diện nguyên (gần nguyên), cùng nhiều bài toán tối ưutuyến tính nguyên có liên quan Các tài liệu [2] - [6] bao gồm nhiều kết quả hay và có

ý nghĩa khoa học, được nhiều người quan tâm học tập, nghiên cứu

Sau khi được học các chuyên đề về giải tích lồi, tối ưu hóa và các kiến thức có liênquan, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, các kiến thức mởrộng và ứng dụng của những kiến thức này, chúng tôi chọn đề tài luận văn

"Ma trận đơn môđula và các tập đa diện nguyên"

Mục đích chính của đề tài:Tìm hiểu và trình bày các kết quả chính đã có về các

đa diện nguyên và gần nguyên, dựa trên các ma trận đơn môđula tuyệt đối và đề cậptới một số bài toán tối ưu nguyên, thường gặp trong lý thuyết và ứng dụng Luận vănđược viết dựa chủ yếu trên các tài liệu tham khảo [1] - [6]

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Ma trận đơn môđula, phép biến đổi đơnmôđula và ma trận đơn môđula tuyệt đối, đa diện nguyên và gần nguyên, và một sốbài toán tối ưu nguyên hay gặp trong lý thuyết và ứng dụng

Phương pháp nghiên cứu: Tổng hợp các kiến thức thu nhận được từ các tài liệutham khảo liên quan đến đề tài luận văn, vận dụng các phương pháp nghiên cứu củagiải tích, giải tích lồi và tối ưu hóa

Dự kiến đóng góp mới của luận văn: Tổng hợp và giới thiệu có chọn lọc cáckết quả về ma trận đơn môđula, đơn môđula tuyệt đối, về tập đa diện nguyên và gầnnguyên, và một số bài toán tối ưu nguyên hay gặp

Nội dung của luận văn gồm ba chương:

Chương 1"Kiến thức chuẩn bị"nhắc lại vắn tắt các khái niệm, định nghĩa và kếtquả cơ bản về tập lồi và tập lồi đa diện (đỉnh, cạnh, diện), về bài toán qui hoạch tuyếntính và bài toán đối ngẫu (điều kiện tối ưu, thuật toán đơn hình gốc và đối ngẫu), vềbài toán qui hoạch tuyến tính nguyên và phi tuyến nguyên

Chương 2"Ma trận đơn môđula và đơn môđula tuyệt đối"trình bày khái niệm

ma trận đơn môđula, phép biến đổi đơn môđula và một số kết quả liên quan đến tìmnghiệm nguyên của hệ phương trình tuyến tính Tiếp theo trình bày khái niệm ma trậnđơn môđula tuyệt đối: các tính chất, ví dụ và một số tiêu chuẩn nhận biết ma trận đơnmôđula tuyệt đối

Chương 3 "Tập đa diện nguyên và gần nguyên" đề cập tới các tập đa diệnnguyên và gần nguyên, mô tả điều kiện để có các tập đa diện nguyên và xét một sốbài toán tối ưu trên tập đa diện nguyên, gần nguyên (bài toán vận tải, bài toán sắp xếptập, phủ tập và phân hoạch tập) Đa diện nguyên và gần nguyên liên quan chặt chẽ vớicác ma trận đơn môđula tuyệt đối và các mở rộng (ma trận cân đối, ma trận hoàn hảo

và ma trận lý tưởng)

Do thời gian có hạn nên luận văn này chủ yếu chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, tập hợptài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ đề đặt ra Trongquá trình viết luận văn cũng như trong xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi cónhững sai sót nhất định Tác giả luận văn rất mong nhận được sự góp ý của các thầy

cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS.TS.Trần Vũ Thiệu đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn các GS, PGS, TS của Khoa Toán - Tin, Trường Đạihọc Khoa học Thái Nguyên và của Viện Toán học đã giảng dạy và tạo mọi điều kiệnthuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu

Thái Nguyên, ngày 01 tháng 11 năm 2015

Tác giả luận văn

Vũ Sỹ Dũng

Trước hết là những khái niệm liên quan tới tập afin.

Định nghĩa 1.1 Một tập M ⊂ Rn được gọi là tập afin nếu

∀a, b ∈ M, λ ∈ R ⇒ λb + (1 − λ)a ∈ M,tức là hễ M chứa hai điểm nào đó thì M chứa cả đường thẳng qua hai điểm ấy

Một số tính chất cơ bản của các tập afin:

 Nếu M là tập afin thì a+M = {a + x : x ∈ M } cũng là tập afin ∀a ∈ Rn

 M là tập afin chứa gốc khi và chỉ khi M là một không gian con của Rn

 Giao của một họ bất kỳ tập afin cũng là một tập afin

 Nếu x1, , xk thuộc tập afin M thì mọi tổ hợp afin của chúng cũng thuộc M,tức là xi ∈ M (i = 1, , k), λ1+ + λk = 1 ⇒ λ1x1+ + λkxk ∈ M

song songvới M (M nhận được bằng cách tịnh tiến L tới x0).

Định nghĩa 1.2 Thứ nguyên (số chiều) của một tập afin M là số chiều của không gian

con song song với nó

Định nghĩa 1.3 Một tập afin trong Rncó thứ nguyên n-1 đươc gọi là một siêu phẳng.

Có thể thấy siêu phẳng là tập có dạng H = {x : aTx = α}với a ∈ Rn(a 6= 0), α ∈ R.(Đó là tập nghiệm của một phương trình tuyến tính trong Rn) Một tập có dạng H ={x : aT

x 6 (>)α} (hay H = {x : aTx < (>)α}) được gọi là một nửa không gian

đóng (hay mở) (tập nghiệm của một hệ bất phương trình)

Định nghĩa 1.4 Một tập k điểm x1, x2, , xk gọi là độc lập afin nếu k - 1 véctơ

x2− x1, , xk− x1độc lập tuyến tính

Tồn tại duy nhất một siêu phẳng đi qua n điểm độc lập afin cho trong Rn

1.1.2 Tập lồi

Sau đây là một số khái niệm liên quan đến tập lồi

Định nghĩa 1.5 Tập hợp C ⊂ Rn được gọi là lồi nếu

∀a, b ∈ C, 0 ≤ λ 6 1 ⇒ λb + (1 − λ)a ∈ C,

tức là hễ C chứa hai điểm nào đó thì nó chứa cả đoạn thẳng nối hai điểm ấy.

Có thể thấy tập hợp rỗng, tập hợp gồm một điểm, hoàn toàn không gian Rn, mọitập afin, siêu phẳng, nửa không gian (đóng, mở), hình cầu, đều là những tập lồi.Trong R2, các hình tam giác, hình vuông, hình tròn, hình elip đều là các tập hợp lồi.Tuy nhiên, đường tròn hay hình vành khăn không phải là tập hợp lồi

Thứ nguyên hay số chiều của một tập lồi C là thứ nguyên của bao afin của C.Trong Rn một tập lồi thứ nguyên n được gọi là tập lồi thứ nguyên đầy đủ.

Sau đây là một số tính chất cơ bản của các tập lồi:

 Giao của một họ bất kỳ các tập lồi cũng là một tập lồi

phương vô hạn của tập lồi C

Cho một tập bất kỳ E ⊂ Rn Giao của tất cả các tập lồi chứa E được gọi là bao

lồicủa E, ký hiệu conv(E) Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa E Có thể thấy:

 conv(E) trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử thuộc E

 Bao đóng và phần trong của một tập lồi cũng là các tập lồi

Cho C ⊂ Rn là một tập lồi Điểm x ∈ C gọi là điểm cực biên của C nếu x không thể

biểu diễn dưới dạng một tổ hợp lồi của hai điểm phân biệt bất kỳ khác thuộc C, nghĩa

là không tồn tại hai điểm y, z ∈ C, y 6= z sao cho

x = λy + (1 − λ)z với 0 < λ < 1

Định nghĩa 1.6 Tập lồi tạo nên bởi giao của một số hữu hạn các nửa không gian

đóng gọi là một tập lồi đa diện Tập lồi đa diện giới nội được gọi là đa diện lồi Điểm cực biên của tập lồi đa diện (hay đa diện lồi) được gọi là đỉnh của nó.

Định lí 1.1 (Định lý tách) Hai tập lồi khác rỗng, không có điểm chung C, D trong

Rn(C ∩ D = ∅) có thể tách được bởi một siêu phẳng, nghĩa là tồn tại véctơ a ∈

Rn(a 6= 0)và số α ∈ R sao cho các bất đẳng thức sau được thỏa mãn:

aTx ≥ α ≥ aTyvới mọi x ∈ C và mọi y ∈ D

1.2 QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Trong các dạng trên, f(x) gọi là hàm mục tiêu, D gọi là miền ràng buộc (miền chấp

nhận được) Điểm x ∈ D gọi là nghiệm chấp nhận được (phương án) của bài toán Một phương án đạt cực tiểu (hay cực đại) của hàm mục tiêu gọi là một nghiệm tối ưu hay một phương án tối ưu (hữu hạn).

Với mỗi bài toán qui hoạch tuyến tính, chỉ có một trong ba khả năng:

a) Bài toán không có nghiệm chấp nhận được (miền ràng buộc D = ∅)

b) Bài toán có trị tối ưu vô cực (f(x) → −∞ đối với bài toán min)

c) Bài toán có nghiệm tối ưu (min{f(x) : x ∈ D} > −∞)

Định lý sau nêu điều kiện để một qui hoạch tuyến tính có nghiệm tối ưu.

Định lí 1.2 Nếu một qui hoạch tuyến tính có nghiệm chấp nhận được và hàm mục

tiêu bị chặn dưới trong miền ràng buộc (đối với bài toán min) thì qui hoạch đó chắc chắn có nghiệm tối ưu.

Định nghĩa 1.7 Một nghiệm chấp nhận được x ∈ D mà đồng thời là đỉnh của D gọi

là một nghiệm cơ sở, nghĩa là x không thể biểu diễn dưới dạng một tổ hợp lồi của bất

cứ hai nghiệm chấp nhận được khác của D Nói một cách khác, hễ x = λx1+(1−λ)x2với 0 < λ < 1 và x1, x2 ∈ Dthì phải có x = x1 = x2

Sau đây ta sẽ xét bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc với giả thiết m 6 n

và ma trận A có hạng = m Định lý sau nêu một tính chất đặc trưng cho nghiệm cơ sở(của bài toán qui hoạch tuyến tính chính tắc)

Định lí 1.3 Để một nghiệm chấp nhận được ¯x = {¯x1, ¯x2, , ¯xn} của qui hoạch tuyến

tính chính tắc là nghiệm cơ sở, thì cần và đủ là các véctơ cột Aj của ma trận A tương ứng với các thành phần ¯xj > 0 là độc lập tuyến tính.

Từ Mệnh đề 1.6 nêu trên ta dễ dàng suy ra các hệ quả sau đây:

Hệ quả 1.2.1 Số nghiệm cơ sở của qui hoạch tuyến tính chính tắc là hữu hạn.

Hệ quả 1.2.2 Số thành phần dương trong mỗi nghiệm cơ sở của qui hoạch tuyến tính

chính tắc tối đa bằng m (m là số hàng của ma trận A).

Người ta phân ra hai loại nghiệm cơ sở: không thoái hóa nếu nghiệm đó có số thành phần dương = m và thoái hóa nếu trái lại (số thành phần dương < m).

Bài toán qui hoạch tuyến tính được gọi là không thoái hóa nếu tất cả các nghiệm

cơ sở của nó đều không thoái hoá, tức là đều có số thành phần dương bằng m Bài

toán gọi là thoái hóa nếu có dù chỉ một nghiệm cơ sở thoái hóa.

1.2.2 Thuật toán đơn hình (gốc và đối ngẫu)

Xét qui hoạch tuyến tính chính tắc (m ràng buộc đẳng thức, n biến):

(LP) min{f (x) = cTx : Ax = b, x ≥ 0}

với A là ma trận m × n, b ∈ Rm, c và x ∈ Rn Ta giả thiết: m ≤ n và rank(A) = mBài toán đối ngẫu của (LP) có dạng (với y ∈ Rm

, s ∈ Rn):

(DP) : max{g(y) = bTy : ATy ≤ c} = max{bTy : ATy + s = c, s ≥ 0}

Định nghĩa 1.8 Giả sử ma trận A có hạng m và B là ma trận con cấp m × m của A.

Nếu B có hạng m thì ta nói B là một cơ sở của A.

Giả sử cơ sở B gồm m véctơ cột Aj 1, Aj2, , Ajm của A

Ký hiệu J = {j1, j2, , jm} Để cho tiện, đôi khi ta cũng gọi J là cơ sở Các véctơ

Aj và các biến xj với j ∈ J lần lượt được gọi là các véctơ cơ sở và biến cơ sở Còn

các véctơ Aj và các biến xj với j /∈ J gọi là các véctơ và biến ngoài cơ sở.

Ak =X

j∈J

zjkAj = z1kAj1+ z2kAj2+ + zmkAjmvới k = 1, , n (1.1)

Nếu ký hiệu zk = (z1k, , zmk)T (véctơ cột) thì hệ thức (1.1) viết lại thành Ak = Bzk

Từ đó zk = B−1Ak(k = 1, , n) (Để ý là với j ∈ J, zj là véctơ đơn vị)

Mặt khác, hệ phương trình Ax=b có thể viết thành BxB + N xN = b Từ đó

Định nghĩa 1.9 Cơ sở B gọi là chấp nhận được gốc nếu B−1b ≥ 0, gọi là chấp nhận

được đối ngẫunếu ∆N ≤ 0và là cơ sở tối ưu nếu B−1b ≥ 0và ∆N ≤ 0

Định lí 1.4 Nếu B là cơ sở tối ưu (tức là B−1b ≥ 0 và ∆N ≤ 0) thì

a) x = (xB = B−1b, xN = 0)T là nghiệm tối ưu của bài toán (LP),

b) yT = cBB−1, s = (sB = 0, sN = −∆N)T là nghiệm tối ưu của bài toán (DP).

Chứng minh suy từ hệ thức đối ngẫu cTx = cBxB = cBB−1b = yTb

• Thuật toán đơn hình gốc xuất phát từ một cơ sở B chấp nhận được gốc (tức là

B−1b ≥ 0) và nghiệm cơ sở (LP): xB = B−1b, xN = 0 Nếu với cơ sở đó ∆N ≤ 0thì B là cơ sở tối ưu: dừng thuật toán Còn nếu ∆N có thành phần dương chẳng hạn

∆S > 0 với s /∈ J, thì có thể giảm giá trị hàm mục tiêu cTxbằng cách đưa biến xs

vào cơ sở và tìm đưa ra khỏi cơ sở biến xr(r ∈ J ) thích hợp Làm như thế ta sẽ thuđược một nghiệm cơ sở mới tốt hơn nghiệm cơ sở cũ (hay ít ra không kém), tương ứngvới cơ sở mới B’ (thay cho cơ sở cũ B) Thuật toán lặp lại với cơ sở B’

Định lí 1.5 (Dấu hiệu bài toán có trị tối ưu vô cực) Nếu với cơ sở B chấp nhận được

gốc tồn tại chỉ số k / ∈ J sao cho ước lượng ∆k > 0 và zjk > 0, ∀j ∈ J thì bài toán

(LP) đã cho có trị tối ưu vô cực( −∞ đối với bài toán min)

♠ Nếu bài toán qui hoạch tuyến tính không thoái hóa thì thuật toán đơn hình gốc

sẽ cho nghiêm tối ưu (hoặc trị tối ưu vô cực) sau hữu hạn lần đổi cơ sở

• Thuật toán đơn hình đối ngẫu xuất phát từ một cơ sở B chấp nhận được đối

ngẫu (tức là ∆N ≤ 0)và "giả" nghiệm cơ sở của (LP): xB = B−1b, xN = 0 (gọi là

"giả" vì xBcó thể có thành phần âm) Nếu B−1b ≥ 0thì B là cơ sở tối ưu: dừng thuậttoán Còn nếu B−1bcó thành phần âm, chẳng hạn (B−1b)r < 0với r ∈ J, thì có thểcải tiến (trường hợp này là tăng) trị mục tiêu cTxbằng cách đưa biến xr ra khỏi cơ sở

và tìm đưa vào cơ sở một biến ngoài cơ sở xs (s /∈ J)thích hợp và ta sẽ thu được một

cơ sở mới B’ (thay cho cơ sở cũ B) Thuật toán lặp lại với cơ sở mới B’

♠ Nếu (B−1b)r < 0với r ∈ J và zrk ≥ 0 ∀k /∈ J thì đó là dấu hiệu cho biết (LP)không có nghiệm chấp nhận được (D = ∅)

1.3.1 Qui hoạch tuyến tính nguyên là bài toán tìm cực tiểu (cực đại)

của một hàm tuyến tính trên một tập điểm rời rạc, thường là tập điểm nguyên:

(ILP) min{f (x) = cTx : Ax = b,xj ≥ 0nguyên, j = 1, , n}

Cũng như trong qui hoạch tuyến tính, f gọi là hàm mục tiêu, D = {x ∈ Rn : Ax =

b, xj ≥ 0, nguyên, j = 1, , n} gọi là miền ràng buộc (miền chấp nhận được) Điểm

x ∈ D gọi là nghiệm chấp nhận được (phương án) của bài toán Một phương án đạt cực tiểu (hay cực đại) của hàm mục tiêu gọi là một nghiệm tối ưu hay phương án tối

ưu Nghiên cứu cấu trúc miền ràng buộc D và tìm nghiệm tối ưu của bài toán nguyênILP là đối tượng của qui hoạch tuyến tính nguyên

Sau đây là một số ví dụ đơn giản về bài toán qui hoạch tuyến tính nguyên

Ví dụ 1.1 Giả sử một lái xe muốn chọn đem theo trong một xe tải nhỏ 3 kiện hàng

với trọng lượng lần lượt là 3 tạ, 2 tạ và 4 tạ Trị giá mỗi kiện hàng tương ứng là 1, 2

và 3 triệu đồng Nhưng xe chỉ có thể chở được tối đa 5 tạ Hỏi nên xếp lên xe nhữngkiện hàng nào để số hàng chở được có giá trị nhỏ nhất?

Bằng cách đưa vào các biến:

0nếu trái lại , j = 1, 2, 3,

ta có thể phát biểu vấn đề nêu trên như một bài toán tuyến tính nguyên ILP sau:

x1+ 2x2+ 3x3 → max,3x1+ 2x2+ 4x3 ≤ 5,

Ví dụ 1.2 Một xưởng mộc dự kiến sản xuất hai loại sản phẩm: bàn và ghế từ nguồn

ván gỗ gụ xẻ và lao động hiện có Chi phí về gỗ, công lao động và tiền lãi thu đượcnhư sau: Làm 1 bàn tốn 40 dm3 gỗ, 5 công lao động và tiền lãi 60 (ngàn đồng), làm 1ghế tốn 10 dm3gỗ, 3 công lao động và tiền lãi 25 (ngàn đồng) Xưởng chỉ dùng đượcvào phần sản xuất này 780 dm3gỗ và 150 công lao động Hỏi xưởng nên sản xuất baonhiêu sản phẩm mỗi loại để có lãi nhiều nhất?

Đưa vào hai biến: x1 là số bàn, x2là số ghế cần sản xuất Khi đó có thể hình thứchóa vấn đề đặt ra thành một bài toán tuyến tính nguyên ILP như sau:

Ví dụ 1.3 (Bài toán lát cắt lớn nhất trong đồ thị) Cho một đồ thị vô hướng G = (V,E)

với tập đỉnh V = {1, 2, , n} và tập cạnh E ⊆ {(i, j) : i, j ∈ V } Giả sử mỗi cạnh(i, j) ∈ E có một trọng số Wij ∈ R+ và S ⊂ V Lát cắt của G, ký hiệu cut(S), là tập

cạnh nối một đỉnh thuộc S với một đỉnh thuộc V \S, nghĩa là

cut(S) = {(i, j) ∈ E : i ∈ S, j ∈ V\S}

Trọng số của lát cắt này là số P(i,j)∈cut(S)Wij Bài toán đặt ra là tìm lát cắt có trọng

số lớn nhất Hãy phát biểu bài toán đó như một bài toán nguyên IP?

Sau đây là cách diễn đạt toán học khá tinh tế của bài toán này Lát cắt cut(S)(S ⊂

V )được thể hiện bằng một véctơ x ∈ Rn(n = |V |là số đỉnh của đồ thị) với các thànhphần ±1 : xJ = +1với j ∈ S, xj = −1với j ∈ V \ S Rõ ràng (i, j) ∈ cut(S) ⇔

0nếu (i, j) /∈ cut(S),

2nếu (i, j) ∈ cut(S)

Điều kiện nguyên xj = 1hay -1 tương đương với x2

j = 1 (j = 1, 2, , n) Vì thế, bàitoán lát cắt lớn nhất được mô hình hóa như sau:

max{12

n

X

i,j=1

Wij(1 − xixj) : x2j = 1, j = 1, 2, , n}

Vì mọi hàm trong mô hình đều là đa thức (cụ thể, đa thức bậc 2) nên đây là một bàitoán tối ưu đa thức Mô hình này có nhiều ứng dụng trong các vấn đề thiết kế an ninhmạng và trong một số lĩnh vực khác.

Ví dụ 1.4 (Bài toán phân hoạch) Cho n số nguyên dương a1, a2, , an Hãy phânchia a1, a2, , an thành hai nhóm có tổng bằng nhau? Về mặt toán học, bài toán này

có thể diễn đạt thành một bài toán nguyên: tìm các số xj = ±1sao cho

Các ví dụ nêu trên đã phần nào cho thấy qui hoạch nguyên là mô hình thích hợp

để mô tả nhiều bài toán đa dạng nảy sinh từ thực tiễn và vì thế nó ngày càng đượcnhiều người quan tâm nghiên cứu và ứng dụng

♠ Tóm lại, chương này đã trình bày tóm tắt một số kiến thức cơ bản cần biết trướckhi đi sâu tìm hiểu các nội dung tiếp theo của luận văn Đó là những khái niệmquen thuộc về tập lồi, tập lồi đa diện, về bài toán qui hoạch tuyến tính và thuậttoán đơn hình giải qui hoạch tuyến tính (dạng gốc và đối ngẫu) và về bài toánqui hoạch nguyên tuyến tính và phi tuyến Trong hai chương tiếp theo chúngtôi sẽ đề cập tới các ma trận đơn môđula, đơn môđula tuyệt đối và các đa diệnnguyên, đa diện gần nguyên.

Chương 2

MA TRẬN ĐƠN MÔĐULA VÀ ĐƠN

MÔĐULA TUYỆT ĐỐI

Chương này đề cập tới khái niệm ma trận đơn môdula, phép biến đổi đơn môdula

và ma trận đơn môdula tuyệt đối, cùng một số tính chất đáng chú ý của các ma trậnnày Nội dung của chương tham khảo từ các tài liệu [3], [4] và [6]

Định nghĩa 2.1 Cho U là một ma trận vuông không suy biến Khi đó, U được gọi là

ma trận đơn môđula(unimodular matrix) nếu U nguyên và có định thức bằng 1 hay

-1

Các ví dụ về ma trận đơn môđula:

a) Ma trận đơn vị In (vuông cấp n)

b) Ma trận nhận được từ In bằng cách đổi dấu cột j, j ∈ {1, , n}

c) Ma trận nhận được từ Inbằng cách đổi chỗ hai cột j và k với j, k ∈ {1, , n}, j 6= k.d) Ma trận nhận được từ Inbằng cách lấy cột j trừ cột k với j, k ∈ {1, , n}, j 6= k.Chẳng hạn, với n = 3, j = 2, k = 3 ta lần lượt có các ma trận:

đương với việc áp dụng một trong ba phép toán cột sơ cấp sau đây trên A:

•Nhân cột p với -1 (đổi dấu cột p)

•Đổi chỗ hai cột p và q

•Lấy cột p trừ cột q (nhân cột q với -1 rồi cộng vào cột p)

Các phép toán kể trên được gọi là phép biến đổi đơn môđula (unimodular

trans-formation) Hiển nhiên, tích hai ma trận đơn môđula là một ma trận đơn môđula Có

thể chỉ ra rằng một ma trận vuông là đơn môđula khi và chỉ khi ma trận đó được suy

ra từ ma trận đơn vị bằng một dãy phép biến đổi đơn môđula (hay tương đương, nóbằng tích các ma trận thuộc ba dạng kể trên)

Định lí 2.1 ([4], tr 96) Nghịch đảo của ma trận đơn môđula cũng là ma trận đơn

môđula Với mỗi ma trận đơn môđula U, các ánh xạ x  Ux và x  xTU là song

ánh trên Zn (không gian các véctơ nguyên n chiều).

Chứng minh. Giả sử U là ma trận đơn môđula Theo qui tắc Cramer, ma trận nghịchđảo của ma trận đơn môđula là ma trận nguyên Do (det U) (det U−1) = det(UU−1) =detI = 1, nên U−1 cũng là ma trận đơn môđula Phát biểu sau suy trực tiếp từ kết quảnày

Bổ đề 2.1 ([4], tr 96) Với mỗi ma trận hữu tỉ A có các hàng độc lập tuyến tính, tồn

tại ma trận đơn môđula U sao cho AU có dạng (B O), trong đó B là ma trận vuông không suy biến Nếu A không suy biến thì U là duy nhất.

Chứng minh. Giả sử ta đã tìm được ma trận đơn môđula U sao cho

δilà nhỏ nhất Không giảm tổng quát, ta giả thiết δ1 ≥ δ2, , ≥

δk Khi đó δ1 > 0 do các hàng của ma trận A (và do đó, các hàng của AU) độc lậptuyến tính Nếu như δ2 > 0 thì trừ cột đầu cho cột hai của D sẽ nhận được Pk

i=1δinhỏ hơn Vậy δ2 = δ3 = = δk = 0 Ta có thể tăng kích thước của B một đơn vị và

cứ thế tiếp tục

Các phép toán dùng trong chứng minh Bổ đề 2.1 tương ứng với Thuật toán clide Ma trận B nhận được thực tế là ma trận tam giác dưới Với đôi chút cố gắng, ta nhận được cái gọi là dạng chuẩn Hecmit của ma trận A.

Eu-Ma trận U nêu trong Bổ đề 2.1 sẽ được sử dụng để tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình Điôfan tuyến tính.

Bổ đề sau cho một tiêu chuẩn nhận biết khi nào một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm nguyên, tương tự bổ đề Farkas.

Bổ đề 2.2 ([4], tr97) Giả sử A là một ma trận hữu tỉ (có hạng bằng số hàng của A)

và b là véctơ cột hữu tỉ Khi đó, hệ Ax=b có nghiệm nguyên x khi và chỉ khi yb là số nguyên đối với mọi véctơ hàng hữu tỉ y mà yA là véctơ nguyên;

Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên: nếu x và yA là véctơ nguyên và Ax = b thì

Theo Bổ đề 2.1, tồn tại ma trận đơn môđula U với AU = ( B O) , trong đó B là

ma trận vuông cấp n không suy biến Do B−1AU = ( I O) là ma trận nguyên nên

ta có với mỗi hàng y của B−1 sao cho yAU nguyên và do đó theo Mệnh đề 5.8, yA lànguyên Do đó yb là số nguyên đối với mỗi hàng y của B−1 kéo theo B−1b là véctơnguyên Vì thế,

U





B−1bO





là một nghiệm nguyên của Ax=b

Cũng có thể mở rộng khái niệm đơn môđula cho tất cả các ma trận suy biến Các

ma trận đơn môđula đã được các nhà toán học Smith (1861), Frobenius (1879-1880),Veblen và Franklin (1921-1922) nghiên cứu

Sau đây là một số tính chất đáng chú ý của ma trận đơn môđula

Định lí 2.2 ([5], tr 49) Các điều sau tương đương đối với mọi ma trận hữu tỉ không

suy biến U cấp n × n: